陈仓区第二中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

优选高中模拟试卷
陈仓区第二中学2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含分析班级 __________姓名 __________分数 __________
一、选择题
1．已知函数 f x 1 2 x 1
，则曲线 y f x 在点 1 ， f 1处切线的斜率为（）
x1
A ．1B．1C． 2D．2 2．在高校自主招生中，某学校获取 5 个介绍名额，此中清华大学 2 名，北京大学2 名，复旦大学 1 名．而且北京大学和清华大学都要求一定有男生参加．学校经过选拔定下3男 2 女共 5 个介绍对象，则不一样的介绍方法共有（）
A ．20 种B．22 种 C．24 种 D．36 种
3．等差数列 {a } 中，已知前 15 项的和 S =45，则 a等于（）
n158
A．B．6C．D． 3
4．函数 f（ x）=（）x2﹣ 9 的单一递减区间为（）
A ．（﹣∞， 0）
B ．（ 0， +∞）C．（﹣ 9， +∞） D ．（﹣∞，﹣ 9）
5．若函数 f（ x） =﹣ a（ x﹣x3）的递减区间为（，），则 a 的取值范围是（）
A ．a＞ 0
B ．﹣ 1＜ a＜ 0C． a＞ 1D． 0＜a＜ 1
6．如图是一个多面体的三视图，则其全面积为（）
A．B．C．D．
7．将函数 y=cosx 的图象上各点的横坐标伸长到本来的 2 倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，所得函数图象的一条对称轴方程是（）
A ．x= π
B ．C． D ．
8．利用计算机在区间（0， 1）上产生随机数a，则不等式ln（ 3a﹣ 1）＜ 0 成立的概率是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
9．
在
中， 、 、 分别为角 、 、 所对的边，若
，则此三角形的形状必定是
（ ）
A ．等腰直角
B ．等腰或直角
C ．等腰
D ．直角
10．如图，在 △ABC 中，AB=6 ，AC=4 ，A=45 °，O 为△ ABC 的外心，则 ? 等于（ ）
A ．﹣ 2
B ．﹣ 1
C ．1
D ．2
11．已知 f （ x ）为偶函数，且 f （ x+2 ）=﹣ f （ x ），当﹣ 2≤x ≤0 时， f （x ） =2x ；若 n ∈ N *
，a n =f （n ），则 a 2017
等于（ ）
A ．2017
B ．﹣ 8
C ．
D ．
12．设 a 是函数
x 的零点，若 x 0＞ a ，则 f （ x 0）的值知足（
）
A ．f （x 0） =0
B ． f （ x 0）＜ 0
C ． f （x 0）＞ 0
D ．f （x 0）的符号不确立
二、填空题
13．已知一组数据 x 1 ， x 2 ， x 3 ， x 4 ， x 5 的方差是 2，另一组数据 ax 1 ， ax 2 ， ax 3 ， ax 4 ， ax 5 （ a 0 ）
的标准差是
2 2 ，则 a
．
14．直线 l 过原点且均分平行四边形 ABCD 的面积，若平行四边形的两个极点为
B （ 1 ，4）， D （ 5，0），则
直线 l 的方程为
．
15．在正方形 ABCD 中， AB AD 2 , M , N 分别是边 BC, CD 上的动点，当 AM AN 4 时，则 MN
的取值范围为
．
【命题企图】 此题考察平面向量数目积、 点到直线距离公式等基础知识， 意在考察坐标法思想、 数形联合思想
和基本运算能力．
16．自圆 C ： ( x 3)2
( y 4)2
4 外一点 P( x, y) 引该圆的一条切线，切点为 Q ，切线的长度等于点
P 到
原点 O 的长，则 PQ 的最小值为（
）
A ．
13
B ． 3
C ． 4
D ．
21
10
10
【命题企图】此题考察直线与圆的地点关系、点到直线的距离，意在考察逻辑思想能力、转变能力、运算求解
能力、数形联合的思想．
17．已知 f x 1 2x 28x 11 ,则函数 f x 的分析式为_________.
