江西省萍乡市2019-2020学年高考数学三模试卷含解析

江西省萍乡市2019-2020学年高考数学三模试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设i 是虚数单位，若复数103m i
++（m R ∈）是纯虚数，则m 的值为（ ） A ．3- B ．1- C ．1
D ．3 【答案】A
【解析】
【分析】
根据复数除法运算化简，结合纯虚数定义即可求得m 的值.
【详解】
由复数的除法运算化简可得
10
33m m i i +=+-+，
因为是纯虚数，所以30m +=，
∴3m =-，
故选：A.
【点睛】
本题考查了复数的概念和除法运算，属于基础题.
2．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（
）
A ．10
3 B ．3
C ．83
D ．7
3
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意，可得几何体，利用体积计算即可.
【详解】
由题意，该几何体如图所示：
该几何体的体积11110222222323
V =
⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=. 故选：A.
【点睛】 本题考查了常见几何体的三视图和体积计算，属于基础题．
3．直线l 过抛物线24y x =的焦点且与抛物线交于A ，B 两点，则4||||AF BF +的最小值是
A ．10
B ．9
C ．8
D ．7
【答案】B
【解析】
【分析】 根据抛物线中过焦点的两段线段关系，可得1121AF BF p
+==；再由基本不等式可求得4AF BF +的最小值．
【详解】
由抛物线标准方程可知p=2
因为直线l 过抛物线2
4y x =的焦点，由过抛物线焦点的弦的性质可知 1121AF BF p
+== 所以4AF BF +
()114AF BF AF BF ⎛⎫=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭
441BF AF AF BF ⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭
因为AF BF 、
为线段长度，都大于0，由基本不等式可知 444152BF AF BF AF AF BF AF BF ⎛⎫+++≥+⨯ ⎪ ⎪⎝
⎭522≥+⨯
9≥，此时2BF AF =
所以选B
【点睛】
本题考查了抛物线的基本性质及其简单应用，基本不等式的用法，属于中档题．
4．在ABC V 中，点P 为BC 中点，过点P 的直线与AB ，AC 所在直线分别交于点M ，N ，若
AM AB λ=u u u u r u u u r ，(0,0)AN AC μλμ=>>u u u r u u u r ，则λμ+的最小值为（ ）
A ．54
B ．2
C ．3
D ．72
【答案】B
【解析】
【分析】
由M ，P ，N 三点共线，可得
11122λμ+=，转化11()22λμλμλμ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭
，利用均值不等式，即得解.
【详解】 因为点P 为BC 中点，所以1122AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ， 又因为AM AB λ=u u u u r u u u r ，AN AC μ=u u u r u u u r ， 所以1122AP AM AN λμ
=+u u u r u u u u r u u u r ． 因为M ，P ，N 三点共线， 所以11122λμ
+=，
所以111111()1222222
2λμλμλμλμμλ⎛⎫⎛⎫+=++=++++⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…， 当且仅当,11122λμμλλμ
⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩即1λμ==时等号成立，
所以λμ+的最小值为1．
故选：B
【点睛】
本题考查了三点共线的向量表示和利用均值不等式求最值，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
5．已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图是全等的直角三角形，则该几何体的各个面中，最大面的面积为（ ）
A ．2
B ．5
C ．13
D ．22
【答案】D
【解析】
【分析】 根据三视图还原出几何体，找到最大面，再求面积.
【详解】
由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，如图所示，将其放在一个长方体中，并记为三棱锥
P ABC -.13PAC PAB S S ∆∆==，22PAC S ∆=，2ABC S ∆=，故最大面的面积为22.选D.
【点睛】
本题主要考查三视图的识别，复杂的三视图还原为几何体时，一般借助长方体来实现.
6．阿基米德（公元前287年—公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形，为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的
23，且球的表面积也是圆柱表面积的
23”这一完美的结论.已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积为24π，则该圆柱的内切球体积为( )
A ．43π
B ．16π
C ．163π
D ．323
π 【答案】D
【解析】
【分析】
设圆柱的底面半径为r ,则其母线长为2l r =,由圆柱的表面积求出r ,代入圆柱的体积公式求出其体积,结合
题中的结论即可求出该圆柱的内切球体积.
