2022-2023学年八年级数学下册《一次函数题型分类》专题基础知识专项讲练含答案解析

专题 19.43 一次函数题型分类专题（动点问题）
（培优篇）（专项练习）
一、单选题
1．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC 的顶点O 在坐标原点，点E 是对角线AC 上一动点（不包含端点），过点E 作EF//BC ，交AB 于F ，点P 在线段EF 上．若OA =4，OC =2，∠AOC =45°，EP =3PF ，P 点的横坐标为m ，则m 的取值范围是（ ）
A ．43m <<
B ．34m <<
C ．23m <<
D ．44m <<
2．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（4，0），点Q 是直线y =上的一个动点，以AQ 为边，在AQ 的右侧作等边△APQ ，使得点P 落在第一象限，连接OP ，则OP +AP 的最小值为（ ）
A ．6
B ．
C ．8
D ．3．如图1，点
E 为矩形ABCD 的边AD 上一点，动点P ，Q 同时从点B 出发以1cm/s 的速度运动，其中，点P 沿折线BE ED DC --运动到点C 时停止，点Q 沿BC 运动到点C 时停止．设点P 出发s t 时，BPQ V 的面积为2cm y ，y 与t 的函数关系如图2所示（曲线OM 为抛物线的一部分），则当8t =时，y 的值为（ ）
A ．9
B ．17
2C ．15
2D ．8
4．如图1，点Q 为菱形ABCD 的边BC 上一点，将菱形 ABCD 沿直线AQ 翻折，点B 的对应点P 落在BC 的延长线上.已知动点M 从点B 出发，在射线 BC 上以每秒1个单位长
度运动.设点M 运动的时间为x ，△APM 的面积为y ．图2为y 关于x 的函数图象，则菱形 ABCD
的面积为（ ）
A ．12
B ．24
C ．10
D ．20
5．如图①，在正方形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点P 是对角线AC 上一动点，设PC ＝x ，PE +PB ＝y ，图②是y 关于x 的函数图象，且图象上最低点Q 的坐标可能是（ ）
A B ．（C ．（4，3）D ．（，6．如图1，在Rt ABC V 中，90ACB D ∠=︒,是斜边AB 的中点，动点E 从点A 出发，沿A C B →→运动，设BED S y =V ，点E 运动的路程为x ，若y 与x 之间的函数图象如图2所示，则CD 的长为（ ）
A ．1
B
C ．2
D ．4
7．如图，矩形ABOC 的边BO 、CO 分别在x 轴、y 轴上，点A 的坐标是()6,4-，点D 、E 分别为AC 、OC 的中点，点P 为OB 上一动点，当PD PE +最小时，点P 的坐标为（ ）
A ．()1,0-
B ．()2,0-
C ．()3,0-
D ．()
4,0-8．如图，已知点A 是第一象限内横坐标为2的一个定点，AN x ⊥轴于点M ，交直线
y x =于点N ，若点P 是线段ON 上的一个动点，30APB ∠=，BA PA ⊥，点P 在线段ON 上运动时，A 点不变，B 点随之运动，当点P 从点O 运动到点N 时，则点B 运动的路径长是（ ）
A B C ．2D ．4
3
9．如图-①，在矩形ABCD 中，AB AD >，对角线AC 、BD 相交于点O ，动点P 由点A 出发，沿AB →BC →CD 向点D 运动，设点P 的运动路径为x ，AOP V 的面积为y ，图-②是y 关于x 的函数关系图像，则AB 边的长为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
10．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是（4，0），点B 的坐标是（3，4），点P 是y 轴正半轴上的动点，连接AP 交线段OB 于点Q ，若△OPQ 是等腰三角形，则点P 的坐标是（ ）
A ．（0，53）
B ．（0，43
）C ．（0，43）或（0，163）D ．（0，53）或（0，163
）二、填空题
11．如图，一次函数8y kx =+与x 轴交于点()8,0A ，点C 在直线AB 上且横坐标为6．点D 为x 轴上一点，BD CD =，若点M 是x 轴上的动点，在直线AB 上找在一点N （点N 与点C 不重合），使AMN V 与ACD V 全等，点N 的坐标为______．
12．在平面直角坐标系中，已知()1,3Q -，()0,4A ，点P 为x 轴上一动点，以QP 为腰作等腰Rt QPH △，当OH AH +最小时，点H 的坐标为___________．
13．已知直线y =与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，点C 是射线AB 上的动点 ，点D 在坐标平面内 ，以O ，A ，C ，D 为顶点的四边形是菱形．则点C 的坐标为______．
14．如图，在直角坐标系中，直线24y x =+分别交x 轴，y 轴于A ，B 两点，C 为OB