18．已知点 F 是抛物线y2=4x 的焦点， M ，N 是该抛物线上两点，|MF|+|NF|=6 ，M ，N，F 三点不共线，则△ MNF 的重心到准线距离为．
三、解答题
19．已知圆 C 经过点 A（﹣ 2，0）， B（ 0， 2），且圆心在直线y=x 上，且，又直线l： y=kx+1 与圆 C 订交于P、 Q 两点．
（Ⅰ）求圆 C 的方程；
（Ⅱ）若，务实数k 的值；
（Ⅲ）过点（0，1）作直线l 1与 l 垂直，且直线l1与圆 C 交于 M 、 N 两点，求四边形PMQN 面积的最大值．
2222
20．已知曲线 C 的极坐标方程为 4ρcosθ+9 ρsin θ=36 ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为
x 轴的正半轴，成立平面直角坐标系；
（Ⅰ）求曲线 C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）若 P（ x， y）是曲线 C 上的一个动点，求3x+4y 的最大值．
21．在等比数列{a n} 中， a3=﹣12，前 3 项和 S3=﹣9，求公比q．
22．计算：
（1） 8+（﹣）0﹣；
（2）lg25+lg2 ﹣l og 29×log 32．
23．已知函数f（ x）=（ ax2+x ﹣ 1） e x，此中 e 是自然对数的底数，a∈R．
（Ⅰ）若 a=0，求曲线 f （ x）在点（ 1，f （1））处的切线方程；
（Ⅱ）若，求f（x）的单一区间；
（Ⅲ）若 a=﹣ 1，函数 f （ x）的图象与函数的图象仅有 1 个公共点，务实数m 的取值范围．
24
．已知数列{a n}
和
{b n}
知足
a1?a2?a3 a n=2n N*），若 {a n}
为等比数列，且
a1=2
，
b3=3+b 2
．
（∈
（ 1）求 a n和 b n；
（2
）设
c n*
），记数列
{c n
} 的前n
n n =（n∈ N项和为 S，求 S．
陈仓区第二中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含分析（参照答案）一、选择题
1．【答案】 A
【分析】
试题剖析：由已知得 f x 2 x 121，则 f ' x 1
2，因此 f ' 1 1 ．
x x x
考点： 1、复合函数；2、导数的几何意义 .
2．【答案】 C
【分析】解：依据题意，分 2 种状况议论：
① 、第一类三个男生每个大学各介绍一人，两名女生疏别介绍北京大学和清华大学，
共有=12 种介绍方法；
②、将三个男生疏成两组分别介绍北京大学和清华大学，其他 2 个女生从剩下的 2 个大学中选，共有=12 种介绍方法；
故共有 12+12=24 种介绍方法；
应选： C．
3．【答案】 D
【分析】解：由等差数列的性质可得：==15a
8=45，则 a =3．
S158
应选： D．
4．【答案】 B
【分析】解：原函数是由 t=x 2与 y= （）t﹣ 9 复合而成，
∵t=x 2在（﹣∞， 0）上是减函数，在（0， +∞）为增函数；
又 y=（）t﹣ 9 其定义域上为减函数，
∴f（ x） =（）x2﹣ 9 在（﹣∞， 0）上是增函数，在（ 0， +∞）为减函数，
∴函数 ff （ x）=（）x2﹣ 9 的单一递减区间是（ 0， +∞）．
应选： B．
【评论】此题考察复合函数的单一性，议论内层函数和外层函数的单一性，依据“同増异减”再来判断是重点．5．【答案】 A
【分析】解：∵函数 f （ x） =﹣ a（ x﹣ x3）的递减区间为（，）
∴ f′（x）≤0， x∈（，）恒成立
即：﹣ a（ 1﹣ 3x2）≤0，， x∈（，）恒成立