【详解】
设圆柱的底面半径为r ,则其母线长为2l r =,
因为圆柱的表面积公式为2=22S r rl ππ+圆柱表，
所以222224r r r πππ+⨯=,解得2r =,
因为圆柱的体积公式为2=2V Sh r r π=⋅圆柱,
所以3=22=16V ππ⨯⨯圆柱,
由题知,圆柱内切球的体积是圆柱体积的
23
， 所以所求圆柱内切球的体积为 2232=16=333
V V ππ=⨯圆柱. 故选:D
【点睛】
本题考查圆柱的轴截面及表面积和体积公式;考查运算求解能力;熟练掌握圆柱的表面积和体积公式是求解本题的关键;属于中档题.
7．若数列{}n a 为等差数列，且满足5383a a a ++＝，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则11S ＝（ ） A ．27
B ．33
C ．39
D ．44
【答案】B
【解析】
【分析】
利用等差数列性质，若m n p q ++＝，则m n p q a a a a ++＝ 求出63a ＝，再利用等差数列前n 项和公式得111116+)11(11332
a a S a =＝＝ 【详解】
解：因为 5383a a a ++＝，由等差数列性质，若m n p q ++＝，则m n p q a a a a ++＝得，
63a ∴＝．
n S 为数列{}n a 的前n 项和，则111116+)11(11332
a a S a =＝＝． 故选：B ．
【点睛】
本题考查等差数列性质与等差数列前n 项和.
(1)如果{}n a 为等差数列，若m n p q ++＝，则m n p q a a a a ++＝ ()*m n p q N ∈，，，．
(2)要注意等差数列前n 项和公式的灵活应用，如21(21)n n S n a -=-.
8．若()()()20192019012019111x a a x a x -=+++++L ，x ∈R ，则22019122019333a a a ⋅+⋅++⋅L 的值为（ ）
A ．201912--
B ．201912-+
C ．201912-
D ．201912+
【答案】A
【解析】
【分析】
取1x =-，得到201902a =，取2x =，则22019
01220193331a a a a +⋅+⋅++⋅=-L ，计算得到答案.
【详解】
取1x =-，得到201902a =；取2x =，则22019
01220193331a a a a +⋅+⋅++⋅=-L .
故220192019
12201933312a a a ⋅+⋅++⋅=--L .
故选：A .
【点睛】
本题考查了二项式定理的应用，取1x =-和2x =是解题的关键.
9．已知函数()()1x f x k xe =-，若对任意x ∈R ，都有()1f x <成立，则实数k 的取值范围是（
） A ．(),1e -∞- B ．()1,e -+∞ C ．(],0e - D ．(]1,1e -
【答案】D
【解析】
【分析】
先将所求问题转化为()1
1e x k x -<对任意x ∈R 恒成立，即1
x y e =得图象恒在函数
(1)y k x =-图象的上方，再利用数形结合即可解决.
【详解】
由()1f x <得()11e x k x -<，由题意函数1
x y e =得图象恒在函数(1)y k x =-图象的上方，
作出函数的图象如图所示
过原点作函数1x
y e =的切线，设切点为(,)a b ，则1e e a a b a a --==，解得1a =-，所以切 线斜率为e -，所以e 10k -<-≤，解得1e 1k -<≤.
故选：D.
【点睛】
本题考查导数在不等式恒成立中的应用，考查了学生转化与化归思想以及数形结合的思想，是一道中档题. 10．现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为
A ．12
B ．13
C ．16
D ．112
【答案】B
【解析】
【分析】 求得基本事件的总数为22242222
6C C n A A =⨯=，其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为2222222m C C A ==,利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.
