2014年高考一轮复习考点热身训练：7.1空间几何体

2014年高考一轮复习考点热身训练：7.1空间几何体
一、选择题(每小题5分，共20分)
1.以下四个命题：①正棱锥的所有侧棱相等；②直棱柱的侧面都是全等的矩形；③圆柱的母线垂直于底面；
④用经过旋转轴的平面截圆锥，所得的截面一定是全等的等腰三角形.其中，真命题的个数为( )
(A)4 (B)3 (C)2 (D)1
2.(预测题)一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是( )
3.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是( )
4.由两个完全相同的正四棱锥组合而成的空间几何体的正视图、侧视图、俯视图相同如图所示，其中视图中四边形ABCD是边长为1的正方形，则该几何体的表面积为( )
5.(2012·银川模拟)长方体的三个相邻面的面积分别为2，3，6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的面积为( )
(A)7
2
π (B)56π (C)14π (D)64π
6.（2012·福州模拟)某几何体的三视图如图所示，根据图中数据，可得该几何体
的体积是（）
（A）
（B+
（C）
（D）-
二、填空题(每小题5分，共10分) Z.xx.k
7.（2012·福州模拟)如图，点O为正方体
ABCD-A′B′C′D′的中心，点E为面
B′BCC′的中心，点F为B′C′的中点，
则空间四边形D′OEF在该正方体的各个面
上的正投影可能是_______（填出所有可能的序号）.
Z。

xx。

k
8.圆锥的全面积为15πcm2，侧面展开图的圆心角为60°，则该圆锥的体积为________ cm3.
9.（易错题）如图，有三个几何体，一个是长方体、一个是直三棱柱、一个是过圆柱上下底面圆心切下的
圆柱的四分之一部分，这三个几何体的正视图和俯视图是相同的正方形，则它们的体积之比为________.
学,科,
三、解答题(每小题15分，共30分)
10.已知：图①是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图；图②是某几何体的三视图，试说
明该几何体的构成.
11.如图，已知平行四边形ABCD中，BC=2，BD⊥CD，四边形ADEF为正方形，平面ADEF⊥平面ABCD，G，H
分别是DF，BE的中点.记CD=x,V(x)表示四棱锥F-ABCD的体积.
(1)求V(x)的表达式；(2)求V(x)的最大值.
【探究创新】
(15分)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB>1，点E在棱AB上移动，小蚂蚁从点A沿长方体
的表面爬到点C1，所爬的最短路程为.
(1)求AB的长度.
(2)求该长方体外接球的表面积.
答案解析
1.【解析】选B.由正棱锥的定义可知所有侧棱相等，故①正确；由于直棱柱的底面不一定是正多边形，故
侧面矩形不一定全等，因此②不正确；由圆柱母线的定义可知③正确；结合圆锥轴截面的作法可知④正确. Zxxk
综上，正确的命题有3个.
2.【解析】选C.当俯视图为A、B时表示底面为等腰直角三角形，且过直角顶点的棱与底面垂直的三棱锥.
当俯视图为D时，表示底面为正方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥.故选C.
【方法技巧】由直观图画三视图的技巧
(1)可以想象将一几何体放在自己面前,然后从正前方,左侧及上面观察该几何体,进而得到正视图、侧视图
和俯视图.
(2)在画三视图时,要注意看得见的轮廓线画成实线,看不见的轮廓线画成虚线.
3.【解析】选A.由题意知直观图是边长为1，所以原图形为平行四边形,且位
于y轴上的对角线长为.
4.【解析】选B.由三视图知，该几何体为四棱锥P-ABCD(如图)，其中底面ABCD是边长为2的正方形,
PC⊥平面ABCD,PC=2.故,
PA==，所以最长棱的长为
4.【解题指南】由三视图得到几何体的直观图是解题的关键. Z,xx,k 学+科+网Z+X+X+K]
【解析】选B.由题意得该几何体中正四棱锥的侧棱长为1，故底面正方形
的边长为1
，所以几何体的表面积为2
81)⨯=5.【解析】选C.设长方体的过同一顶点的三条棱长分别为a,b,c ，
则ab 2bc 3ac 6=⎧⎪=⎨⎪=⎩，得a 2b 1,c 3=⎧⎪
=⎨⎪=⎩
令球的半径为R ，则(2R)2
=22
+12
+32
=14, ∴R 2
=
7
2
, ∴S 球=4πR 2
=14π.
6.【解析】选 B.
的正四棱
锥.
故体积
2
3
1
V 3
+⨯
=
7.【解析】①是空间四边形D ′OEF 在平面CDD ′C ′上的投影；②是空间四边形D ′OEF 在侧面BCC ′B ′上的投影；③是空间四边形D ′OEF 在平面
A ′
B ′
C ′
D ′上的投影；④不是D ′OEF 在正方体面上的投影. 答案：①②③
8.【解析】设底面圆的半径为r ，母线长为a ，则侧面积为
12×(2πr)a=πra ．由题意得22ra r 151ra a
6⎧π+π=π⎪⎨π=π⎪⎩，解得2215r 7
3615a 7⎧=⎪⎪⎨⨯⎪=⎪⎩
，
故圆锥的高h ==
，所以体积为()231115V r h cm 337=π=π⨯⨯=．
9.【解析】因为三个几何体的正视图和俯视图为相同的正方形，所以原长方体棱长相等为正方体，原直三棱柱是底面为等腰直角三角形，且侧棱与底面直角边长相等的直三棱柱，原圆柱是底面半径与高相等的圆柱，设正方形的边长为a,则长方体体积为a 3
，三棱柱体积为
31a 2，四分之一圆柱的体积为1
4
πa 3，所以它们的体积之比为4∶2∶π. Z,xx,k
答案：4∶2∶π
10.【解析】图①几何体的三视图为：
图②所示的几何体是上面为正六棱柱，下面为倒立的正六棱锥的组合体.
11.【解题指南】利用体积公式得到V(x)的表达式，然后根据基本不等式或函数的知识求最大值． 【解析】(1)∵平面ADEF ⊥平面ABCD ，交线为AD 且FA ⊥AD ， ∴FA ⊥平面ABCD.
∵BD ⊥CD ，BC=2，CD=x,
∴FA=2,BD=
∴S □ABCD =CD ·,
∴V(x)=
13S □ABCD ·FA=2
3
(0<x<2)
(2)方法一：要使V(x)取得最大值，只需=
取得最大值，
∵x 2
(4-x 2
)≤(22x 4x 2
+-)2
=4,
∴V(x)≤
23×2=43
.
当且仅当x 2
=4-x 2
，即. 故V(x)的最大值为4
3
.
方法二：()2V x 3=
=
=
∵0<x<2,∴0<x 2
<4,
∴当x 2
=2，即时，V(x)取得最大值，且V(x)max =
43
. 【探究创新】
【解析】(1)设AB=x,点A 到点C 1可能有两种途径，如图甲的最短路程为
|AC 1.
如图乙的最短路程为
1
AC==
∵x>1,∴x2+2x+2>x2+2+2=x2+4,故从点A沿长方体的表面爬到点C1.
=x=2.
即AB的长度为2. Z*xx*k
(2)设长方体外接球的半径为R，则
(2R)2=12+12+22=6,
∴R2=3
2
,∴S表=4πR2=6π.
即该长方体外接球的表面积为6π.。