∵1﹣ 3x2≥0 成
立∴ a＞ 0
应选 A
【评论】此题主要考察函数单一性的应用，一般来讲已知单一性，则常常转变为恒成立问题去解决．
6．【答案】 C
【分析】解：由三视图可知几何体是一个正三棱柱，
底面是一个边长是的等边三角形，
侧棱长是，
∴三棱柱的面积是 3×× 2=6+，
应选 C．
【评论】此题考察依据三视图求几何体的表面积，考察由三视图确立几何图形，考察三角形面积的求法，此题是一个基础题，运算量比较小．
7．【答案】 B
【分析】解：将函数 y=cosx 的图象上各点的横坐标伸长到本来的 2 倍（纵坐标不变），
获取 y=cos x，再向右平移个单位获取 y=cos[（ x） ] ，
由（ x） =k π，得 x=2k π，
即+2k π， k∈Z，
当 k=0 时，，
即函数的一条对称轴为，
应选： B
【评论】此题主要考察三角函数的对称轴的求解，利用三角函数的图象关系求出函数的分析式是解决此题的重点．
8．【答案】 C
【分析】解：由 ln （3a﹣ 1）＜ 0 得＜a＜，
则用计算机在区间（0， 1）上产生随机数a，不等式ln（ 3a﹣1）＜ 0 成立的概率是P=，
应选： C．
9．【答案】 B
【分析】
由于，因此由余弦定理得，
即，因此或，
即此三角形为等腰三角形或直角三角形，应选B
答案： B
10．【答案】 A
【分析】解：联合向量数目积的几何意义及点O 在线段 AB ， AC 上的射影为相应线段的中点，
可得，，则? ==16﹣ 18=﹣2；
应选 A．
【评论】此题考察了向量数目积的几何意义和三角形外心的性质、向量的三角形法例，属于中档题
11．【答案】 D
【分析】解：∵ f（ x+2） =﹣ f（ x），
∴f（ x+4 ） =﹣ f （x+2 ） =f （ x），
即 f （ x+4） =f （ x），
即函数的周期是 4．
∴a2017=f （ 2017）=f （ 504×4+1） =f （ 1），
∵f（ x）为偶函数，当﹣2≤x≤0 时， f（ x）=2x，
∴f（ 1） =f （﹣ 1） =，
∴a2017=f （ 1） =，
应选： D．
【评论】此题主要考察函数值的计算，利用函数奇偶性和周期性之间的关系是解决此题的重点．
12．【答案】 C
【分析】解：作出 y=2 x和 y=log x 的函数图象，如图：
由图象可知当x0＞ a 时， 2＞log x0，
∴ f（ x0） =2﹣ log x0＞ 0．
应选： C．
二、填空题
13．【答案】 2
【分析】
试题分析：第一组数据平均数为 x, ( x1 x)2(x2x) 2(x3x) 2( x4x)2( x5 x)2 2 ，(ax1 ax )2(ax2ax )2(ax3ax) 2(ax4ax) 2(ax5ax )28,a24, a 2 ．
考点：方差；标准差．
14．【答案】．
【分析】解：∵直线 l 过原点且均分平行四边形ABCD的面积，则直线过BD 的中点（ 3， 2），
故斜率为= ，
∴ 由斜截式可得直线l 的方程为，
故答案为．
【评论】此题考察直线的斜率公式，直线方程的斜截式．
15．【答案】[2,2]
（ 0 ＃x 2 ， 0 ＃y 2 ）上的点 (x, y) 到定点 (2, 2) 的距离，其最小值为 2 ，最大值为2，故 MN 的取值范围为 [ 2,2] ．
y
D N C
2
M
x
A B 2
16．【答案】 D
【解析】
17．【答案】f x 2x24x 5
【分析】
试题剖析：由题意得，令 t x 1 ，则 x t 1 ，则f t2(t 1)28(t 1) 11 2t 24t 5 ，因此函数 f x 的分析式为 f x 2x24x 5 .