【详解】
由题意，现有甲乙丙丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动， 基本事件的总数为22242222
6C C n A A =⨯=， 其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为2222222m C C A ==, 所以乙丙两人恰好参加同一项活动的概率为13
m p n =
=，故选B. 【点睛】 本题主要考查了排列组合的应用，以及古典概型及其概率的计算问题，其中解答中合理应用排列、组合的知识求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
11．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且//AB CD ，若正方体的六个面所在的平面与直线CE EF ，相交的平面个数分别记为m n ，，则下列结论正确的是（ ）
A ．m n =
B ．2m n =+
C ．m n <
D ．8m n +<
【答案】A
【解析】
【分析】 根据题意，画出几何位置图形，由图形的位置关系分别求得,m n 的值，即可比较各选项.
【详解】
如下图所示，CE ⊂平面ABPQ ，从而//CE 平面1111A B PQ ，
易知CE 与正方体的其余四个面所在平面均相交，
∴4m =，
∵//EF 平面11BPPB ，//EF 平面11AQQ A ，且EF 与正方体的其余四个面所在平面均相交， ∴4n =，
∴结合四个选项可知，只有m n =正确.
故选：A.
【点睛】
本题考查了空间几何体中直线与平面位置关系的判断与综合应用，对空间想象能力要求较高，属于中档题. 12．下图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC 、直角边AB AC 、，已知以直角边AC AB 、为直径的半圆的面积之比为14
，记ABC α∠=，则2cos sin 2αα+=（ ）
A ．35
B ．45
C ．1
D ．85
【答案】D
【解析】
【分析】
根据以直角边AC AB 、为直径的半圆的面积之比求得
12AC AB =，即tan α的值，由此求得sin α和cos α的值，进而求得所求表达式的值.
【详解】
由于直角边AC AB 、为直径的半圆的面积之比为14，所以12AC AB =，即1tan 2
α=，所以sin 55αα=
=2cos sin 2αα+=48255
55+=. 故选：D 【点睛】
本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查二倍角公式，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知向量()1,a m =r ，()2,1b =r ，且a b ⊥r r ，则m =________．
【答案】2-
【解析】
【分析】
根据垂直向量的坐标表示可得出关于实数m 的等式，即可求得实数m 的值.
【详解】
()1,a m =r Q ，()2,1b =r 且a b ⊥r r ，则20a b m ⋅=+=r r ，解得2m =-.
故答案为：2-.
【点睛】
本题考查利用向量垂直求参数，涉及垂直向量的坐标表示，考查计算能力，属于基础题.
14．已知不等式2x x a ++≤的解集不是空集,则实数a 的取值范围是 ；若不等式
22131
11a a x x x x a +--+-+++≥对任意实数a 恒成立，则实数x 的取值范围是___
【答案】2,(,2][1,)a x ≥∈-∞-⋃+∞
【解析】
【分析】 利用绝对值的几何意义，确定出2x x ++的最小值，然后根据题意即可得到a 的取值范围 化简不等式2213111a a x x x x a +--+-+++≥
，求出 131a a a +--的最大值，然后求出结果
【详解】 2x x ++Q 的最小值为2，则要使不等式的解集不是空集，则有2a ≥ 化简不等式2213111a a x x x x a +--+-+++≥有 22?1410131140321
23a a a a a a a a a
⎧-+≤-⎪⎪--<<⎪+--⎪=⎨<<⎪⎪⎪-≥⎪⎩；；；；， 即22
114x x x x +-+++≥
而2221122?22112x x x x x x x x x ⎧---+≤≥⎪⎪+-+++=⎨⎪<<⎪⎩
； 当2224x x +≥时满足题意，解得2x ≤-或1x ≥
所以答案为][(),21,x ∈-∞-⋃+∞
【点睛】
本题主要考查的是函数恒成立的问题和绝对值不等式，要注意到绝对值的几何意义，数形结合来解答本题，注意去绝对值时的分类讨论化简
15．某中学高一年级有学生1200人，高二年级有学生900人，高三年级有学生1500人，现按年级用分层抽样的方法从这三个年级的学生中抽取一个容量为720的样本进行某项研究，则应从高三年级学生中抽取_____人．
【答案】1．
【解析】
【分析】
先求得高三学生占的比例，再利用分层抽样的定义和方法，即可求解.
【详解】
由题意，高三学生占的比例为
15005
1200900150012
=
++
，
所以应从高三年级学生中抽取的人数为
5
720300
12
⨯=.