的中点，点D 在第二象限，且四边形AOCD 为矩形，P 是CD 上一个动点，过点P 作PH ⊥OA
于H ，Q 是点B 关于点A 的对称点，则BP ＋PH ＋HQ 的最小值为________．
15．如图，一次函数y =-x +4的图像与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点C 为AO 中点，OD =3，点P 为AB 上的动点，当∠APC =∠BPD 时，点P 的坐标为____．
16．如图，ABCD Y 中，AB //x 轴，12AB =．点A 的坐标为()2,8-，点D 的坐标为()6,8-，点B 在第四象限，点G 是AD 与y 轴的交点，点P 是CD 边上不与点C ，D 重合的一个动点，过点P 作y 轴的平行线PM ，过点G 作x 轴的平行线GM ，它们相交于点M ，将△PGM 沿直线PG 翻折，当点M 的对应点落在坐标轴上时，点P 的坐标为______．
17．在平面直角坐标系中，Q 是直线122
y x =-+上的一个动点，将Q 绕点(1,0)P 顺时针旋转90︒，得到点Q '连接OQ '，则OQ '的最小值为__________．
18．直线473
y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，与直线y x =-交于点C ．
（1）C 点的坐标为________；
（2）若点D 是y 轴上的动点，点E 是直线473
y x =+上的动点，若以B ，D ，E 为顶点的三角形与OBC △全等，则点E 的坐标是________．
三、解答题
19．在平面直角坐标系xOy 中，直线1l ：1y k x b =+过()0,3A -，()5,2B ，直线2l ：22y k x =+．
(1) 求直线1l 的表达式；
(2) 过动点()0,P t 且垂直于y 轴的直线与1l ，2l 的交点分别是C ，D ．当1t ≤时，点C 位于点D 右方，直接写出2k 的取值范围．
20．如图，直线y kx b =+经过点75,04A ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，点()0,25B ，与直线34y x =交于点C ，点D 为直线AB 上一动点，过D 点作x 轴的垂线交直线OC 于点E ．
(1) 求直线AB 的表达式和点C 的坐标；
(2) 当23
DE OA =时，求CDE V 的面积；(3) 连接OD ，当OAD △沿着OD 折叠，使得点A 的对应点1A 落在直线OC 上，直接写出此时点D 的坐标．
21．阅读并解决下面问题：定义：把函数y kx b =+中自变量x 作为横坐标，函数值y 作为纵坐标，我们把坐标(),x kx b +叫做函数y kx b =+的函数坐标；反过来，把坐标(),x kx b +中的横坐标x 看做自变量，纵坐标+kx b 看作因变量y ，得到函数y kx b =+，我们把函数y kx b =+叫做坐标(),x kx b +的坐标函数．
(1) 坐标()24m m ，
＋是函数 的函数坐标；（填函数表达式）(2) 已知(),3P m m +，()1,4Q n n --两点在同一直角坐标系中，则线段PQ 的最短距离是 ；
(3) 如图，
已知直线28y x =-+与两坐标轴分别交于A ，B 两点，与直线2y x =交于点C ，M 是直线2y x =上的动点，点M 横坐标为m ，过点M 作y 轴的平行线，交直线28y x =-+于点N ，且4MN =，求点M 的坐标；
(4) 在（3）的条件下，点()14D t t --，在OBC △的内部（不包括边界），则t 的取值范围是 ．
22．如图，直线18l y x =-+：与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，直线2l y x =：与直线1l 交于点C ，平行于y 轴的直线m 从原点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿x 轴向右平移，到C 点时停止．直线m 交线段BC 、OC 于点D 、E ，以DE 为斜边向左侧作等腰Rt DEF △，设DEF V 与BCO V 重叠部分的面积为S （平方单位），直线m 的运动时间为t （秒）．
(1) 填空：OA =_______，OAB ∠=______；
(2) 填空：动点E 的坐标为（t ，_____），DE =______（用含t 的代数式表示）；
(3) 当点F 落在y 轴上时，求t 的值．
(4) 求S 与t 的函数关系式并写出自变量的取值范围；
23．如图，在平面直角坐标系中，点()1,0A ，()0,2B ，()1,2C --，直线AB 和直线AC 的图象相交于点A ，连接BC ．
(1) 求直线AB 和直线AC 的函数表达式；
(2) 请直接写出ABC V 的面积为___________，在第一象限，直线AC 上找一点D ，连接BD ，当ABD △的面积等于ABC V 的面积时，请直接写出点D 的坐标为___________．
(3) 点E 是直线AB 上的一个动点，
