知识讲解_直线的交点坐标与距离公式_提高

此时两直线重合；若有
△
A2
，则方程组无解，此时两直线平行；若有△=旦，则方程组有唯
A2B2
直线的交点坐标与距离公式
【学习目标】
1. 掌握解方程组的方法，求两条相交直线的交点坐标
2. 掌握两点间距离公式，点到直线距离公式，会求两条平行直线间的距离
【要点梳理】
要点一、直线的交点
求两直线A,x By C1= 0(A,B G = 0)与• B2y • C2二0(A2B2C2 0)的交点坐标，只需求两
直线方程联立所得方程组小 " 1的解即可.若有二 1 1，则方程组有无穷多个解，
A2x + B2 y + C2 = 0 A2 B2C2
一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标
要点诠释：
求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数
要点二、过两条直线交点的直线系方程
一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有x, y 以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数•由于参数取法不同，从而得到不同的直线系.
过两直线的交点的直线系方程：经过两直线h : Ax + B$+ G =0 , 12： A J2X+B2y + C2 = 0交点的直线方程为A i x B i y C^ ■ (A2X • B?y • C2) =0，其中■是待定系数•在这个方程中，无论■取什么实
数，都得不到A2x B2y • C2 =0，因此它不能表示直线12•
要点三、两点间的距离公式
两点R(x i, y i), B(X2, y2)间的距离公式为
RP2〔=J(X2 —x,)2 +(y2 —力)2.
要点诠释：
此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决.另外在下一章圆的标准方程的推导、直线与圆、
圆与圆的位置关系的判断等内容中都有广泛应用，需熟练掌握
要点四、点到直线的距离公式
- |Ax0+By°+C
点P(x。

，y。

)到直线Ax +By +C =0的距离为d = J/」•
J A2+ B2
要点诠释：
(1)点P(x0, y0)到直线Ax By C =0的距离为直线上所有的点到已知点P的距离中最小距离；
(2)使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式方程；
(3)此公
B2 C2
式常用于求三角形的高、两平行线间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等. 要点五、两平行线间的距离
【解5x 4厂亦,0,解得
2x 3y - m = 0,
2m 3
7
m - 2
7
所以
<0 解得m，--,2 •
I 2丿
离为d
C2 - C1 | ■. A
2B2
本类问题常见的有两种解法：①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另
条直线的距离即为两直线之间的距离；②距离公式：直线Ax By C^ 0与直线Ax • By • C2二0的距要点诠释：
(1) 两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离；
|C |
(2) 利用两条平行直线间的距离公式 d 1-时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直
J A2 +B2
线中x，y的系数分别是相同的以后，才能使用此公式•
【典型例题】
类型一、判断两直线的位置关系
例1 •是否存在实数a,使三条直线l1：ax y 0 , l2: x ay 0, l3：x・y，a = 0能围成一个三角形？请说明理由.
【解析】要使三条直线能围成一个三角形，则它们中任意两条都不平行，且三条直线不相交于同一■
占
八、、♦
1
(1 )当l1 //12时，-a ，即a=± 1 •
a
(2)当I1//I3 时，一a= —1,即a=1 •
1
(3)当l2//l3时，1，即a=1.
a
「x + ay+1=0 、
(4)当h与l2、I3相交于同一点时，由W 得交点(一1 —a, 1),将其代入ax+y+仁0中,
(x+ y+a = 0
得a=—2 或a=1 •
故当1且a^—1且a^ —2时，这三条直线能围成一个三角形.
【总结升华】本例分类讨论时容易疏忽某种情况，特别是三条直线相交于同一点这种情况更要注意.
举一反三：
【变式1】直线5x+4y —2m—仁0与直线2x+3y —m=0的交点在第四象限，求m的取值范围.
