概率论中几个收敛概念的度量化研究
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芜湖职业技术学院学报 2014 年第 16 卷第 1 期
概率论中几个收敛概念的度量化研究
徐 林
（安徽师范大学数学计算机科学学院, 安徽芜湖，241003）
摘 要： 概率论中若干收敛概念的度量化方法的研究为采用拓扑学和泛函分析中的结果研究各种收敛概念问题提供
了可能。这种方法对于学生在更深层次上理解收敛概念也颇有助益。 关键词：度量化；依概率收敛；依分布收敛；
定理 1 记 为定义在概率空间 (, F , P ) 上所有有限实值随机变量的全体, 在 上定义度量如
下：对任意的 X , Y , 证明 注意到
( X ,Y ) E
| X Y | 1 | X Y
P X (Xn, X ) 0. | , 则 X n
k
, 这个
{ X n , n } 的选取是矛盾的。
r
3.结论 在此，我们讨论了概率论中的几乎必然收敛、依概率收敛、依分布收敛以及 L 收敛到度量化 问题, 给出了这些收敛概念的度量化方法以及一些不能度量化的收敛概念的反例，并结合一些具体 的收敛性质保持问题说明这些度量化方法的用途。 收敛概念的度量化方法教学有利于数学专业的学 生更好地理解和掌握拓扑学和泛函法分析的方法在概率研究中应用, 帮助他们理解这些收敛概念 的实质。这种理念的培养和灌输对于数学专业高年级本科生和研究生的培养十分必要。 文稿责编 孔生林 参考文献 [1] 钟开莱. 概率论教程[M]. 上海：上海科学技术出版社，1989. [2] 严士健, 刘秀芳, 王寿仁. 概率论基础[M]. 北京：科学出版社，2004. [3] Stoyanov, J. Counterexamples in Probability. New York：Wiley series in probability and mathematical statistics, 1987.
(0.6) 。这是比较容易构造的反例，比如可以选择
L ( Fn , Gn ) 0
而
xR
sup | Fn ( x ) Gn ( x ) | 0 ( n )
90
徐林：概率论中几个收敛概念的度量化研究
{Fn , n 1}和{Gn , n 1} 都是阶梯函数，但是他们之间存在“相位差”, 即两个分布函数的不连续点
|x y| |x| |y| 1 | x y | 1 | x | 1 | y |
பைடு நூலகம்
(0.1)
很容易证明 (, ) 是一个度量. 由
| x |
可得
|x| 1 | x | 1
(0.2)
P(| X n X | ) 0 | Xn X | P 0 1 | X n X | | Xn X | E 0 1 | X n X |
L ( X , Y ) inf{ 0 : x R, F ( x ) G ( x ) F ( x ) } (0.4)
则
d X n X L ( X n , X ) 0 .
定理 2 的应用 设 在
CB ( R1 ) 所有的定义在 R1 上的具有有界紧支撑的有界的实值函数的全体, 则
2.依概率收敛的度量化的应用.