在坐标轴上找一点F ，连接CE ，EF ，FC ，当CEF △是以CE 为底边的等腰直角三角形时，请直接写出CEF △的面积为___________．
24．如图1，在平面直角坐标系xOy 中，点O 为坐标原点，直线1l ：13344
y x =-+与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，点()3C a ，为直线1l 上一点，另一直线2l ：243
y x b =+经过点C ，且与y 轴交于点D ．
(1)求点C 的坐标和b 的值；
(2)如图2，点P 为y 轴上一动点，将CPD △沿直线CP 翻折得到CPE △．①当点P 为线段OD 上一动点时，设线段CE 交线段BD 于点F ，求PEF !与BFC △的面积相等时，点P 的坐标；
②当点E 落在x 轴上时，求点E 的坐标及PCE V 的面积．
参考答案
1．A
【分析】先求确定A 、C 、B 三个点坐标，然后求出AB 和AC 的解析式，再表示出EF 的长，进而表示出点P 的横坐标，最后根据不等式的性质求解即可．
解：由题意可得(
)(,4,0,4C A B ，设直线AB 的解析式为y =kx +b
则(044k b
k b =+⎧=+ 解得：14k b =⎧⎨=-⎩∴直线AB 的解析式为：y =x -4，
∴x =y +4，
设直线AC 的解析式为y =mx +n
则04m n n =+⎧+
解得：m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
∴直线AC
的解析式为：y =
，
∴4x y =+-，
∴点F 的横坐标为：y +4，点E
的坐标为：4y +-，
∴(
)(
)44EF y y =+-+-=，
∵EP =3PF ，
∴14PF EF y ==
，
∴点P的横坐标为：4
+，
y y
∵0<<
y
∴443
<+<+
y y
∴43
m
<<
故答案为：A．
【点拨】本题主要考查了等腰直角三角形性质、求一次函数的解析式、不等式性质等知识，根据题意表示出点P的横坐标是解答本题的关键．
2．C
【分析】根据点Q的运动先证明点P在直线PM是运动，再根据轴对称最值问题，作点P关于直线PM的对称点B，连接AB，求出AB的长即可．
解：如图，作∠OAM＝60°，边AM交直线OQ于点M，作直线PM，
由直线y=可知，∠MOA＝60°，
∴∠MOA＝∠OAM＝60°，
∴△OAM是等边三角形，
∴OA＝OM，
∵△APQ是等边三角形，
∴AQ＝AP，∠PAQ＝60°，
∴∠OAQ＝∠MAP，
∴△OAQ≌△MAP（SAS），
∴∠QOA＝∠PMA＝60°＝∠MAO，
∴PM∥x轴，即点P在直线PM上运动，
过点O关于直线PM的对称点B，连接AB，AB即为所求最小值，
此时，在Rt△OAB中，OA＝4，∠BAO＝60°，
∴∠OBA＝30°，
∴AB ＝2OA ＝8．
故选：C ．
【点拨】本题属于一次函数与几何综合题，涉及勾股定理，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，轴对称最值问题，旋转的性质等知识，解题的关键是得出点P 在直线PM 是运动．
3．C
【分析】由图2可知：当点P 、Q 运动5s 时，此时点P 运动到点E 点Q 运动到点C ，Q 点停止运动．可得4PH DC ==cm ；当t =7时，P 点运动了7cm ，此时面积仍为210cm ；当t =8时，1DP =cm ，进而可求当8t =时，y 的值为152
2cm ． 解：如图所示：过点P 作PH BC ⊥，垂足为H ．
由题意可知：由图2可知当0t 5≤≤时，点P 在BE 上，
当点P 、Q 运动5s 时，BPQ V 的面积ｙ达到最大，最大值为210cm ．
此时点P 运动到点E 点Q 运动到点C ，Q 点停止运动．
可得PC =3cm ．
∵点P 、Q 的运动速度都为1cm/s ，
∴当t =5时，5BE BC ==cm ．∵•2
BC PH y =＝102cm ， ∴4PH DC ==cm ．
当5t 7≤＜时，点P 在线段ED 上，此时4PH =cm ，而当t =7时，P 点运动了7cm ．　∴此时•541022
BC PH y ⨯===2cm ．面积不变　对应线段MN 的图像．
当7t ＞时，点P 在线段DC 上．
当t =8时，1DP =cm ，
∴PC DC DP
=-∴413PC =-=cm
∴
•5315
222
BC PC
y
⨯
===2
cm
故选：C．
【点拨】本题考查了动点函数图像的分析，解题的关键是分清横、纵坐标的含义；分清每一段图像的含义．
4．D
【分析】由图2，可知BP=6，S△ABP=12，由图1翻折可知，AQ⊥BP，进而得出
AQ=4，由勾股定理，可知BC=AB=5，菱形ABCD的面积为BC×AQ即可求出.
解：由图2，得BP=6，S△ABP=12
∴AQ=4
由翻折可知，AQ⊥BP
由勾股定理，得BC=AB=5
∴菱形ABCD的面积为BC×AQ=5×4=20
故选：D
【点拨】本题是一道几何变换综合题，解决本题主要用到勾股定理，翻折的性质，根据函数图象找出几何图形中的对应关系是解决本题的关键.