【答案】-3,2
I 2丿
2m 3
解法一：设所求的直线为 l ,由方程组 2x - 3y -3=0 x y 2 = 0
3
x 二一
一
.•直线丨和直线3x+y —仁0平行,
11
,解得 ■=—
类型二、过两条直线交点的直线系方程
例2 .求经过两直线 2x —3y —3=0和x+y+2=0的交点且与直线 3x+y —仁0平行的直线方程. 【答案】15x+5y+16=0
【解析】 可先求出交点坐标，再根据点斜式求出所要求的直线方程；也可利用直线系(平行系或过
定点系)求直线方程.
•••直线l 的斜率k= — 3. •••根据点斜式有y —
即所求直线方程为 15x+5y+16=0 .
解法二：•••直线丨过两直线2x —3y —3=0和x+y+2=0的交点, •设直线l 的方程为2x — 3y —3+ ■ (x+y+2)=0 , 即(■ +2)x+( ■ — 3)y+2 工一 —3=0 .
•••直线l 与直线3x+y —仁0平行，
从而所求直线方程为 15x+5y+16=0 .
【总结升华】直线系是直线和方程的理论发展，是数学符号语言中一种有用的工具，是一种很有用的 解题技巧，应注意掌握和应用.
举一反三：
【变式1】求证：无论m 取什么实数，直线(2m — 1)x+(m+3)y — (m — 11)=0都经过一个定点， 并求出这 个定点的坐标.
证法一：对于方程(2m — 1)x+(m+3)y — (m — 11)=0,令 m=0 ,得 x — 3y —11=0;令 m=1 ,得 x+4y+10=0 .
I x - 3y -11 - 0
-
解方程组
y
，得两直线的交点为(2,— 3).
、x + 4y 十10 =0
将点(2,— 3)代入已知直线方程左边，得 (2m — 1) x 2+(m+3) x (— 3) — (m — 11)=4m — 2 — 3m — 9—
m+1 仁0 .
这表明不论 m 取什么实数，所给直线均经过定点(
2,— 3).
证法二：将已知方程以 m 为未知数，整理为(2x+y — 1)m+( — x+3 y+11)=0 .
12x ，y-1=0
(x = 2 由于m 取值的任意性，有
y
，解得
I-x + 3y+11=0
[y= -3
所以所给的直线不论 m 取什么实数，都经过一个定点(2,— 3).
类型三、对称问题
例3.已知直线l 1： 2x+y — 4=0 ,求l 1关于直线l : 3x+4y —仁0对称的直线l 2的方程. 【答案】2x+11y+16=0
「2x + y -4 =0
【解析】解法一：由彳丫
，得直线11与丨的交点为P (3,— 2),显然P 也在直线12上.
3x 4y _1 二0
在直线l1上取一点A ( 2 , 0 ),又设点A关于直线l的对称点为B ( X。

, y),则
y'-y —
x'「x
y' y
I
2
，解得
-1=0 7x-24y 6
25 —24x 「7 y 8
25
y
0 -0
4
Xo _2
3
，解得 B -,--.
3」4也亠0 5 5
I 2
2
故由两点式可求得直线
丨2的方程为2x+11y+16=0 .
解法二：设直线丨2上一动点M (x, y )关于直线丨的对称点为 M '(x',y')，则
显然 M'(x',y')在丨 1 上，故 2 7x
一24丫_6
-24x -7y _ 4 =。

，即卩 2x+11y+16=0，这便是所求
25 25
的直线12的方程.
【总结升华】 求一条直线关于另一条直线的对称直线的基本途径是把它转化为点关于直线对称的问 题，即在其上取一点(或两点)，求出它们关于直线的对称点坐标，再由两点式即可求得所求的直线方程.
一般地，当对称轴的斜率为土 1时，求P (X 0, y 0)的对称点 Q ,只需由对称轴方程解出
x ,再用y 0
代替y ，即得到对称点的横坐标，类似地，可得到纵坐标.
举一反三：
【变式1】(1)求点P (X 。

，y 0)关于直线x —y+C=0的对称点坐标；
(2)求直线|仁Ax+By+C=0关于直线|2： x+y — 3=0的对称直线丨3的方程. 【答案】(1) (y °— C , X 0+C ); (2) Bx+Ay — 3A — 3B — C=0. 例4 .在直线l : 3x —y —仁0上求一点P,使得： (1) P 到A (4, 1)和B (0, 4)的距离之差最大； (2) P 到A (4, 1)和C (3, 4)的距离之和最小.