【点睛】
本题主要考查了分层抽样的定义和方法，其中解答中熟记分层抽样的定义和抽取的方法是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
16．如图，直线l是曲线()
y f x
=在3
x=处的切线，则(3)
f'=________.
【答案】
1
2
.
【解析】
【分析】
求出切线l的斜率，即可求出结论.
【详解】
由图可知直线l过点
3
(3,3),0,
2
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，
可求出直线l的斜率
3
31
2
302
-
==
-
k，
由导数的几何意义可知，
1
(3)
2
f'=.
故答案为:
1
2
.
【点睛】
本题考查导数与曲线的切线的几何意义，属于基础题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．如图，在四棱锥A BCDE
-中，平面BCDE⊥平面ABC，,1,2,60
BE EC BC AB ABC
⊥==∠=︒. （Ⅰ）求证：BE⊥平面ACE；
（Ⅱ）若锐二面角E AB C --
的余弦值为7
，求直线CE 与平面ABC 所成的角. 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）45︒. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）由余弦定理解得AC ，即可得到AC BC ⊥，由面面垂直的性质可得AC ⊥平面BCDE ，即可得到
AC BE ⊥，从而得证；
（Ⅱ）在平面BCDE 中，过点E 作EO BC ⊥于点O ，则OE ⊥平面ABC ，如图所示建立空间直角坐标系，
设()
(),0,0,A a E b -，其中01,0a b <<>，利用空间向量法得到二面角的余弦，即可得到,a b 的关系，从而得解； 【详解】
解：（Ⅰ）证明：在ABC ∆中，2222cos AC BC AB BC ABC =+-⋅∠
，解得AC = 则222AC BC AB +=，从而AC BC ⊥
因为平面BCDE ⊥平面ABC ，平面BCDE ⋂平面ABC BC = 所以AC ⊥平面BCDE ， 又因为BE ⊂平面BCDE ， 所以AC BE ⊥，
因为BE EC ⊥，AC CE C =I ，AC ⊂平面ACE ，CE ⊂平面ACE ，所以BE ⊥平面ACE ； （Ⅱ） 解：在平面BCDE 中，过点E 作EO BC ⊥于点O ，则OE ⊥平面ABC ，如图所示建立空间直
角坐标系，设()
(),0,0,A a E b -，其中01,0a b <<>，则
(
)()
()1,0,0,,1,0,B a BA BE a b -=-=-u u u r u u u r
设平面ABE 的法向量为(),,m x y z =u r
，则 00BA m BE m ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v
u u u
v v
，即(
)0
10x a x bz ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩， 令1y =
，则1m a ⎫=⎪⎪-⎭u r 又平面ABC 的一个法向量()0,0,OE b =u u u r
，则
cos 7m OE m OE m OE
⋅⋅==
=
⋅u r u u u r
u r u u u r u r u u u r 从而1b a =-，故45EBO ECB ∠=︒=∠
则直线CE与平面ABC所成的角为ECB
∠，大小为45︒.
【点睛】
本题考查线面垂直的判定，面面垂直的性质定理的应用，利用空间向量法解决立体几何问题，属于中档题. 18．在世界读书日期间，某地区调查组对居民阅读情况进行了调查，获得了一个容量为200的样本，其中城镇居民140人，农村居民60人.在这些居民中，经常阅读的城镇居民有100人，农村居民有30人. （1）填写下面列联表，并判断能否有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关？
（2）从该地区城镇居民中，随机抽取5位居民参加一次阅读交流活动，记这5位居民中经常阅读的人数为X，若用样本的频率作为概率，求随机变量X的期望.
附：
2
2
()
()()()()
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++
，其中n a b c d
=+++.
【答案】（1）见解析，有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关.（2）()
7
E X=【解析】
【分析】
（1）根据题意填写列联表，利用公式求出2
K，比较2K与6.635的大小得结论；
（2）由样本数据可得经常阅读的人的概率是5
7
，则
5
~5,
7
X B
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，根据二项分布的期望公式计算可得；
【详解】
解：（1）由题意可得：
则
2
2
200(100304030)
8.477 6.635
1406013070
K
⨯⨯-⨯
=≈>
⨯⨯⨯
，
所以有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关.