5．D
【分析】如图，连接PD．由B、D关于AC对称，推出PB＝PD，推出PB+PE＝
PD+PE，推出当D、P、E共线时，PE+PB的值最小，观察图象可知，当点P与A重合时，PE+PB＝9，推出AE＝EB＝3，AD＝AB＝6，分别求出PB+PE的最小值，PC的长即可解决问题．
解：如图，连接PD．
∵B、D关于AC对称，
∴PB＝PD，
∴PB+PE＝PD+PE，
∴当D、P、E共线时，PE+PB的值最小，
观察图象可知，当点P与A重合时，PE+PB＝9，
∵点E是AB的中点，
∴AE＝EB＝3，AD＝AB＝6，
在Rt △AED 中，DE ，
∴PB +PE 的最小值为 ，
∴点Q 的纵坐标为∵AE ∥CD ，∴2PC CD PA AE
== ，
∵AC =，
∴23
PC =⨯= ，
∴点Q 的横坐标为 ，
∴(Q ．
故选：D
【点拨】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
6．B
【分析】由图2可得，AC +BC =4，由图1可得，当点E 从点A 运动至点C 时，BED V 的面积随着点E 的运动增大，当点E 从点C 运动至点B 时，BED V 的面积随着点E 的运动减小，由此可得，当点E 运动路程为2即运动至点C 时，BCD △的面积为1，即
AC =BC =2，所以ABC V 是等腰直角三角形，所以CD AB ⊥，BD =CD ，根据BCD △的面积为1列式，求出CD 的长度即可．
解： 90ACB ∠=︒，D 是斜边AB 的中点，∴BD =CD ，
由题意可得：AC =2，AC +BC =4，
∴ BC =2，
∴ BC =AC ，
∴ABC V 是等腰直角三角形，
∴CD AB ⊥，
由题意可得：BCD △的面积为1，∴2112
CD =，
解得：CD 故选：B ．
【点拨】本题主要考查函数图像的识别、直角三角形斜边上的中线的性质以及平方根的求解，把函数图像信息转化为几何图形的信息是解题关键．
7．A
【分析】先作点E 关于x 轴的对称点E '，连接DE '与x 轴的交点就是点P ，找到PD PE +取最小值的状态，然后通过点坐标求出直线DE '的解析式，点P 就是它和x 轴的交点．
解：作点E 关于x 轴的对称点E '，连接DE '与x 轴的交点就是点P ，
此时PD PE PD PE DE ''+=+=是最小的，
根据矩形的性质，()3,4D -，()0,2E ，
根据轴对称，()0,2E '-，
设直线DE '的解析式为y kx b =+，将点()3,4D -和点()0,2E '-代入，
3402k b b -+=⎧⎨+=-⎩
，解得22k b =-⎧⎨=-⎩，则直线解析式为22y x =--，令0y =，求出=1x -，则点P 坐标是()1,0-．
故选：A ．
【点拨】本题考查直角坐标系中线段和最小问题，解题的关键是利用数形结合的思想，将几何中的线段和最小问题利用函数的方法求解．
8．D
【分析】根据题意利用相似三角形可以证明线段o n B B 就是点B 运动的路径（或轨迹），又利用o n AB B ∆∽AON ∆求出线段o n B B 的长度，即点B 运动的路径长．
解：由题意可知，2OM =，点N 在直线y x =上，AN x ⊥轴于点M ，
则OMN ∆为顶角30度直角三角形，2ON =如下图所示，设动点P 在O 点（起点）时，点B 的位置为o B ，动点P 在N 点（终点）时，点B 的位置为n B ，连接o n B B ，
∵o AO AB ⊥，n
AN AB ⊥∴o n
OAN B AB ∠=∠
又∵tan 30o AB AO =∙ ，tan 30
n AB AN =∙ ∴::tan 30o n AB AO AB AN == （此处也可用30°角的Rt ）
∴o n AB B ∆∽AON ∆，且相似比为tan 30 ，
∴4tan 303
o n B B ON =∙== 现在来证明线段o n B B 就是点B 运动的路径（或轨迹）.
如图所示，当点P 运动至ON 上的任一点时，设其对应的点B 为i B ，连接AP ，i AB ，o i
B B ∵o AO AB ⊥，i
AP AB ⊥∴o i
OAP B AB ∠=∠又∵tan 30o AB AO =∙ ，tan 30
i AB AP =∙ ∴::o i AB AO AB AP
=∴o i AB B ∆∽AOP
∆∴o i AB B AOP
∠=∠又∵o n AB B ∆∽AON
∆∴o n AB B AOP
∠=∠∴o i o n
AB B AB B ∠=∠∴点i B 在线段o n B B 上，即线段o n B B 就是点B 运动的路径（或轨迹）.
综上所述，点B 运动的路径（或轨迹）是线段o n B B ，其长度为
43
.故选：D
【点拨】本题考查坐标平面内由相似关系确定的点的运动轨迹，难度很大．本题的要点
有两个：首先，确定点B 的运动路径是本题的核心，这要求考生有很好的空间想象能力和分析问题的能力；其次，由相似关系求出点B 运动路径的长度，可以大幅简化计算，避免陷入坐标关系的复杂运算之中.
9．B
【分析】根据函数图象可知AB +BC ＝7，△AOB 的面积为3，再根据矩形的性质可知点O
到AB 的距离为12BC 的长，利用面积建立方程即可求解.
解：观察图象可知：AB +BC ＝7，S △AOB ＝3，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴点O 到AB 的距离是12BC 的长，
设AB ＝x ，则BC ＝7-x ，
∵S △AOB ＝1122
AB BC ⋅＝3，∴1(7)34
x x -=，解得123,4x x ==，
∵AB AD >，即AB BC >，
∴AB ＝4.
故选B.
【点拨】本题考查了函数的图象.结合图象得出矩形邻边和为7，△AOB 的面积为3并利用面积建立关于AB 的方程是解题的关键.
