2019-2020学年新人教A版必修一 集合的表示 学案

第2课时集合的表示
学习目标 1.掌握用列举法表示有限集；2.理解描述法格式及其适用情形；3.学会在集合不同的表示法中作出选择和转换．
知识点一列举法
思考要研究集合，要在集合的基础上研究其他问题，首先要表示集合．而当集合中元素较少时，如何直观地表示集合？
答案把它们一一列举出来．
一般地，把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．适用于元素较少的集合．
知识点二描述法
思考1能用列举法表示所有大于1的实数吗？如果不能，又该怎样表示？
答案不能．表示集合最本质的任务是要界定集合中有哪些元素，而完成此任务除了一一列举，还可用元素的共同特征(如都大于1)来表示集合，如大于1的实数可表示为{x∈R|x＞1}．思考2描述法常用以表示无限集或元素个数较多的有限集．表示方法是在花括号内画一竖线，竖线前写______________，竖线后写______________________________．
答案元素的一般符号及取值(或变化)范围元素所具有的共同特征
类型一用列举法表示集合
例1用列举法表示下列集合：
(1)小于10的所有自然数组成的集合；
(2)方程x2＝x的所有实数根组成的集合；
(3)由1～20以内的所有质数组成的集合．
解(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A，
那么A＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}．
(2)设方程x2＝x的所有实数根组成的集合为B，
那么B＝{0,1}．
(3)设由1～20以内的所有质数组成的集合为C ，
那么C ＝{2,3,5,7,11,13,17,19}．
反思与感悟 1.花括号“{ }”表示“所有”、“整体”的含义，如实数集R 可以写为{实数}，但如果写成{实数集}、{全体实数}、{R }都是不确切的．
2．列举法表示的集合的种类
(1)元素个数少且有限时，全部列举，如{1,2,3,4}；
(2)元素个数多且有限时，可以列举部分，中间用省略号表示，如“从1到1 000的所有自然数”可以表示为{1,2,3，…，1 000}；
(3)元素个数无限但有规律时，也可以类似地用省略号列举，如：自然数集N 可以表示为{0,1,2,3，…}．
跟踪训练1 用列举法表示下列集合．
(1)由所有小于10的既是奇数又是素数的自然数组成的集合；
(2)式子|a |a ＋|b |b
(a ≠0，b ≠0)的所有值组成的集合． 解 (1)满足条件的数有3,5,7，所以所求集合为{3,5,7}．
(2)∵a ≠0，b ≠0，
∴a 与b 可能同号也可能异号，故
①当a >0，b >0时，|a |a ＋|b |b
＝2； ②当a <0，b <0时，|a |a ＋|b |b
＝－2； ③当a >0，b <0或a <0，b >0时，|a |a ＋|b |b
＝0. 故所有的值组成的集合为{－2,0,2}．
类型二 用描述法表示集合
例2 试分别用列举法和描述法表示下列集合：
(1)方程x 2－2＝0的所有实数根组成的集合；
(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合．
解 (1)设方程x 2－2＝0的实数根为x ，并且满足条件x 2－2＝0，因此，用描述法表示为 A ＝{x ∈R |x 2－2＝0}．方程x 2－2＝0有两个实数根2，－2，因此，用列举法表示为A ＝{2，－2}．
(2)设大于10小于20的整数为x ，它满足条件x ∈Z ，且10<x <20.因此，用描述法表示为
B＝{x∈Z|10<x<20}．大于10小于20的整数有11,12,13,14,15,16,17,18,19，因此，用列举法表示为B＝{11,12,13,14,15,16,17,18,19}．
反思与感悟集合中的元素具有无序性、互异性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序，且元素不能重复，元素与元素之间要用“，”隔开；用描述法表示集合时，
要注意代表元素是什么，从而理解集合的含义，区分两集合是不是相等的集合．
跟踪训练2用描述法表示下列集合：
(1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0的解集；
(2)二次函数y＝x2－10图象上的所有点组成的集合．
解(1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝0，解得x＝2，y＝－3.
所以方程的解集为{(x，y)|x＝2，y＝－3}．
(2)“二次函数y＝x2－10图象上的所有点”用描述法表示为{(x，y)|y＝x2－10}．
类型三选择适当的方法表示集合
例3用适当的方法表示下列集合：
(1)由x＝2n,0≤n≤2且n∈N组成的集合；
(2)抛物线y＝x2－2x与x轴的公共点的集合；
(3)直线y＝x上去掉原点的点的集合．
解(1)列举法：{0,2,4}；或描述法{x|x＝2n,0≤n≤2且n∈N}．
(2)列举法：{(0,0)，(2,0)}．
(3)描述法：{(x，y)|y＝x，x≠0}．
反思与感悟用列举法与描述法表示集合时，一要明确集合中的元素；二要明确元素满足的条件；三要根据集合中元素的个数来选择适当的方法表示集合．
跟踪训练3若集合A＝{x∈Z|－2≤x≤2}，B＝{y|y＝x2＋2 000，x∈A}，则用列举法表示集合B＝________.
答案{2 000,2 001,2 004}
解析由A＝{x∈Z|－2≤x≤2}＝{－2，－1,0,1,2}，所以x2∈{0,1,4}，x2＋2 000的值为2 000,2 001,2 004，所以B＝{2 000,2 001,2 004}.