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芜湖职业技术学院学报 2014 年第 16 卷第 1 期
众所周知, 如果
P X n X , f (.) 是定义在 R 的连续函数, 则 f ( X n ) f ( X ) . 但是证明
这个结论并不是很很容易, 需要一定的篇幅 （见文献[1][2]） 但是根据上述度量化的结果以及数学分
一个众所周知的事实是
a . s. P d X n X X n X X n X , 很容易让人以为既然 r
依概率收敛和依分布收敛以及 L 收敛都是可以度量化的, 则几乎必然收敛也是可以度量化的, 下 面的反例说明情况并非如此。如果不然, 假设存在这样的度量 ，使得
Lr 收敛。
中图分类号：0211.4； 文献标识码：A； 文章编号：1009-1114（2014）01-0088-04 Study on Metrization of Several Convergence Concepts in Probability Theory XU Lin Abstract: Study on metrization of several convergence concepts in probability theory makes it possible that the outcomes from topological and functional analysis are made use of to investigate all kinds of convergence concepts. Metrization can be such a solution which is very helpful for students’ understanding of convergence concepts on a deeper level. Key words: metrization; convergence in probability; convergence in distribution; 收稿日期：2014-01-19 ，安徽金寨人，理学博士，安徽师范大学副教授。 作者简介：徐林（1979.11—） 基金项目：国家自然科学基金（11201006,11126238） ；教育部人文社会科学项目（12YJC910012）资助。
(Xn, X ) 对于无限多的 n 成立。记 为这些 n 构成的集合，但由于
a . s. P X n X ，必定存在 { X n , n } 的一个子集 { X nk , k 1} ，使 X nk X ( nk ) , 此
即意味着
( X n , X ) 0 ( nk )
d Fn ( x ) F ( x ) ( n ) , 记为 X n X ;
如果对于任意的 F ( x ) 的连续点有 设
{X， X n， n 1} 具有有限的 r 阶矩, r 0 , 称 { X n , n 1} 在 r 阶矩的意义下收敛到 X , 如
r
L E | X n X |r 0 (n ) , 记为 X n X . 果
( f ( X n ), f ( X )) 0( n ) 即可。通过对 析中的有关结论, 结合 f (.) 的连续性, 只要证明到
f (.) 做结尾来证明这个结论是很容易的。下面的定理给出了依分布收敛的一个度量化方法，在此
略去其证明过程。 定理 2 设 F 和 G 是两个随机变量 X 和 Y 的概率分布函数, 则 X 和 Y 的 Lévy 距离定义如 下：
证毕. 注 (1)定义
(0.3)
1 ( X , Y ) inf{ : P(| X Y | ) } 或者
2 ( X , Y ) inf{P(| X Y | ) , 0}
则
1 (, )和 2 (, ) 也是一个度量，而且依概率收敛与在这些度量下收敛也是等价的.
X , Y , 及 FX , FY 为各自对应的分布函数, f X , fY 为各自的特征函数, 定义
4 ( X , Y ) 3 ( f X , fY ) , 利用特征函数的性质可以证明 3 (, ) 与 Lévy 距离是拓扑等价的. 现设
{Fn , n 1}和{Gn , n 1} 是两个分布函数列, { f n , n 1}和{g n , n 1} 是相应的特征函数。在概率论
91
中有这样一个认识的误区，如果
sup | Fn ( x ) Gn ( x ) | 0 ( n )
xR
, 则有
3 ( f n g n ) 0 (n ) 。但是实际上情况并非如此，一个较为简便的构造反例就是构造一个
分布函数列
{Fn , n 1}和{Gn , n 1} ，使得
均匀地存在位差, 而且在不连续点处分布函数的跳的幅度是相同的，则此时(1.8)可以保证成立. 利 用
| Fn ( x ) Gn ( x ) | 0 ( n ) 3 (, ) 与 Lévy 距离的拓扑等价性, 可以发现 sup xR 并不意味着
3 ( f n g n ) 0 (n ) .
a. s. P ( X n , X ) 0 X n X , 令 { X n , n 1} 为一列随机变量，使得 X n X 成立但是 a. s. X n X 不成立(注意：这样的例子的确是存在的（见文献[3]） 。故存在一个 0 , 根据度量
收敛的定义有
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徐林：概率论中几个收敛概念的度量化研究
称
{ X n , n 1} 依概率收敛到 X , 如果对任意的 0 有 lim n P (| X n X | ) 0 , 记为
P X n X ；
设
Fn ( x ), n 1和F ( x ) 分别为 { X n , n 1} 和 X 的分布函数, 称 { X n , n 1} 依分布收敛到 X ,
Lr convergence.