10．C
【分析】利用待定系数法分别求出OB 、PA 的函数关系式，设(0,)P m ，4(,)3
Q n n ，并由P 、Q 点坐标，可表示出OP 、OQ 和PQ ，根据△OPQ 是等腰三角形，可得OP OQ =或OP PQ =或OQ PQ =，则可得到关于m 的方程，求得m 的值，即可求得P 点坐标．
解：设OB 的关系式为y kx =，
将B （3，4）代入得：43k =
，∴43
OB y x =，设(0,)P m ，4(,)3
Q n n ，∴OP m =
，53OQ n ==
，PQ =，设PA 的关系式为y kx b =+，将(0,)P m ，(4,0)A 代入得：
40
b m k b =⎧⎨+=⎩，解得4b m m k =⎧⎪⎨=-⎪⎩
，
∴4
PA m y x m =-+，将4PA m y x m =-+，43
OB y x =联立方程组得：443PA OB m y x m y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，解得12163Q m x n m
==+，若△OPQ 是等腰三角形，则有OP OQ =或OP PQ =或OQ PQ =，
当OP OQ =时，53
m n =，12163m n m =+，即5123163m m m
=⨯+，解得4
3m =，则P 点坐标为（0，43
），当OP PQ =
时，m =，12163m n m =+，解得176
m =-，不合题意，舍去，当OQ PQ =时，根据等腰三角形性质可得：点Q 在OP 的垂直平分线上，12
Q y OP =，∴4132
n m =，且12163m n m =+，即412131632
m m m ⨯=+， 解得163m =，则P 点坐标为（0，163
）综上可知存在满足条件的点P ，其坐标为（0，
43）或（0，163）．故选：C ．
【点拨】本题是一次函数的综合问题，考查了待定系数法、等腰三角形的性质等知识，掌握待定系数法与两点间的距离公式并注意分类讨论思想及方程思想的应用是解题的关键，综合性较强．
11
．(8N +-
或(8-或()10,2-．
【分析】把点()8,0A 代入一次函数8y kx =+中，即可求出k ；然后令6x =，代入一次函数解析式，即可求得即可求得y ，从而得出点C 坐标；设(,0)D m ，根据利用BD CD =，
利用勾股定理求得点D 的坐标，然后分两种情况：
①当AMN ACD V V ≌时，②当AMN ADC V V ≌时，分别求解即可．
解：点()8,0A 代入8y kx =+，得
880k +=，
解得：1k =-，
8y x \=-+，
当6x =时，则685y =-+=，
()6,2C ∴；
令0x =，则88y x =-+=，
∴()0,8B ，
设(,0)D m ，则2228BD m =+，
∵()6,2C ，
∴()2
2262CD m =-+，
∵BD CD =，
∴()2222862m m +=-+，
解得：2m =-，
()2,0∴-D ；∵(80)A ，
，()6,2C ，()2,0D -，∴()()22286208AC =-+-=，()2
282100AD =--=⎡⎤⎣⎦，
∵点M 是x 轴上的动点，点N 在直线AB 上，
设(),8N n n -+且与点C 不重合，
分两种情况：①当AMN ACD V V ≌时，则 AN AD
=22AN AD =∴，即()()2288100n n -+-+=，
解得：18n =+28n =-
∴8n -+=-或8n -+=
∴(8N +-或(8-；
②当AMN ADC V V ≌时，则AN AC =，
22AN AC =∴，即()()22
888n n -+-+=，解得：16n =，210n =，
82n -+=∴或82n -+=-，
∵点N 与点C 不重合，
()10,2N -∴，
综上，存在点N (点N 与点C 不重合)，使AMN V 与ACD V 全等，点N
的坐标为
(8N +-
或(8-或()10,2-．
故答案为：(8N +-
或(8-或()10,2-．
【点拨】本题考查了一次函数上点的坐标特征，一次函数与坐标轴的交点，两点间的距离，勾股定理，全等三角形的判定和性质、分类讨论思想，是一次函数与全等三角形的综合题，解答本题的关键在分类讨论．
12．31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭
【分析】作QN 、HM 垂直于x 轴于N 、M ，证明QNP △≌PM H V ，推出PN HM =，QN PM =，设OP x =，得(3,1)H x x ++，求出点H 的运动轨迹2y x =-，找到最小值的情况，求出OF 的解析式，再和2y x =-联立，即可求出点H 坐标．
解：作QN 、HM 垂直于x 轴于N 、M ，
则90PNQ PMH ∠=∠=︒，
则90QPN PQN ∠+∠=︒，
QPH △为等腰直角三角形，
90QPH ∴∠=︒，
即90QPN HPM ∠+∠=︒，
PQN HPM ∴∠=∠，
在QNP △和PM H V 中，
PQN HPM PNQ PMH PQ PH ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
QNP ∴V ≌()AAS PMH V ，
PN HM ∴=，QN PM =，设OP x =，得(3,1)H x x ++，
H ∴点在直线2y x =-上运动，作A 点关于直线2y x =-的对称点F ，连OF 交于点E
，
当H 点与E 点重合时OH AH +最小，
此时F ()6,2-，设直线OF 的解析式为y kx =，将F 代入，得：
62k =-，解得：13
k =-，1:3