考点：函数的分析式.
18．【答案】．
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2
【分析】解：∵ F 是抛物线y =4x 的焦点，
设 M （ x1， y1）， N （x2， y2），
∴ |MF|+|NF|=x 1+1+x 2+1=6 ，
解得 x1+x 2=4，
∴△ MNF 的重心的横坐标为，
∴△ MNF 的重心到准线距离为．
故答案为：．
【评论】此题考察解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转变为到准线的距
离．
三、解答题
19．【答案】
【分析】
【剖析】（ I）设圆心C（a， a），半径为r，利用 |AC|=|BC|=r ，成立方程，进而可求圆 C 的方程；
（II ）方法一：利用向量的数目积公式，求得∠ POQ=120°，计算圆心到直线 l ：kx ﹣ y+1=0 的距离，即可求得实数
k 的值；
方法二：设 P（ x1， y1）， Q（ x2， y2），直线方程代入圆的方程，利用韦达定理及=x 1?x2+y1?y2=，即可求得 k 的值；
（ III ）方法一：设圆心O 到直线 l ，l 1的距离分别为d，d1，求得，依据垂径定理和勾股定理获取，
，再利用基本不等式，可求四边形PMQN 面积的最大值；
方法二：当直线 l 的斜率 k=0 时，则 l 1的斜率不存在，可求面积 S；当直线 l 的斜率 k≠0时，设，
则
22
，求得 |PQ|， |MN| ，再利用基本不等式，可求四边形PMQN ，代入消元得（ 1+k ）x +2kx ﹣ 3=0
面积的最大值．
【解答】解：（ I）设圆心 C（ a， a），半径为 r ．
由于圆经过点 A （﹣ 2， 0）， B（ 0，2），因此 |AC|=|BC|=r ，
因此
解得 a=0， r=2 ，（ 2 分）
22
因此圆 C 的方程是 x+y =4．（ 4 分）
（ II ）方法一：由于，（ 6 分）因此，∠ POQ=120°，（7 分）
因此圆心到直线l ： kx﹣ y+1=0 的距离 d=1，（ 8 分）
优选高中模拟试卷又，因此 k=0．（9 分）
方法二：设P（ x1， y1）， Q（x2， y2），
由于，代入消元得（ 1+k 2
） x
2
+2kx ﹣ 3=0．（ 6 分）
由题意得：（7 分）
由于=x 1?x2+y1 ?y2=﹣ 2，
又，因此 x1?x2+y 1?y2=，（8 分）
化简得：﹣
22
，5k ﹣ 3+3（ k +1） =0
2
．（9 分）
因此 k =0 ，即 k=0
（ III ）方法一：设圆心 O 到直线 l ，l 1的距离分别为d， d1，四边形 PMQN 的面积为 S．由于直线 l ，l 1都经过点（ 0， 1），且 l ⊥l 1，依据勾股定理，有，（10 分）又依据垂径定理和勾股定理获取，，（11 分）而，即
（ 13 分）
当且仅当 d1=d 时，等号成立，因此 S 的最大值为7．（ 14 分）
方法二：设四边形 PMQN 的面积为 S．
当直线 l 的斜率 k=0 时，则 l1的斜率不存在，此时．（10 分）
当直线 l 的斜率 k≠0 时，设
则，代入消元得（1+k 2
） x
2
+2kx ﹣ 3=0
因此
同理获取．（11 分）
=（ 12 分）
由于，
因此，（13 分）
当且仅当 k=±1 时，等号成立，因此S 的最大值为7．（14分）20．【答案】
2222
θ=36 得 4x 22