(11 26 X|
【答案】(1) ( 2, 5) ( 2)
I
11,
26
U 7丿
【解析】 设B 关于l 的对称点为B/, AB /与l 的交点P 满足(1);设C 关于l 的对称点为C/, AC / 与l 的交点P 满足(2 ).
事实上，对(1 ),若P /是l 上异于P 的点，则
|P'A 计 PBIPAr | P| B'亠 |APB| —| PB'|=| PA| —| PB | ;对于(2),若 P / 是 l 上异于 P
的点，贝U | P'A| - | P'C ^|P'A| ■ | P'C| | AC'| =| PA| ■ |PC | .
(1)如图1所示，设点B 关于l 的对称点B /的坐标为(a , b ),
b —4 k BB' 匕=T ，即 3
1,
a
••• a+3b — 12=0 .
①
i'a b + 4 ；
” 「
又由于BB /的中点坐标为
a
-一 ，且在直线l 上，
12’ 2 」
4图1
a b +4
•- 3 1=0，即3a—b—6=0. ②
2 2
解①②得a=3, b=3,「. B/ (3, 3).
AC 和丨交点坐标为p1
7
1,26
.
于是直线AB /的方程为红1 = ^4，即2x+y —9=0 .
3-1 3-4
解由丨的直线方程与AB /的直线方程组成的方程组得x=2 , y=5，即丨与AB /的交点坐标为(2, 5),
所以P(2，5).
(2)如图2所示，设C关于丨的对称点为C，,求出C/的坐标为'-，^4
15 5丿
••• AC /所在直线的方程为19x+17y —93=0 .
故P点坐标为i11,兰.
⑺7丿
【总结升华】由平面几何知识(三角形任两边之和大于第三边，任两边之差的绝对值小于第三边)
可知，要在直线丨上求一点，使这点到两定点A、B的距离之差最大的问题，若这两点A、B位于直线丨的同侧，则只需求出直线AB的方程，再求它与已知直线的交点，即得所求的点的坐标；若A、B两点位于
直线丨的异侧，则先求A、B两点中某一点(如 A )关于直线丨的对称点A〈再求直线A / B的方程，再求它们与直线丨的交点即可.对于在直线丨上求一点P,使P到平面上两点A、B的距离之和最小的问题可用类似方法求解.
举一反三：
【变式1】已知点M (3, 5),在直线丨:x—2y+2=0和y轴上各找一点P和0,使厶MPQ周长最小.
(5 9 " ■\ 7 )
【答案】P I5,- I、Q 0,
7
匕'4丿「2丿
【解析】由点M (3,5)及直线丨，可求得点M关于丨的对称点M/5,1).同样容易求得点M关于y轴
的对称点M2(-3,5) •据M1及M2两点可得到直线M1M2的方程为x，2y-7=0.
x 亠2y-7=0 5 9 7解方程组y ，得交点P ，令x=0，得到M1M2与y轴的交点Q(0, —).
l x-2y 十2=0 12 4 丿 1 22类型四、两点间的距离
例5 .已知直线丨过点P ( 3, 1),且被两平行直线l 1 : x+y+1=0,丨2：x+y+6=0截得的线段长为5, 求直线丨的方程.
【答案】y=1或x=3 I x1
y1^0
【解析】设直线丨与直线丨1、丨2分别交于点A (X1, y1)、B (X2、y2),则i1，两方程
K + y2 + 6 = 0
相减，得(x1—x2)+(y 1—y2)=5, ①
由已知及两点间距离公式，得(x1—x2) 2+(y 1—y2)2=25, ②
% -x2 =5 % -x2 =0
的方程为y=1或x=3 .