OF y x ∴=-，联立：213y x y x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得：3212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，即31,22H ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，故答案为：31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭
．【点拨】本题考查轴对称最短问题，全等三角形的判定和性质，一次函数的应用等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
13
．32⎛ ⎝
或32⎛- ⎝
【分析】先根据题意求得130,60,,2
BAO ABO OB AB ∠=︒∠=︒=分C 点在第二象限和第一象限两种情况讨论，根据点D 关于直线OC 的对称点D ¢恰好落在y 轴，根据含30°角的直角三角形的性质，在第一象限时候，证明BCO V 是等边三角形，在第二象限时候证明ODD V ＇是等边三角形，利用等边三角形的性质，分别求得C 点的坐标．
解：
∵y =与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，令0,3,y x ==-∴()-3,0A ，
令0,x y ==
∴(B ，
∴3,OA OB ==，
∵90AOB ∠=︒，
∴AB ==∴30,60BAO ABO ∠=︒∠=︒，∴1,2
OB AB =如图，当C 点在第二象限时，设DD '交x 轴于点E ，交AO 于点F ，CD 交y 轴于点G
∵四边形OACD 是平行四边形，
∴,,AC OD CD AO ∥∥AC OD OD '==，
∵30CAO ∠=︒，
∴30DOE CAO ∠=∠=︒，
∴30ODG DOE ∠=∠=︒，
∵CD AO ∥，AO OB ⊥,
∴90DGD '∠=︒，
∴9060DOG DOE ∠=︒-∠=︒，
∵OD OD '=，
∴30ODD OD D ''∠=∠=︒，
∵点D 关于直线OC 的对称点为D ¢，
∴CO DD '⊥，
∴60COB FOD '∠=∠=︒，
∵60ABO ∠=︒，
∴BCO V 是等边三角形，
∴BO CO BC ==，∵1,2OB AB =∴1,2
BC AB =∴点C 为AB 的中点，
∵()-3,0A ，(B ，
∴32C ⎛- ⎝．
如图，当C 点在第二象限时，延长DC 交y 轴于点H ，则CH OD '⊥．
∵点D 关于直线OC 的对称点为D ¢，
∴,DOC CD C D OC OD OD D ''∠=∠='=,，
∵60ABO BOD ∠=∠=︒，
∴ODD 'V 是等边三角形，
∴60DOD '∠︒=，
∴30DOC D OC '∠=∠=︒，∴1,2
CH OC =∵30,90BAO AOB ∠=︒∠=︒，
∴3CO AO ==，∴32
CH =，
∴OH ====
∴32C ⎛ ⎝．
综合①②可知OC 的坐标为32⎛ ⎝或32⎛- ⎝．
故答案为：32⎛ ⎝或32⎛- ⎝
．【点拨】本题考查了一次函数图象的性质，平行四边形的性质，等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，此题方法较多，利用等边三角形的性质是解题的关键．
14．【分析】根据解析式求出点A ，B ，C 的坐标，结合矩形性质得出2PH CO ==，两点对
称公式得出点Q （-4,-4）；利用所给函数图象、平行四边形的性质构造等量关系BP CH =，则
2BP PH HQ CH HQ ++=++，由三点之间直线最短可知CH HQ +的值最小时，即CH =
可得出结论．
解：24y x =+ ，C 为OB 的中点，
∴点(2,0)A -，点(0,4)B ，点()0,2C ．
PH ⊥OA 于H ，Q 是点B 关于点A 的对称点，
2PH CO ∴==，点Q （-4,-4）．
连接CH ，四边形PBCH 是平行四边形，
PB CH ∴=，2BP PH HQ CH HQ ++=++．
当点C ，H ，Q 三点共线，CH HQ +的值最小，
()
min CH HQ CQ ∴+===
min min ()()22BP PH HQ CH HQ ∴++=++=+．
故答案为：．
【点拨】本题考查动点问题中的函数图象的理解与运用能力．数形结合，恰当利用四边形（平行四边形）的性质定性构造等量关系，理解并掌握三角形三边关系定理（三点共线时取得最值）是解本题的关键．
15．（43，83
）【分析】过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，PN ⊥y 轴于点N ， 过点P 作PE AB ⊥，交y 轴于点F ，过点E 作EG x ⊥轴，交PD 的延长线与点G ，如图，PEA V ，EMP V 是等腰直角三角形，证明GPE CPE V V ≌，设(),4P m m -+，则,4BN PN m MP EM m ====-，求得()24,62G m m --，进而根据,,G D P 三点共线，求得直线DP 的解析式，将点G 的坐标代入求得m 的值，即可求解．
解：过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，PN ⊥y 轴于点N ，
∵一次函数y ＝﹣x +4的图像与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，
∴A （4，0），B （0，4），
∴OA ＝OB ＝4，AB ＝，
∵点C 为AO 中点，OD ＝3，
∴OC ＝AC ＝2，BD ＝1，
∵OA ＝OB ，∠AOB ＝90°，
∴∠ABO ＝∠OAB ＝45°，
过点P 作PE AB ⊥，交y 轴于点F ，过点E 作EG x ⊥轴，交PD 的延长线与点G ，如图，
则PEA V ，EMP V 是等腰直角三角形，
45NFP EFO FEO ∴∠=∠=∠=︒，
NP y ⊥ 轴，
NP OM ∴∥，
45NPF FEO ∴∠=∠=︒，
设(),4P m m -+，则,4BN PN m MP EM m ====-，