1．用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为()
A．{1,1} B．{1}
C．{x＝1} D．{x2－2x＋1＝0}
答案 B
2．一次函数y＝x－3与y＝－2x的图象的交点组成的集合是()
A．{1，－2} B．{x＝1，y＝－2}
C．{(－2,1)} D．{(1，－2)}
答案 D
3．设A＝{x∈N|1≤x<6}，则下列正确的是()
A．6∈A B．0∈A C．3∉A D．3.5∉A
答案 D
4．第一象限的点组成的集合可以表示为()
A．{(x，y)|xy>0}
B．{(x，y)|xy≥0}
C．{(x，y)|x>0且y>0}
D．{(x，y)|x>0或y>0}
答案 C
5．下列集合不等于由所有奇数构成的集合的是()
A．{x|x＝4k－1，k∈Z} B．{x|x＝2k－1，k∈Z}
C．{x|x＝2k＋1，k∈Z} D．{x|x＝2k＋3，k∈Z}
答案 A
1．在用列举法表示集合时应注意：
(1)元素间用分隔号“，”；(2)元素不重复；(3)元素无顺序；(4)列举法可表示有限集，也可以表示无限集，若元素个数比较少用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示．
2．在用描述法表示集合时应注意：
(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式；
(2)(元素具有怎样的属性)当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑．
一、选择题
1．方程组⎩
⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝3，x －y ＝－1的解集不可以表示为( ) A ．{(x ，y )|⎩
⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝3x －y ＝－1} B ．{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1y ＝2} C ．{1,2}
D ．{(1,2)}
答案 C
解析 方程组的集合中最多含有一个元素，且元素是一个有序实数对，故C 不符合．
2．已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( )
A ．1
B ．3
C ．5
D ．9 答案 C
解析 x －y ∈{}
－2，－1，0，1，2.
3．集合{(x ，y )|y ＝2x －1}表示( )
A ．方程y ＝2x －1
B ．点(x ，y )
C ．平面直角坐标系中的所有点组成的集合
D ．函数y ＝2x －1图象上的所有点组成的集合
答案 D
解析 集合{(x ，y )|y ＝2x －1}的代表元素是(x ，y )，x ，y 满足的关系式为y ＝2x －1，因此集合表示的是满足关系式y ＝2x －1的点组成的集合，故选D.
4．已知x ，y 为非零实数，则集合M ＝{m |m ＝x |x |＋y |y |＋xy |xy |
}为( ) A ．{0,3}
B ．{1,3}
C ．{－1,3}
D ．{1，－3} 答案 C
解析 当x >0，y >0时，m ＝3，
当x <0，y <0时，m ＝－1－1＋1＝－1.
若x ，y 异号，不妨设x >0，y <0，
则m ＝1＋(－1)＋(－1)＝－1.
因此m ＝3或m ＝－1，则M ＝{－1,3}．
5．下列选项中，集合M ，N 相等的是( )
A ．M ＝{3,2}，N ＝{2,3}
B ．M ＝{(3,2)}，N ＝{(2,3)}
C ．M ＝{3,2}，N ＝{(3,2)}
D ．M ＝{(x ，y )|x ＝3且y ＝2}，N ＝{(x ，y )|x ＝3或y ＝2}
答案 A
解析 元素具有无序性，A 正确；点的横坐标、纵坐标是有序的，B 选项两集合中的元素不同；C 选项中集合M 中元素是两个数，N 中元素是一个点，不相等；D 选项中集合M 中元素是一个点(3,2)，而N 中元素是两条直线x ＝3和y ＝2上所有的点，不相等．
6．集合{3，52，73，94
，…}用描述法可表示为( ) A ．{x |x ＝2n ＋12n ，n ∈N *} B ．{x |x ＝
2n ＋3n ，n ∈N *} C ．{x |x ＝2n －1n
，n ∈N *} D ．{x |x ＝2n ＋1n
，n ∈N *} 答案 D
解析 由3，52，73，94，即31，52，73，94从中发现规律，x ＝2n ＋1n
，n ∈N *，故可用描述法表示为{x |x ＝2n ＋1n
，n ∈N *}． 二、填空题
7．方程x 2－5x ＋6＝0的解集可表示为______(最简形式)．
答案 {2,3}
解析 易知方程x 2－5x ＋6＝0的解为x ＝2或3，则方程解集为{2,3}．
8．集合{x ∈N |x 2＋x －2＝0}用列举法可表示为________．
答案 {1}
解析 由x 2＋x －2＝0，得x ＝－2或x ＝1.
又x ∈N ，∴x ＝1.
9．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x ＋y ∈A }，则B 中所含元素的个数为________．
答案 3
解析 根据x ∈A ，y ∈A ，x ＋y ∈A ，知集合B ＝{(1,1)，(1,2)，(2,1)}，有3个元素．
10．已知集合A ＝{x |y ＝x 2＋3}，B ＝{y |y ＝x 2＋3}，C ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋3}，它们三个集合相等吗？试说明理由．
解 因为三个集合中代表的元素性质互不相同，所以它们是互不相同的集合．理由如下： 集合A 中代表的元素是x ，满足条件y ＝x 2＋3中的x ∈R ，所以A ＝R ；
集合B 中代表的元素是y ，满足条件y ＝x 2＋3中y 的取值范围是y ≥3，所以B ＝{y |y ≥3}． 集合C 中代表的元素是(x ，y )，这是个点集，这些点在抛物线y ＝x 2＋3上，所以C ＝{P |P 是抛物线y ＝x 2＋3上的点}．
三、解答题
11．已知集合A ＝{x ∈R |ax 2＋x ＋1＝0}中只有一个元素，求实数a 的值．
解 当a ＝0时，A ＝{－1}；
当a ≠0时，Δ＝1－4a ＝0，a ＝14
. 综上，a 的值为0或14
. 12．若P ＝{0,2,5}，Q ＝{1,2,6}，定义集合P ＋Q ＝{a ＋b |a ∈P ，b ∈Q }，用列举法表示集合P ＋Q .
解 ∵当a ＝0时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为1,2,6；
当a ＝2时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为3,4,8；
当a ＝5时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为6,7,11.
∴P ＋Q ＝{1,2,3,4,6,7,8,11}．。