“整体代入”或“整体消元”的思想方法优化了
由①②解得* 1
或* 1
，又点A (X 1, yj 、B (X 2, y 2)在直线丨上，因此直线丨的斜
I%—丫2=0
“1
— y 2 =5
率为0或不存在，又直线丨过点P (3, 1),所以直线丨
【总结升华】 从交点坐标入手，采用“设而不求”
题过程•这种解题思想方法在解析几何中经常用到，是需要掌握的技能•另外，灵活运用图形中的几何性质，如对称，线段中垂线的性质等，同样是很重要的.
举一反三：
【变式1】如图，直线丨上有两点A、B , A点和B点的横坐标分别为x2，直线l方程为y=kx+b , 求A、B两点的距离.
【答案】| AB |=』：(1 - k2)(x2-片)2「= ：：；1 k2 | x2- x, |
例6 •已知函数f (x)二.X2-2x 2 X2-4x 8，求f (x)的最小值，并求取得最小值时x的值.
【答案】4
, .10 3
【解析】将函数表达式变形为：f(x) - (x-1)2 (0 -1)2 . (x — 2)2 (0-2)2，可以看作P (x,
0)到点A (1 , 1)与到点B (2, 2)的距离之和，即在x轴上求一点P,使|PA|+|PB|最小.
T f (x)二x2-2x 2 , x2-4x 8
=,(x-1)2 (0-1)2.(x-2)2 (0-2)2.
它表示点P (x, 0)到点A (1, 1)的距离加上点P (x, 0)到点B (2, 2)的距离之和，即在x轴上求一点P ( x, 0)与点A (1,1)、B (2, 2)的距离之和的最小值.由下图可知，可转化为求两点 A /
(1,—1)和B (2, 2)间的距离，其距离为函数 f (x)的最小值.
••• f(x)的最小值为(1 -2)2(-1 -2)2二10 .
再由直线方程的两点式得A'B的方程为3x —y—4=0 .令y=0 ,得x =彳
3
f (x)的最小值为.10 .
【总结升华】本例中，由“•. X2 -2x • 2 = . (x -1)2• (0 -1)2”与两点间距离公式结构相似，因而可得到“ f(x) ”的几何意义，利用图形的形象直观，使问题得到简捷的解决.
举一反三：
【变式1】试求f (x)二.(x 1)2 1 ,(x-2)24的最小值.
【答案】3 2
【解析】f(x) 1 (x 1)2 (0 -1)2.(X-2)2 (0 -2)2，它表示点P (x, 0)到点 A (—1, 1)
的距离加上点P ( x, 0)到点B ( 2, 2)的距离之和，即在x轴上求一点P (x, 0)与点A (—1, 1)、B (2, 2)的距离
之和的最小值. 可转化为求两点A/ (—1, —1)和B (2, 2)间的距离，其距离为函数f (x) 的最小值.
3
类型五、点到直线的距离
例7 .已知在厶ABC 中，A ( 1, 1),
• S 二丄 | AC| d 2
Bm ，，C (4, 2) (1 v m v 4),求 m 为何值时，△ ABC 的 面积S 最
大？ 9
【答案】9
4 【解析】 以AC 为底，则点B 到直线AC 的距离就是AC 边上的高，求出S 与m 之间的函数关系式.
••• A (1 , 1), C (4, 2),
•- | ACH .：＜4-1)2 (2-1)^ - 10 .
又直线AC 的方程为x — 3y+2=0,
•••点B(m^/m)到直线AC 的距离已=1 m - 3^^ + 21, V10
9
故当m 时，△ ABC 的面积最大. 4
【总结升华】 利用两点间距离公式求出三角形的一边长，再利用点到直线的距离公式求出这边上的
高，从而求出三角形的面积，这是在解析几何中求三角形面积的常规方法，应熟练掌握，但应注意的是点 到直线的距离公式中带有绝对值符号，因此在去掉绝对值符号时必须对它的正负性进行讨论.
举一反三：
【高清课堂：两直线的交点与点到直线的距离 381525知识点(二)中的例 1】
【变式1】l 过点M(-2,1)，且与点A(-1,2) , B(3,0)的距离相等，求直线l 的方程.