442OE EM OM MP OM m m m ∴=-=-=--=-，42262EC OE OC m m =+=-+=-， ∠APC =∠BPD ,PE AB ⊥，
GPE CPE ∴∠=∠，
又45GEP CEP ∠=∠=︒ ，EP EP =，
GPE CPE ∴V V ≌，
()24,62G m m ∴--，
,,G D P 三点共线，设直线DP 的解析式为y kx b =+，
则43mk b m b +=-+⎧⎨=⎩
，解得13
m k m b -+⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线DP 的解析式为13m y x m
-+=+，将点()24,62G m m --代入得，
()162243m m m m
-+-=⨯-+，解得4
3m =，
∴P （43，83
）．故答案为：（
43，83）．【点拨】本题考查了一次函数的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，设参数法求得点G 的坐标是解题的关键．
16
．8)
或(8)【分析】先求出直线AD 的解析式为y x =--24，则可求(0,4)G -，设(,8)P m ，则(,4)M m -，可求12PM =，8PN =，分两种情况讨论：当M '在x 轴负半轴时，由折叠可知12PM '=，在Rt △M NP '
中，由勾股定理可求M N '=，在Rt △M OG '中，M G x '=，4OG =
，可求M O '
x =
x
P ，8)；当M '在x
轴正半轴时，同理可得，x -
，解得x =
，求得(P ，8)．解：设AD 的直线解析式为y kx b =+，
将(2,8)A -，(6,8)D -代入可得，
2868k b k b +=-⎧⎨-+=⎩
，解得24
k b =-⎧⎨=-⎩，24y x ∴=--，
点P 是CD 边上，CD x ∥轴，
设(,8)P m ，
GM y ∥ 轴，
(,4)M m ∴-，
12PM ∴=，8PN =，
当M '在x 轴负半轴时，如图，
由折叠可知GM GM '=，PM PM '=，
12PM '∴=，
在Rt △
M NP '中，M N '=在Rt △M OG '中，M G x '=，4OG =，
M O '∴
x =，
解得x
P ∴8)；当M '在x 轴正半轴时，如图，
同理可得，x -
解得x =
(P ∴，8)；综上所述：P
点坐标为8)
或(8)，
故答案为8)
或(8)．【点拨】本题考查折叠的性质，熟练掌握平行四边形的性质、平面上点的坐标特点、并灵活应用勾股定理是解题的关键．
17
【分析】利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后Q '的坐标，进而可得点Q '所在直线的函数关系式，然后根据勾股定理求解即可解决问题．
解：作QM x ⊥轴于点M ，Q N x '⊥轴于N ，
90PMQ PNQ QPQ ∠=∠'=∠'=︒ ，
90QPM NPQ PQ N NPQ ∴∠+∠'=∠'+∠'=︒，
QPM PQ N ∴∠=∠'，
在PQM V 和△Q PN '中，
90PMQ PNQ QPM PQ N
PQ PQ ∠=∠'=︒⎧⎪∠=∠'⎨⎪='⎩
，PQM ∴△≌△()Q PN AAS '，
PN QM ∴=，Q N PM '=，设1(,2)2
Q m m -+，
|1|Q N PM m ∴'==-，1|2|2QM m =-+，1|3|2
ON m ∴=-，1(32
Q m ∴'-，1)m -，设点(Q x '，)y '
，
则1321x m y m
⎧=-⎪⎨⎪=-⎩'，整理，得：25y x '=-，
则点(Q x '，)y '在直线25y x '=-上，
设直线25y x '=-与x 轴，y 轴的交点分别为E 、F ，
如图，当OQ EF '⊥时，OQ '取得最小值，
令0y '=，则250x -=，解得52x =
，∴2
5OE =，令0x =，则5y '=-，
∴5OF =，
在Rt OEF V
中，EF =
，当OQ EF '⊥时，则1
122OEF S EF OQ OE OF =⋅'=⋅△，
∴OE OF OQ EF ⋅'==OQ ∴'
【点拨】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，三角形全等，坐标与图形的变换－旋转，勾股定理，表示出点Q '的坐标以及点Q '所在直线的函数关系式是解题的关键．
18． （3-，3）； （3，11）或（215，635）或（215
-，75
）；
【分析】（1）直接把两条直线方程组成方程组，求出方程组的解，即可得到答案；（2）根据题意，可分为两种情况进行分析：①△DBE ≌△OBC ；②△EBD ≌△OBC ；分别求出点E 的坐标，即可得到答案．
解：（1）∵直线473
y x =+与直线y x =-交于点C ，∴473y x y x
⎧=+⎪⎨⎪=-⎩，解得：33x y =-⎧⎨=⎩，∴点C 的坐标为（3-，3）；
故答案为：（3-，3）；
（2）∵直线473
y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，∴点A 的坐标为（214
-
，0），点B 的坐标为（0，7），∴OB=7；若以B ，D ，E 为顶点的三角形与OBC △全等，
则可以分为两种情况进行分析：
①当△DBE ≌△OBC 时，如图：
∴BD=BO=7，∠BED=∠BCO ，
∴CO ∥DE ，点D 的坐标为（0，14），
∴直线DE 为14y x =-+，
∵点E 是直线14y x =-+与直线473
y x =+的交点，∴14473y x y x =-+⎧⎪⎨=+⎪⎩，解得311x y =⎧⎨=⎩
；
∴点E 的坐标为（3，11）；
②当△EBD ≌△OBC 时，如图
∴BE=OB=7，BC=BD ，
∵点E 在直线473y x =+的图像上，则设点E 为（x ，473
x +），∵点B 为（0，7），
