广东省部分名校2025届高三上学期8月入学摸底联合测评考试数学试卷(含答案解析)

2025届高三上学期8月入学摸底联合测评考试
数学试卷
注意事项：
1．答题前，先将自已的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．能正确表示图中阴影部分的是（ ）
A ．()()A
B A B ∪∩ B ．U A B
C ．U B A
D ．()()A B A B ∩∪
2．已知复数z 满足()1i z z +=，则||z =（ ）
A ．12
B C D ．2
3．已知向量(,1),(1,2)a
m b =
，且222||||||a b a b +=+ ，则m 的值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．-1
D ．-2
4．石墨烯是一种由单层碳原子构成的具有平面网状结构的物质，其结构如图所示，其中每个六边形的顶点是一个碳原子的所处位置.现令六边形A 为中心六边形，其外围紧邻的每个六边形构成“第一圆环”，“第一圆环”外围紧邻的六边形构成“第二圆环”，以此类推.则“第七圆环”上的碳原子数为（ ）
A ．42
B ．120
C ．168
D ．210
5．在平面直角坐标系xOy 中，点F 的坐标为()2,0，以线段FP 为直径的圆与圆22:3O x y +=相切，则动点P 的轨迹方程为（ ）
A ．22
143
x y −=
B ．2
213x y −=
C ．22
1129x y −=
D ．23
1163
x y −=
6．现某酒店要从3名男厨师和2名女厨师中选出两人，分别做调料师和营养师，则至少有1名女厨师被选中的不同选法有（ ） A ．14种
B ．18种
C ．12种
D ．7种
7．设12,F F 分别为椭圆()2222:10x y
E a b a b
+=>>的左，右焦点，P 为椭圆上一点，直线1F P 与以2F 为圆心、
2OF 为半径的圆切于点(Q O 为坐标原点)，且13F Q QP =
，则椭圆E 的离心率为（ ）
A B C ．12
D ．13
8．在正四棱锥S ABCD −中，E 是线段AB 上的动点．设直线SE 与直线BC 所成的角为α，二面角
S AB C −−为β，直线SE 与平面ABCD 所成的角为γ，这三个角的关系正确的是（ ）
A ．αβγ≤≤
B ．αγβ≤≤
C ．γαβ≤≤
D ．γβα≤≤
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知2n
x
的展开式共有13项，则下列说法正确的有（ ）
A ．所有奇数项的二项式系数和为112
B ．二项式系数最大的项为第7项
C ．所有项的系数和为133
D ．有理项共有5项
10．ABC 中，D 为AB 上一点且满足3AD DB =
．若P 为线段CD 上一点，且AP AB AC λµ=+ （,λµ为
正实数），则下列结论正确的是（ ）
A ．1344
CD CA CB =
+
B ．432λµ+=
C ．λµ的最大值为
1
12
D ．
1
1
3λ
µ
+
的最小值为3 11．若()f x 的定义域为R ，满足对任意,x y ∈R ，都有()()22x y x y f x f y f f +−
+=
−
，且()22f =，则下列说法正确的是（ ）
A ．()00f =
B ．()f x 为偶函数
C ．()1f x +为奇函数
D ．()2024
10i f i ==∑
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．甲､乙两队进行答题比赛，每队3名选手，规定两队的每名选手都完成一次答题为一轮比赛，每名选
手答对一题得1分，答错一题得0分.已知甲队中每名选手答对题的概率都为1
2
，乙队中3名选手答对题的
概率分别为211
,,334
.在第一轮比赛中，甲队得x 分，乙队得y 分，则在这一轮中，满足02x y <−≤且0y ≠的
概率为 .
13．若曲线e x m y n +=
+的切线为1y x =−，则一组满足条件的m n +的取值为 ． 14．省级保护文物石城永宁桥位于江西省赣州市石城县高田镇.永宁桥建筑风格独特，是一座楼阁式抛物线形石拱桥.当石拱桥拱顶离水面1.6m 时，水面宽6.4m ，当水面下降0.9m 时，水面的宽度为 米.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（本小题13分）
函数π(
)(0)3f x x ωω
=+>
在一个周期内的图象如图所示，A 为图象的最高点，B 、C 为图象与x
轴的交点，且ABC 为正三角形．
(1)求ω的值；
(2)若0()f x =
0(0,1)x ∈，求01()2f x −的值；
(3)求关于x 的方程()f x =
[]0,2024上的最大根与最小根之和.
