2019_2020学年高中数学第二章数列2.2.2等差数列的性质练习(含解析)新人教A版必修5

第10课时 等差数列的性质
知识点一 等差数列的性质的运用
1．等差数列{a n }中，a 2＋a 5＋a 8＝9，那么关于x 的方程：x 2
＋(a 4＋a 6)x ＋10＝0( ) A ．无实根 B ．有两个相等实根
C ．有两个不等实根
D ．不能确定有无实根 答案 A
解析 由于a 4＋a 6＝a 2＋a 8＝2a 5，而3a 5＝9，
∴a 5＝3，方程为x 2
＋6x ＋10＝0，Δ＝62
－4×10<0，无实数解．故选A ． 2．在等差数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＋a 3＝13，则a 4＋a 5＋a 6等于( ) A ．40 B ．42 C ．43 D ．45 答案 B
解析 a 2＋a 3＝2a 1＋3d ＝13，又a 1＝2，∴d ＝3． ∴a 4＋a 5＋a 6＝3a 5＝3(a 1＋4d )＝3(2＋12)＝42．
3．在等差数列{a n }中，若a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝80，则a 7－1
2a 8的值为( )
A ．4
B ．6
C ．8
D ．10 答案 C
解析 由a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝5a 6＝80，∴a 6＝16，∴a 7－12a 8＝12(2a 7－a 8)＝1
2(a 6＋a 8－a 8)
＝1
2
a 6＝8． 4．下列命题中正确的个数是( )
(1)若a ，b ，c 成等差数列，则a 2，b 2，c 2
一定成等差数列； (2)若a ，b ，c 成等差数列，则2a ，2b ，2c
可能成等差数列；
(3)若a ，b ，c 成等差数列，则ka ＋2，kb ＋2，kc ＋2一定成等差数列； (4)若a ，b ，c 成等差数列，则1a ，1b ，1
c
可能成等差数列．
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个 答案 B
解析 对于(1)取a ＝1，b ＝2，c ＝3⇒a 2
＝1，b 2
＝4，c 2
＝9，(1)错误；对于(2)，a ＝b ＝c ⇒2a
＝2b
＝2c
，(2)正确；
对于(3)，∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b ．
∴(ka ＋2)＋(kc ＋2)＝k (a ＋c )＋4＝2(kb ＋2)，(3)正确；对于(4)，a ＝b ＝c ≠0⇒1a ＝1
b
＝
1
c
，(4)正确，综上选B ．
5．已知等差数列{a n }中，a 2＋a 3＋a 10＋a 11＝36，则a 5＋a 8＝________． 答案 18
解析 a 5＋a 8＝a 2＋a 11＝a 3＋a 10，又a 2＋a 3＋a 10＋a 11＝36，∴a 5＋a 8＝18．
知识点二 等差数列性质的综合运用
6．在等差数列{a n }中，2(a 1＋a 3＋a 5)＋3(a 8＋a 10)＝36，则a 6＝( ) A ．8 B ．6 C ．4 D ．3 答案 D
解析 由等差数列的性质可知，2(a 1＋a 3＋a 5)＋3(a 8＋a 10)＝2×3a 3＋3×2a 9＝6(a 3＋a 9)
＝6×2a 6＝12a 6＝36，∴a 6＝3．故选D ．
7．设公差为－2的等差数列{a n }，如果a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97＝50，那么a 3＋a 6＋a 9＋…＋
a 99等于( )
A ．－182
B ．－78
C ．－148
D ．－82 答案 D
解析 a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝(a 1＋2d )＋(a 4＋2d )＋(a 7＋2d )＋…＋(a 97＋2d )＝(a 1＋a 4
＋…＋a 97)＋2d ×33＝50＋2×(－2)×33＝－82．
8．已知数列{a n }满足a 1＝1，若点a n n ，a n ＋1
n ＋1
在直线x －y ＋1＝0上，则a n ＝________．
答案 n 2
解析 依题意得a n n －
a n ＋1n ＋1＋1＝0，即a n ＋1n ＋1－a n
n
＝1，
∴数列a n
n
为等差数列，且公差d ＝1． 又a 11＝1，∴a n
n
＝1＋(n －1)×1＝n ，a n ＝n 2
．
9．已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积为________．
答案 15 3
解析 不妨设∠A ＝120°，c <b ，则a ＝b ＋4，c ＝b －4，
于是cos120°＝
b 2＋b －42－b ＋4
2
2b b －4
＝－12
，
解得b ＝10，所以S ＝1
2bc sin120°＝153．
易错点 忽略等差数列性质的本质
10．在等差数列{a n }中，a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，a 2·a 5＝52，且a 4＞a 2，则a 5＝________． 易错分析 等差数列的“下标和”性质：若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ．而学生易错算为a m ＋a n ＝a m ＋n 导致结果算错．
答案 13
解析 ∵a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，且a 3＋a 4＝a 2＋a 5， ∴2(a 2＋a 5)＝34，∴a 2＋a 5＝17．又a 2·a 5＝52，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 2＝4，a 5＝13或⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 2＝13，