（2）根据样本估计，从该地区城镇居民中随机抽取1人，抽到经常阅读的人的概率是5
7
，且
5
~5,
7
X B
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，
所以随机变量X的期望为
525 ()5
77 E X=⨯=.
【点睛】
本题考查独立性检验的应用，考查离散型随机变量的数学期望的计算，考查运算求解能力，属于基础题．19．某芯片公司为制定下一年的研发投入计划，需了解年研发资金投入量（单位：亿元）对年销售额（单位：亿元）的影响.该公司对历史数据进行对比分析，建立了两个函数模型:①，②，其中均为常数，为自然对数的底数．
现该公司收集了近12年的年研发资金投入量和年销售额的数据，，并对这些数据作了初步处理，得到了右侧的散点图及一些统计量的值．令，经计算得如下数据：
（1）设和的相关系数为，和的相关系数为，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型；
（2）（i）根据（1）的选择及表中数据，建立关于的回归方程（系数精确到0.01）；
（ii）若下一年销售额需达到90亿元，预测下一年的研发资金投入量是多少亿元？
附：①相关系数，回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，；
②参考数据：，，．
【答案】（1）模型的拟合程度更好；（2）（i）；（ii）亿元.
【解析】
【分析】
（1）由相关系数求出两个系数，比较大小可得；
（2）（i）先建立关于的线性回归方程，从而得出关于的回归方程；
（ii）把代入（i）中的回归方程可得值．
【详解】
本小题主要考查回归分析等基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力、抽象概括能力及应用意识,考查统计与概率思想、分类与整合思想,考查数学抽象、数学运算、数学建模、数据分析等核心素养,体现基础性、综合性与应用性．
解：（1），
，
则，因此从相关系数的角度，模型的拟合程度更好
（2）（i）先建立关于的线性回归方程.
由，得，即．
由于，
所以
关于的线性回归方程为
，
所以，则
（ii ）下一年销售额需达到90亿元，即，
代入得，，
又，所以
，
所以
，
所以预测下一年的研发资金投入量约是亿元
【点睛】
本小题主要考查抛物线的定义、抛物线的标准方程、直线与抛物线的位置关系、导数几何意义等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等，考查数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养，体现基础性、综合性与应用性
20．已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，数列{}n b 为等差数列，且111b a ==，331b a =+，
557b a =-.
（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b 的前n 项和n A ；
（3）设n S 为数列{}2
n a 的前n 项和，若对于任意n *∈N ，有1
23
n b n S t +
=⋅，求实数t 的值. 【答案】（1）1
2n n a -=，21n b n =-（2）(23)23n n n A -⋅+=（3）23
t =
【解析】 【分析】
（1）假设公差d ，公比q ，根据等差数列和等比数列的通项公式，化简式子，可得d ，q ，然后利用公式法，可得结果.
（2）根据（1）的结论，利用错位相减法求和，可得结果. （3）计算出n S ，代值计算并化简，可得结果. 【详解】
解：（1）依题意：2114
1121
47b d a q b d a q ⎧+=+⎨+=-⎩， 即24
248d q d q ⎧=⎨=-⎩
，解得：2
2d q =⎧⎨=⎩ 所以1
2n n a -=，21n b n =-
（2）1
212
n n n a b (n )-=-，
2113252(21)2n n A n -+⨯+⨯++-⨯=L ， 23123252(21)22n n n A ⨯+⨯+⨯+-=+⨯L ，
上面两式相减，得：
2112(222)(21)2n n n n A -++++--=⨯-L
则12(12)
12(21)212
n n n A n ---=+⨯--⨯-
即n A -(32)23n
n -=⨯- 所以，(23)23n
n n A -⋅+= （3）2
22
2
n n a -=14n -=
23114444n n S -++++=+L ，
所以1441
143
n n n S --==
- 由123n
b n S t +=⋅得，21411233
n n t --+=⨯，
即221
212
23233
n n t -==⨯=⨯ 【点睛】
本题主要考查等差数列和等比数列的综合应用，以及利用错位相减法求和，属基础题. 21．已知()2,0A -，()2,0B ，动点P 满足直线PA 与直线PB 的斜率之积为3
4
-，设点P 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；
（2）若过点()1,0F 的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，过点F 且与直线l 垂直的直线与4x =相交于点
T ，求
||
||
TF MN 的最小值及此时直线l 的方程.