16.（本小题15分）
某工厂去年12月试产了1000个电子产品，产品合格率为0.85.从今年1月开始，工厂在接下来的一年中将生产这款产品，1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高10%，产品合格率比前一个月增加0.01.
(1)求今年2月生产的不合格产品的数量，并判断哪个月生产的不合格产品的数量最多； (2)求该工厂今年全年生产的合格产品的数量. 参考数据：111.1 2.85≈，121.1 3.14≈.
17.（本小题15分）
如图，在四棱锥P ABCD −中，,AD BC M //为BP 的中点，//AM 平面CDP ． (1)求证：2BC AD =；
(2)若,1PA AB AB AP AD CD ⊥====，CBM CPM ∠=∠．
（i ）求证：PA ⊥平面ABCD ；
（ii ）设平面CDP ∩平面BAP l =，求二面角C l B −−的正弦值．
18.（本小题17分）
在一个密闭不透明的箱子中有五个浅色球，其中一个球的标号为1，另一个密闭不透明的箱子中有五个深色球，其中两个球的标号为2，3.
(1)若在两个箱子中各抽取两个球，求抽取的四个球中，标号为1，2，3的三个球中至少有两个的概率; (2)若在两个箱子中共随机抽取四个球，记其中浅色球的个数为X ，求X 的分布列.
19.（本小题17分）
在平面直角坐标系xOy 中，顶点在原点O 的抛物线E 经过点()9,6A . (1)求抛物线E 的方程；
(2)若抛物线E 不经过第二象限，且经过点()0,3B 的直线l 交抛物线E 于M ，N ，两点（BM BN <），过M 作x 轴的垂线交线段OA 于点P .
①当MP 经过抛物线E 的焦点F 时，求直线NP 的方程；
②求点A 到直线NP 的距离的最大值.
2025届高三上学期8月入学摸底联合测评考试
数学试卷解析版
注意事项：
1．答题前，先将自已的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．能正确表示图中阴影部分的是（）
A．1 B．2 C．-1 D．-2
A．42 B．120 C．168 D．210
A ．14种
B ．18种
C ．12种
D ．7种
【答案】A
【详解】从3名男剅师和2名女厨师中选出两人，分别做调料师和营养师，共有22
52C A =20（种），没有女
厨师被选中的选法共有22
32C A 6=（种），
故至少有1名女厨师被选中的不同选法有20614−=
（种）. 故选：A.
A ．αβγ≤≤
B ．αγβ≤≤
C ．γαβ≤≤
D ．γβα≤≤
【答案】D
【详解】解：如图，取ABCD 中心,O AB 中点,F 连接OF ，使得,OF EG OG EF ∥∥， 由题可知SEG α=∠，SFO β=∠，SEO γ=∠，且α，β，γ均为锐角， 由于SO ⊥平面ABCD ，EG ⊂平面ABCD ，所以SO EG ⊥,
又EG GO ⊥,,,SO GO O SO GO ∩
=⊂平面SOG ， 所以EG ⊥平面SOG ，SG ⊂平面SOG ，故EG SG ⊥,
A ．()00f =
B ．()f x 为偶函数
C ．()1f x +为奇函数
D ．()2024
10i f i ==∑
【答案】BCD
【详解】A 中：令2x
y ==，得()()()()2220f f f f +=−，又()220f =≠，所以()02f =−，故A 不选； B 中：令y x =−得，()()()()()02f x f x f x f f x +−=
−=，所以()()f x f x −=，而()f x 的定义域是全体实数，所以()f x 为偶函数，故B 选；
C 中：令
2,0x y ==，得()()()22010f f f +=−=，所以()10f =，
且FF (1,0),2:3
OA y x =，
①当MP 经过抛物线E 的焦点在24y x =中，令1x =，得y 又因为BM BN <，则(1,M。