a 5＝4，又a 4＞a 2，∴a 4－a 2＝2d ＞0，
∴d ＞0，∴a 5＞a 2，∴a 5＝13．
一、选择题
1．若{a n }是等差数列，则下列数列为等差数列的有( ) ①{a n ＋a n ＋1}；②{a 2
n }；③{a n ＋1－a n }；④{2a n }；⑤{2a n ＋n }． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 答案 D
解析 设等差数列{a n }的公差为d ．
对于①，(a n ＋a n ＋1)－(a n －1＋a n )＝(a n －a n －1)＋(a n ＋1－a n )＝2d (n ≥2)， ∴{a n ＋a n ＋1}是以2d 为公差的等差数列；
对于②，a 2
n ＋1－a 2
n ＝(a n ＋1－a n )(a n ＋a n ＋1)＝d (a n ＋a n ＋1)≠常数，∴{a 2
n }不是等差数列； 对于③，∵a n ＋1－a n ＝d ，∴{a n ＋1－a n }为常数列； ∴{a n ＋1－a n }为等差数列；
对于④，∵2a n ＋1－2a n ＝2d ，∴{2a n }为等差数列； 对于⑤，(2a n ＋1＋n ＋1)－(2a n ＋n )＝2d ＋1， ∴{2a n ＋n }为等差数列．故选D ．
2．在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则a 9－1
3a 11的值为( )
A ．14
B ．15
C ．16
D ．17 答案 C
解析 由题意知5a 8＝120，∴a 8＝24， ∴a 9－13a 11＝(a 8＋d )－13(a 8＋3d )＝2
3
a 8＝16．
3．在等差数列{a n }中，a 10＝30，a 20＝50，则a 40＝( )
A ．40
B ．70
C ．80
D ．90 答案 D
解析 在等差数列中，间隔相等的项成等差数列， ∴a 10＝30，a 20＝50，a 30＝70，a 40＝90．故选D ．
4．在3与27之间插入7个数，使这9个数成等差数列，则插入这7个数中的第4个数值为( )
A ．18
B ．9
C ．12
D ．15 答案 D
解析 设这7个数分别为a 1，a 2，…，a 7，易知a 4是3与27的等差中项，∴a 4＝3＋27
2
＝15．
5．已知数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2．若a k ·a k ＋1＜0，则正整数k ＝( ) A ．24 B ．23 C ．22 D ．21 答案 B
解析 由3a n ＋1＝3a n －2得a n ＋1－a n ＝－23，所以数列{a n }为首项a 1＝15，公差d ＝－2
3的等
差数列，所以a n ＝15－23(n －1)＝－23n ＋473，则由a k ·a k ＋1＜0得a k ＞0，a k ＋1＜0，令a n ＝－2
3n
＋473＝0得n ＝47
2
，所以a 23＞0，a 24＜0，所以k ＝23．故选B ． 二、填空题
6．若lg 2，lg (2x －1)，lg (2x
＋3)成等差数列，则x ＝________． 答案 log 25
解析 由题意得2lg (2x －1)＝lg 2＋lg (2x
＋3)， 所以(2x
－1)2
＝2·(2x ＋3)，即(2x －5)(2x
＋1)＝0， 所以2x ＝5，即x ＝log 25．
7．中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为________． 答案 5
解析 易判断中位数1010是首项和末项的等差中项，故首项为2×1010－2015＝5． 8．若{a n }为等差数列，且a 1＋a 5＋a 9＝π，则cos(a 2＋a 8)的值为________． 答案 －12
解析 ∵{a n }为等差数列，∴a 1＋a 9＝2a 5＝a 2＋a 8．代入a 1＋a 5＋a 9＝π，得3
2(a 2＋a 8)＝π，
∴a 2＋a 8＝2π3，从而cos(a 2＋a 8)＝－1
2
．
三、解答题
9．已知数列{a n }，a n ＝2n －1，b n ＝a 2n －1． (1)求{b n }的通项公式；
(2)数列{b n }是否为等差数列？说明理由． 解 (1)∵a n ＝2n －1，b n ＝a 2n －1， ∴b n ＝a 2n －1＝2(2n －1)－1＝4n －3．
(2)由b n ＝4n －3，知b n －1＝4(n －1)－3＝4n －7． ∵b n －b n －1＝(4n －3)－(4n －7)＝4， ∴{b n }是首项b 1＝1，公差为4的等差数列．
10．已知等差数列{a n }，设b n ＝12an ，已知b 1＋b 2＋b 3＝218，b 1b 2b 3＝1
8，求数列{a n }的通项
公式．
解 ∵b 1＋b 2＋b 3＝218，b n ＝1
2an ．
∴12a 1＋12a 2＋12a 3＝218，∵b 1b 2b 3＝1
8， ∴12a 1·12a 2·12a 3＝18
， ∴12a 1＋a 2＋a 3＝1
8，∴a 1＋a 2＋a 3＝3． 又∵a 1，a 2，a 3成等差数列，
可设a 1＝a 2－d ，a 3＝a 2＋d ，于是a 2＝1． 由
121－d ＋12＋121＋d ＝21
8
． ∴1
212d ＋12·12d ＝178， ∴12×2d ＋12×2－d
＝178
， ∴2d ＋2－d
＝174，解得d ＝2或d ＝－2．
当d ＝2时，a 1＝1－d ＝－1，∴a n ＝2n －3； 当d ＝－2时，a 1＝1－d ＝3， ∴a n ＝3－2(n －1)＝－2n ＋5， ∴所求通项公式为
当a 1＝－1，d ＝2时，a n ＝2n －3；
当a1＝3，d＝－2时，a n＝－2n＋5．。