∴7BE ==，解得：215x =±
，∴215x =或215
x =-，∴421637355y =⨯+=，或4217()7355
y =⨯-+=，∴点E 的坐标为（215，635）或（215
-，75）；综合上述，点E 的坐标为（3，11）或（
215，635）或（215-，75）；故答案为：（3，11）或（215，635）或（215
-，75）．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形，一次函数的图形和性质，勾股定理求两点之间的距离，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确运用全等三角形的思想和一次函数的性质进行解题．
19．(1)3y x =-；(2)201
k <≤【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）分20k <和20k >，两种情况分类讨论，利用数形结合的思想进行求解即可．
（1）解：∵直线1l ：1y k x b =+过()0,3A -，()5,2B ，
∴1352
b k b =-⎧⎨+=⎩，解得：113k b =⎧⎨=-⎩，∴直线1l ：3y x =-；
（2）解：∵22y k x =+，
∴直线2l 必过点()0,2，
∵过动点()0,P t 且垂直于y 轴的直线与1l ，2l 的交点分别是C ，D ，当1t ≤时，点C 位于点D 右方，
①当20k <时，当1t ≤时，必然存在点D 位于点C 右方，不符合题意；
②当20k >时，12,l l 平行时，满足题意，此时：21k =；
12,l l 相交时，则交点的横坐标恒大于5，此时：201k <<；
综上：2k 的取值范围为201k <≤．
【点拨】本题考查一次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想的进行求解，是解题的关键．
20．(1)直线AB 的解析式为5432y x =-+，点C 的坐标为()12,9；(2)752
；(3)()155，或()1545-
，
【分析】（1）利用待定系数法法求得k 和b ，联立方程组求解即可求得直线AB 的表达式和点C 的坐标；
（2）设D 点横坐标为m ，结合23
DE OA =求出DE ，即可得关于m 的方程，求出m 即可求解；
（3）分点A 落在射线CO 上的A 1和点A 落在射线OC 上的A 2时两种情况讨论，利用全等三角形的判定和性质求解即可．
解：（1）∵直线y kx b =+经过点75,04A ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，点()0,25B ，∴750425
k b b ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得4325
k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线AB 的解析式为543
2y x =-+，解方程组425334y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
得：129x y =⎧⎨=⎩，∴点C 的坐标为()12,9；
（2）∵75,04A ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，∴754
OA =，设D 点横坐标为m ，则点D 坐标为4,253m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭
，∵DE 平行于y 轴，
∴点E 坐标为 3,4m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，∴432525253412
DE m m m =-+-=-+，∵22532
DE OA ==， ∴252525122
m -+=，解得6m =或18m =，
当6m =时，CDE V 的面积为()12575126222
⨯⨯-=；当18m =，CDE V 的面积为()125751812222
⨯⨯-=；综上所述：CDE V 的面积为752
；（3）过点C 作CG OA ⊥于点G ，
∵点C 的坐标为(12，9)，
∴12OG =，9CG =，754OA =
，∴75271244
AG =-=，∴222225OC OG CG =+=，222202516AC AG CG =+=，22562516
OC AC +=，2562516OA =，∴222OC AC OA +=，
∴90OCA ∠=︒，即OC AB ⊥，
当OAD △沿着OD 折叠，且点A 落在射线CO 上的A 1时，设1DA 交x 轴于点H ，如图：
根据折叠的性质，1OA OA =，1DAO DA O ∠=∠，
又1COA HOA ∠=∠，
∴1COA HOA V V ≌，
∴190A HO ACO ∠=∠=︒， 15HO CO ===，
∴1DA y ∥轴，
当15x =-时，∴()41525453
y =-⨯-+=，∴点D 的坐标为()15,45-；
当OAD △沿着OD 折叠，且点A 落在射线OC 上的A 2时，延长2A D 交x 轴于点I ，如图：
根据折叠的性质，2OA OA =，2DAO DA O ∠=∠，
又2COA IOA ∠=∠，
∴2COA IOA V V ≌，
∴290A IO ACO ∠=∠=︒，15IO CO ==，
∴2DA y ∥轴，
当15x =时，∴4152553
y =-⨯+=，∴点D 的坐标为()15,5；
综上所述：点D 的坐标为()15,5或()15,45-．
【点拨】本题考查的是两条直线相交或平行问题，涉及到一次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征、折叠的性质、勾股定理及其逆定理等，注意分类求解，避免遗漏．。