【答案】y =1 x 2y =0
【解析】
法一：直线丨过AB 的中点(1, 1),所以丨的方程为y=1.
直线丨//AB ，则设丨的方程为y -1二k(x • 2)
1
则k ，所以I 的方程为：x 2y =0 2
法二：由题意知直线l 的斜率存在，设l 的方程为y -1二k(x 2),
则A 、B 两点到直线I 的距离
2
•/ 1 v m v 4,「. 1 :::
|k-1| _|5k
而k AB
2-(-1) 1
6 -( -3) 一3
解得：
1 k“k r
所以丨的方程为：y=1和x，2y=0
【变式2】若点P (a, b)在直线x+y+仁0上，求a2b2-2a_2b 2的最小值.
【答案】3_1
2
类型六、两平行直线间的距离
例8.两条互相平行的直线分别过点 A (6, 2)和B (—3，—1),并且各自绕着A、B旋转，如果两
条平行直线间的距离为d.
(1 )求d的变化范围；
(2)当d取最大值时，求两条直线的方程.
【答案】(1) (0,3 10] ; (2) 3x+y —20=0 和3x+y+10=0
【解析】(1 [①当两条直线的斜率不存在时，即两直线分别为x=6和x= —3，则它们之间的距离为
9.
②当两条直线的斜率存在时，设这两条直线方程为I 1：y—2=k(x —6),丨2：y+仁k(x+3),即I仁kx —y—6k+2=0 , l 2：kx —y+3k—仁0.
」|3k—1+6k—2| 3|3k—1| 测心肿 2 一，n
••• d，即(81 —d )k —54k+9 —d =0 .
Jk2 +1 Jk2 +1
••• k € R，且d 丰 0, d> 0,「. △ =542—4(81 —d2)(9 —d2)> 0,即0：：d_3 10 且
d
工9.
综合①②可知，所求的d的变化范围为(0,3-一10].
(2)由右图可知，当d取最大值时，两直线垂直于AB .
•••所求的直线的斜率为一3.
故所求的直线方程分别为y—2=—3(x —6)和y+仁—3(x+3)，即3x+y —20=0和3x+y+10=0 .
【总结升华】在寻求问题的解的过程中，作图是非常重要的，它既可以给人以直观的感觉，又是解题的方法的再现，这说明数形结合可优化思维过程.
举一反三：
【变式1】已知直线l 1：2x—y+a=0 ( a>0),直线l 2：—4x+2y+1=0和直线l 3：x+y —仁0,且11与l 2 7亦
的距离是.
10
(1 )求a的值；
(2)能否找到一点P,使得P点同时满足下列三个条件：① P是第一象限的点；②P点到l 1的距离是P点到12的距离的-;③P点到11的距离与P点到12的距离之比是2 : 5 .若能，求P点坐标；若不能, 2请说明理由.
【答案】(1) a=3 (2) P 口 37 18
【解析】
1 (1)直线 1
2 即 2x-y 0 , 2 1
I a I .11与12的距离d J 、22 1 10 7、5 解得a =3.
(2)能找到点P ,使得P 点同时满足三个条件. 设点P (x o ,y °)，若P 点满足条件②, 则P 点在11、丨2平行的直线I : 2x - y • c = 0 , 1
且gTjCJ,即”至或”耳 ^5 2 45 2 6 13 2X 0 - y 0 亍 若P 点满足条件③, 11
=0 或 2x ° - y ° 0 ； 6 由点到直线的距离公式，
_____ _ J2 |x ° +y ° -1| ,5 一 5 「2 ' 有 12x 0
- y 。

3| x 0 - 2y 0 4 = 0 或 3x 0 0 由P 在第一象限，所以 3x 0 2 =0不可能. | _ +13=0 联立方程2x0 一 y o 丁0，解得x 0 = -3, y 0 x ° -2y ° 4 =0 1 ，应舍去. 2 11 由叹曲0 •丁0，解之得补1,%
9
x0-2y 。

4=0 9 37 18 1 37
P(9,石)即为同时满足三个条件的点.。