极限理论在概率论的理论研究和实际应用中都具有重要的地位。 极限理论是在各种收敛概念的 基础上进行讨论的, 所以收敛概念在概率论的教学和研究中扮演着重要的角色。就收敛概念自身而 言, 研究中重点关注的是其收敛性质的保持问题, 即在什么样数学变换下可以保持某种收敛性质仍 然是成立的。例如，设 函数, 是否有
CB ( R1 ) 上定义
3 ( f , g ) sup
xR
| f ( x) g ( x) | 1 x2 (0.5)
则可以证明
3 (, ) 是一个定义在 CB ( R1 ) 的度量. 根据大家所熟知的随机变量的特征函数和
随机变量的分布函数间的一一对应关系可知，在 上通过特征函数定义一个距离如下：对任意的
{X， X n， n 1} 是一族定义在概率空间 (, F , P ) 上的随机变量,
{ X n , n 1} 几乎必然点点收敛到 X , 如果存在一个 P 零测集 N 使得对任意的 \ N ,
a. s. X n ( ) X ( ) , 记为 X n X;
当 n 时有
{ X n , n 1} 为一列随机变量, 依概率收敛到随机变量 X ， f (.) 为一可测
f ( X n ) 依概率收敛到 f ( X ) ？在何种条件下收敛? 这些都是研究和教学中备受关注
的问题. 而在教学中, 要把这些问题说清楚并且能够使得多数学生能够理解并不是一件容易的事情. 以前面所说之例子为例, 就上述例子而言，要证明这样的结果并不容易，需要较长的篇幅和较复杂 的技巧来处理（见参考文献[1][2]） 。处理这样一个教学难点的方法之一是介绍随机变量收敛概念的 度量化方法。度量化的空间在直观上和学生已经非常熟悉的实数空间具有相似性, 因此学生在学习 时可形成正向的迁移并容易形成直观的理解，从而接受并理解这些较为抽象的概念，结合他们已经 具有的关于实数空间的一些认识培养自身在新概念学习时举一反三的能力。 以下是几种常见收敛概 念的度量化方法和应用，以及可用于澄清收敛概念中若干错误认识的反例。 1.主要的结果和应用 定义 1 设 称
概率论中几个收敛概念的度量化研究
徐 林
（安徽师范大学数学计算机科学学院, 安徽芜湖，241003）
摘 要： 概率论中若干收敛概念的度量化方法的研究为采用拓扑学和泛函分析中的结果研究各种收敛概念问题提供
了可能。这种方法对于学生在更深层次上理解收敛概念也颇有助益。 关键词：度量化；依概率收敛；依分布收敛；
定理 1 记 为定义在概率空间 (, F , P ) 上所有有限实值随机变量的全体, 在 上定义度量如
下：对任意的 X , Y , 证明 注意到
( X ,Y ) E
| X Y | 1 | X Y
P X (Xn, X ) 0. | , 则 X n
k
, 这个
{ X n , n } 的选取是矛盾的。
r
3.结论 在此，我们讨论了概率论中的几乎必然收敛、依概率收敛、依分布收敛以及 L 收敛到度量化 问题, 给出了这些收敛概念的度量化方法以及一些不能度量化的收敛概念的反例，并结合一些具体 的收敛性质保持问题说明这些度量化方法的用途。 收敛概念的度量化方法教学有利于数学专业的学 生更好地理解和掌握拓扑学和泛函法分析的方法在概率研究中应用, 帮助他们理解这些收敛概念 的实质。这种理念的培养和灌输对于数学专业高年级本科生和研究生的培养十分必要。 文稿责编 孔生林 参考文献 [1] 钟开莱. 概率论教程[M]. 上海：上海科学技术出版社，1989. [2] 严士健, 刘秀芳, 王寿仁. 概率论基础[M]. 北京：科学出版社，2004. [3] Stoyanov, J. Counterexamples in Probability. New York：Wiley series in probability and mathematical statistics, 1987.