【答案】（1）()22
1243
x y x +=≠±（2）||||TF MN 的最小值为1，此时直线l ：1x = 【解析】 【分析】
（1）用直接法求轨迹方程，即设动点为(,)P x y ，把已知用坐标表示并整理即得．注意取值范围； （2）设l ：1x my =+，将其与曲线C 的方程联立，消元并整理得(
)
2
2
34690m y my ++-=， 设()12,M x y ，()22,N x y ，则可得12y y +，，12y y
，由12MN y =-求出MN ， 将直线FT 方程()1y m x =--与4x =联立，得()4,3T m -，求得TF ，计算
||
||
TF MN
，设t =.显然1t ≥，构造()()||1131||4TF f t t t MN t ⎛⎫
==+≥ ⎪⎝⎭
，由导数的知识求得其最小值，同时可得直线l 的方程. 【详解】
（1）设(),P x y ，则34
PA PB k k ⋅=-
，即
()3224y y x x ⋅=---- 整理得()22
1243
x y x +=≠±
（2）设l ：1x my =+，将其与曲线C 的方程联立，得()2
231412my y ++= 即(
)
2
2
34690m y my ++-=
设()12,M x y ，()22,N x y ，则122634m y y m +=-
+，12
29
34
y y m =-+
22
12(1)34m MN m +==+ 将直线FT ：()1y m x =--与4x =联立，得()4,3T m -
∴TF ==
∴2||11||44TF MN ⎛⎫== ⎝
设t =.显然1t ≥ 构造()()||1131||4TF f t t t MN t ⎛⎫
=
=+≥ ⎪⎝⎭
()211304f t t ⎛⎫
'=-> ⎪⎝⎭
在[)1,t ∈+∞上恒成立
所以()y f t =在[
)1,+∞上单调递增 所以
||1131||4FT t MN t ⎛⎫
=+≥ ⎪⎝⎭
，当且仅当1t =，即0m =时取“=”
即||||
TF MN 的最小值为1，此时直线l ：1x =. （注：1.如果按函数1
y x x
=+的性质求最值可以不扣分；2.若直线方程按斜率是否存在讨论，则可以根据步骤相应给分.） 【点睛】
本题考查求轨迹方程，考查直线与椭圆相交中的最值．直线与椭圆相交问题中常采用“设而不求”的思想方法，即设交点坐标为1122(,),(,)x y x y ，设直线方程，直线方程与椭圆方程联立并消元，然后用韦达定理得
1212,x x x x +（或1212,y y y y +），把这个代入其他条件变形计算化简得出结论，本题属于难题，对学生的
逻辑推理、运算求解能力有一定的要求．
22．已知在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，PA AB =，在四边形ABCD 中，DA AB ⊥，
//AD BC ，22AB AD BC ===，E 为PB 的中点，连接DE ，F 为DE 的中点，连接AF .
（1）求证：⊥AF PB .
（2）求二面角A EC D --的余弦值. 【答案】（1）见解析；（2）21
7
【解析】 【分析】
（1）连接AE ，证明PB AD ⊥，AE PB ⊥得到PB ⊥面ADE ，得到证明.
（2）以PA ，AB ，AD 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，()1,1,2n =-r
为平面AEC 的法向量，平面DEC 的一个法向量为()3,1,2m =u r
，计算夹角得到答案.
【详解】
（1）连接AE ，在四边形ABCD 中，DA AB ⊥，PA ⊥平面ABCD ，
AD ⊂面ABCD ，AD PA ∴⊥，PA AB A =I ，AD ∴⊥面PAB ，
又PB ⊂Q 面PAB ，PB AD ∴⊥，
又Q 在直角三角形PAB 中，PA AB =，E 为PB 的中点，
AE PB ∴⊥，AD AE A ⋂=，PB ∴⊥面ADE ，AF ⊂面ADE ，AF PB ∴⊥
.