【分析】解：（Ⅰ）由 4ρcos θ+9ρsin+9y =36 ，化为；
（Ⅱ）设 P（ 3cosθ， 2sinθ），
则 3x+4y=
∵ θ∈R，∴ 当 sin（θ+φ） =1 时， 3x+4y 【评论】此题考察了椭圆的极坐标方程、
，
的最大值为．
三角函数的单一性与值域，考察了推理能力与计算能力，属于中档题．
21．【答案】
【分析】解：由已知可得方程组，
第二式除以第一式得=，
整理可得q2+4q+4=0 ，解得 q=﹣ 2．
22．【答案】
【分析】解：（ 1） 8+（﹣）0﹣
=2﹣1+1﹣（ 3﹣ e）
=e﹣．
（ 2）lg25+lg2 ﹣ log 29×log 32
=
=
=1﹣ 2=﹣ 1．（6 分）
【评论】此题考察指数式、对数式化简求值，是基础题，解题时要仔细审题，注意对数、指数性质及运算法例的合理运用．
23．【答案】
【分析】解：（Ⅰ）∵ a=0，∴ f （ x） =（x﹣ 1） e x，f ′（ x） =e x+（x﹣ 1） e x=xe x，
∴曲线 f （x）在点（ 1， f（ 1））处的切线斜率为k=f （ 1） =e．
又∵ f（ 1）=0 ，∴所求切线方程为y=e（x﹣ 1），
即． ex﹣y﹣ 4=0
（Ⅱ） f ′（ x） =（ 2ax+1） e x+（ ax2+x ﹣ 1） e x=[ax 2+（ 2a+1） x]e x=[x
（ax+2a+1 ）]e x，①若 a=﹣， f ′（ x）=﹣ x2e x≤0，∴ f （ x）的单一递减区间为（﹣∞，
+∞），
②若 a＜﹣，当 x＜﹣或 x＞ 0 时， f′（ x）＜ 0；
当﹣＜ x＜0 时， f′（ x）＞ 0．
∴ f（ x）的单一递减区间为（﹣∞，﹣]， [0， +∞）；单一递加区间为 [ ﹣，0]．
第14页，共16页
（Ⅲ）当 a=﹣ 1 时，由（Ⅱ）③知， f（ x） =（﹣ x2+x ﹣ 1） e x在（﹣∞，﹣ 1）上单一递减，
在 [﹣ 1， 0]单一递加，在 [0， +∞）上单一递减，
∴ f（ x）在 x= ﹣ 1处获得极小值 f（﹣ 1）=﹣，在 x=0 处获得极大值f（ 0）=﹣ 1，
由，得 g′（ x） =2x2+2x．
当 x＜﹣ 1 或 x＞0时， g′（ x）＞ 0；当﹣ 1＜ x＜ 0时， g′（ x）＜ 0．
∴ g（ x）在（﹣∞，﹣ 1] 上单一递加，在 [﹣ 1， 0]单一递减，在 [0， +∞）上单一递加．
故 g（x）在 x= ﹣1 处获得极大值，
在 x=0 处获得极小值 g（ 0） =m，
∵数 f （ x）与函数 g（ x）的图象仅有 1 个公共点，
∴ g（﹣ 1）＜ f（﹣ 1）或 g（0）＞ f（ 0），即 .．
【评论】此题考察了曲线的切线方程问题，考察函数的单一性、极值问题，考察导数的应用，是一道中档题．
24．【答案】
【分析】解：（ 1）设等比数列 {a n nn1?a2?a3 a n*），a1
=2，
} 的公比为 q，∵ 数列 {a } 和 {b } 知足 a=2（ n∈N
∴，，，
∴ b1=1，=2q＞ 0，=2q 2，
3 2
又 b3=3+b 2．∴2 =2q ，解得
q=2．∴ a n=2n．
∴=a a a a
×2
2
× ×
2n
，1? 2? 3n=2=
∴．
（ 2） c n===﹣
=，∴数列 {c n} 的前 n 项和为 S n=﹣
+ +
=﹣ 2
=﹣ 2+
=﹣﹣1．
【评论】此题考察了等差数列与等比数列的通项公式及其前n 项和公式、递推式的应用、“裂项乞降”，考察了推理能力与计算能力，属于中档题．。