(0.6) 。这是比较容易构造的反例，比如可以选择
L ( Fn , Gn ) 0
而
xR
sup | Fn ( x ) Gn ( x ) | 0 ( n )
90
徐林：概率论中几个收敛概念的度量化研究
{Fn , n 1}和{Gn , n 1} 都是阶梯函数，但是他们之间存在“相位差”, 即两个分布函数的不连续点
|x y| |x| |y| 1 | x y | 1 | x | 1 | y |
பைடு நூலகம்
(0.1)
很容易证明 (, ) 是一个度量. 由
| x |
可得
|x| 1 | x | 1
(0.2)
P(| X n X | ) 0 | Xn X | P 0 1 | X n X | | Xn X | E 0 1 | X n X |
L ( X , Y ) inf{ 0 : x R, F ( x ) G ( x ) F ( x ) } (0.4)
则
d X n X L ( X n , X ) 0 .
定理 2 的应用 设 在
CB ( R1 ) 所有的定义在 R1 上的具有有界紧支撑的有界的实值函数的全体, 则
2.依概率收敛的度量化的应用.
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芜湖职业技术学院学报 2014 年第 16 卷第 1 期
众所周知, 如果
P X n X , f (.) 是定义在 R 的连续函数, 则 f ( X n ) f ( X ) . 但是证明
这个结论并不是很很容易, 需要一定的篇幅 （见文献[1][2]） 但是根据上述度量化的结果以及数学分
一个众所周知的事实是
a . s. P d X n X X n X X n X , 很容易让人以为既然 r
依概率收敛和依分布收敛以及 L 收敛都是可以度量化的, 则几乎必然收敛也是可以度量化的, 下 面的反例说明情况并非如此。如果不然, 假设存在这样的度量 ，使得
Lr 收敛。
中图分类号：0211.4； 文献标识码：A； 文章编号：1009-1114（2014）01-0088-04 Study on Metrization of Several Convergence Concepts in Probability Theory XU Lin Abstract: Study on metrization of several convergence concepts in probability theory makes it possible that the outcomes from topological and functional analysis are made use of to investigate all kinds of convergence concepts. Metrization can be such a solution which is very helpful for students’ understanding of convergence concepts on a deeper level. Key words: metrization; convergence in probability; convergence in distribution; 收稿日期：2014-01-19 ，安徽金寨人，理学博士，安徽师范大学副教授。 作者简介：徐林（1979.11—） 基金项目：国家自然科学基金（11201006,11126238） ；教育部人文社会科学项目（12YJC910012）资助。
(Xn, X ) 对于无限多的 n 成立。记 为这些 n 构成的集合，但由于
a . s. P X n X ，必定存在 { X n , n } 的一个子集 { X nk , k 1} ，使 X nk X ( nk ) , 此
即意味着
( X n , X ) 0 ( nk )
d Fn ( x ) F ( x ) ( n ) , 记为 X n X ;
如果对于任意的 F ( x ) 的连续点有 设
{X， X n， n 1} 具有有限的 r 阶矩, r 0 , 称 { X n , n 1} 在 r 阶矩的意义下收敛到 X , 如
r
L E | X n X |r 0 (n ) , 记为 X n X . 果
( f ( X n ), f ( X )) 0( n ) 即可。通过对 析中的有关结论, 结合 f (.) 的连续性, 只要证明到
f (.) 做结尾来证明这个结论是很容易的。下面的定理给出了依分布收敛的一个度量化方法，在此
略去其证明过程。 定理 2 设 F 和 G 是两个随机变量 X 和 Y 的概率分布函数, 则 X 和 Y 的 Lévy 距离定义如 下：
证毕. 注 (1)定义
(0.3)
1 ( X , Y ) inf{ : P(| X Y | ) } 或者
2 ( X , Y ) inf{P(| X Y | ) , 0}
则
1 (, )和 2 (, ) 也是一个度量，而且依概率收敛与在这些度量下收敛也是等价的.