（2）以PA ，AB ，AD 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，
()2,0,0P ，()0,2,0B ，()1,1,0E ，()0,2,1C ，()0,0,0A ，()0,0,2D ，
设(),,n x y z =r 为平面AEC 的法向量，()0,2,1AC =u u u r ，()1,1,0AE =u u u r ，00n AC n AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩
u u u v v u u u v v
，20
0y z x y +=⎧∴⎨+=⎩，令1x =，则1y =-，2z =，()1,1,2n ∴=-r
，
同理可得平面DEC 的一个法向量为()3,1,2m =u r
.
设向量m u r 与n r
的所成的角为θ，21
cos 7614
θ∴=
=⨯， 由图形知，二面角A EC D --为锐二面角，所以余弦值为
21
. 【点睛】
本题考查了线线垂直，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 23．已知函数()ln(),(0)f x ax a a =->．
（1）若函数()()x
h x e f x =在(0,)+∞上单调递增，求实数a 的值；
（2）定义：若直线:l y kx b =+与曲线1122:(,)0(,)0:C f x y C f x y ==、都相切，我们称直线l 为曲线1C 、
2C 的公切线，证明：曲线()ln(),(0)f x ax a a =->与(),(0)x g x ae a =>总存在公切线．
【答案】（1）1a =；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）求出导数，问题转化为()0h x '…在(0,)+∞上恒成立，利用导数求出1()ln()x ax a x
ϕ=+-的最小值即可求解；
（2）分别设切点横坐标为12,x x ，利用导数的几何意义写出切线方程，问题转化为证明两直线重合，只需满足2221121ln()1x x x ae x ax a ae ax e ⎧=⎪⎨⎪--=-⎩
有解即可，利用函数的导数及零点存在性定理即可证明存在.
【详解】
（1）()[ln()],0x h x e ax a x =->Q ，
1()ln )]([x h x e ax a x
'∴=+- 函数()h x 在(0,)+∞上单调递增等价于()0h x '…
在(0,)+∞上恒成立． 令1()ln()x ax a x ϕ=+-，得22111()x x x x x
ϕ'-=-=， 所以()x ϕ在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增，则min ()(1)x ϕϕ=．
因为0x e >，则()0h x '
…在(0,)+∞上恒成立等价于()0x ϕ…在(0,)+∞上恒成立； 又1
()0,a
ϕ=Q 1()(1)0a
ϕϕ∴==， 所以11a
=，即1a =． （2）设()ln(),(0)f x ax a a =->的切点横坐标为1x x =，则11
()1f x x '= 切线方程为111
1ln()()y ax a x x x -+=-……① 设(),(0)x g x ae a =>的切点横坐标为2x x =，则22()x g x ae '=，
切线方程为222()x x y ae ae x x -=-……②
若存在12,x x ，使①②成为同一条直线，则曲线()f x 与()g x 存在公切线，由①②得
2221121ln()1x x x ae x ax a ae ax e ⎧=⎪⎨⎪--=-⎩
消去1x 得22221x x x a ae ax e ---=-
即2222221112111
()x x x e x e e a x x --+==-++ 令21()1x x
e t x e x +=-+，则221()0(1)x x x e e t x x '++=>+ 所以，函数()y t x =在区间(0,)+∞上单调递增，
0(1)(2)0(1,2)t t x ⋅<∴∃∈Q ，使得0()0t x =
0(,)x x ∴∈+∞时总有0()()0t x t x >=
又x ∴→+∞时，()t x →+∞
1(1)11
x e x a x --∴=+在(0,)+∞上总有解 综上，函数()ln(),(0)f x ax a a =->与(),(0)x g x ae a =>总存在公切线．
【点睛】
本题主要考查了利用导数研究函数的恒成立问题，导数的几何意义，利用导数证明方程有解，属于难题.。