X , Y , 及 FX , FY 为各自对应的分布函数, f X , fY 为各自的特征函数, 定义
4 ( X , Y ) 3 ( f X , fY ) , 利用特征函数的性质可以证明 3 (, ) 与 Lévy 距离是拓扑等价的. 现设
{Fn , n 1}和{Gn , n 1} 是两个分布函数列, { f n , n 1}和{g n , n 1} 是相应的特征函数。在概率论
91
中有这样一个认识的误区，如果
sup | Fn ( x ) Gn ( x ) | 0 ( n )
xR
, 则有
3 ( f n g n ) 0 (n ) 。但是实际上情况并非如此，一个较为简便的构造反例就是构造一个
分布函数列
{Fn , n 1}和{Gn , n 1} ，使得
均匀地存在位差, 而且在不连续点处分布函数的跳的幅度是相同的，则此时(1.8)可以保证成立. 利 用
| Fn ( x ) Gn ( x ) | 0 ( n ) 3 (, ) 与 Lévy 距离的拓扑等价性, 可以发现 sup xR 并不意味着
3 ( f n g n ) 0 (n ) .
a. s. P ( X n , X ) 0 X n X , 令 { X n , n 1} 为一列随机变量，使得 X n X 成立但是 a. s. X n X 不成立(注意：这样的例子的确是存在的（见文献[3]） 。故存在一个 0 , 根据度量
收敛的定义有
88
徐林：概率论中几个收敛概念的度量化研究
称
{ X n , n 1} 依概率收敛到 X , 如果对任意的 0 有 lim n P (| X n X | ) 0 , 记为
P X n X ；
设
Fn ( x ), n 1和F ( x ) 分别为 { X n , n 1} 和 X 的分布函数, 称 { X n , n 1} 依分布收敛到 X ,
Lr convergence.
极限理论在概率论的理论研究和实际应用中都具有重要的地位。 极限理论是在各种收敛概念的 基础上进行讨论的, 所以收敛概念在概率论的教学和研究中扮演着重要的角色。就收敛概念自身而 言, 研究中重点关注的是其收敛性质的保持问题, 即在什么样数学变换下可以保持某种收敛性质仍 然是成立的。例如，设 函数, 是否有
CB ( R1 ) 上定义
3 ( f , g ) sup
xR
| f ( x) g ( x) | 1 x2 (0.5)
则可以证明
3 (, ) 是一个定义在 CB ( R1 ) 的度量. 根据大家所熟知的随机变量的特征函数和
随机变量的分布函数间的一一对应关系可知，在 上通过特征函数定义一个距离如下：对任意的
{X， X n， n 1} 是一族定义在概率空间 (, F , P ) 上的随机变量,
{ X n , n 1} 几乎必然点点收敛到 X , 如果存在一个 P 零测集 N 使得对任意的 \ N ,
a. s. X n ( ) X ( ) , 记为 X n X;
当 n 时有
{ X n , n 1} 为一列随机变量, 依概率收敛到随机变量 X ， f (.) 为一可测
f ( X n ) 依概率收敛到 f ( X ) ？在何种条件下收敛? 这些都是研究和教学中备受关注
的问题. 而在教学中, 要把这些问题说清楚并且能够使得多数学生能够理解并不是一件容易的事情. 以前面所说之例子为例, 就上述例子而言，要证明这样的结果并不容易，需要较长的篇幅和较复杂 的技巧来处理（见参考文献[1][2]） 。处理这样一个教学难点的方法之一是介绍随机变量收敛概念的 度量化方法。度量化的空间在直观上和学生已经非常熟悉的实数空间具有相似性, 因此学生在学习 时可形成正向的迁移并容易形成直观的理解，从而接受并理解这些较为抽象的概念，结合他们已经 具有的关于实数空间的一些认识培养自身在新概念学习时举一反三的能力。 以下是几种常见收敛概 念的度量化方法和应用，以及可用于澄清收敛概念中若干错误认识的反例。 1.主要的结果和应用 定义 1 设 称