初中数学方程与不等式提高练习和常考题与压轴难题(含解析汇报)

适用标准
初中数学方程与不等式提升练习和常考题与压轴难题 (含分析 )
一．选择题〔共 16 小题〕
1．假定对于 x 的方程 x ﹣3k=5〔x ﹣k 〕+1 的解为负数，那么 k 的值为〔
〕
A ．k ＞
B ．k ＜
C ．k=
D ． k ＞ 且 k ≠2
2．以下各式，属于二元一次方程的个数有〔
〕
① xy+2x ﹣y=7；② 4x+1=x ﹣ y ；③ +y=5；④ x=y ；⑤ x 2﹣ y 2 =2
⑥ 6x ﹣2y
⑦x+y+z=1
⑧y 〔 y ﹣ 1〕 =2y 2﹣y 2+x ．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3．对于 x 的一元二次方程
有实数根，那么实数 a 知足〔
〕
A ．
B ．
C ．a ≤ 且 a ≠3
D ．
．设 α，β是方程 2
2
2
x +9x+1=0 的两根，那么〔 α+2021α+1〕〔β+2021β+1〕的值是
4
〔 〕
A ．0
B ．1
C ．2000
D ．4 000 000
， ， c 为三角形三边，那么对
于 x 的二次方程 2
+〔a ﹣ b 〕x+c 2 的根的
5．假定 a b x =0
状况是〔
〕
A ．有两个相等的实数根
B ．有两个不相等的实数根
C ．没有实数根
D ．没法确立
6．方程
﹣a=
，且对于 x 的不等式组
只有 4 个整数解，那么 b
的取值范围是〔
〕
A ．﹣ 1＜ b ≤ 3
B ．2＜b ≤3
C ．8≤b ＜9
D ．3≤b ＜4 7．察看以下方程：
〔 1〕
；〔2〕
；〔3〕
；〔4〕
此中是对于 x 的分式方程的有〔 〕
A ．〔1〕
B ．〔2〕
C ．〔2〕〔3〕
D ．〔2〕〔4〕
A．a＞﹣ 1 B．a＞﹣ 2 C．a＞0D．a＞﹣ 1 且 a≠0
9．假定对于 x 的不等式整数解共有2个，那么m的取值范围是〔〕A．3≤m＜ 4B．3＜m ＜4C． 3＜ m≤4D．3≤m≤4
10．为指引居民节俭用水，某市出台了城镇居民作用水阶梯水价制度．每年水费的计算方法为：年交水费 =第一阶梯水价×第一阶梯用水量 +第二阶梯水价×第二阶梯用水量 +第三阶梯水价×第三阶梯用水量．该市某同学家在实行阶梯水价制
度后的第一年缴纳水费1730 元，那么该同学家这一年的用水量为〔〕
某市居民用水阶梯水价表
阶梯户年用水量 v〔 m3〕水价〔元 /m 3〕第一阶梯0≤ v≤ 1805
第二阶梯180＜v≤2607
第三阶梯v＞ 2609
A．250m3B．270m3C．290m3D．310m3
11．父子二人并排垂站立于游泳池中时，爸爸露出水面的高度是他自己身高的，儿子露出水面的高度是他自己身高的，父子二人的身高之和为 3.2 米．假定设爸爸的身高为 x 米，儿子的身高为y 米，那么可列方程组为〔〕
A．B．
C．D．
12．方程 3x+y=9 在正整数范围内的解的个数是〔〕
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．有无数个
2﹣4x+1=0，配成〔x+p〕2的形式，那么、的值是〔〕13．把一元二次方程 x=q p q
A．p=﹣2，q=5 B．p=﹣2，q=3 C． p=2，q=5D．p=2，q=3
．假定对
于
x 的一元二次方程
2﹣2x﹣k+1=0 有两个不相等的实数根，那么一次
函
14x 数 y=kx﹣ k 的大概图象是〔〕
A ．
B ．
C ．
D ．
15．在求 3x 的倒数的值时， 嘉淇同学误将 3x 当作了 8x ，她求得的值比正确答案
小 5．依上述情况，所列关系式建立的是〔
〕
A ． = ﹣ 5
B ． = +5
C ． =8x ﹣ 5
D ．
=8x+5
16．假定不等式组 的解集是 x ＞ 3，那么 m 的取值范围是〔 〕
A ．m ＞ 3
B ．m ≥ 3
C ．m ≤3
D ．m ＜3
二．填空题〔共 14 小题〕
．对于实数
nn ﹣
1
2
x ，规定〔 x 〕 ′=nx ，假定〔 x
〕 ′=﹣2，那么 x=．
17
18．销售某件商品可赢利 30 元，假定打 9 折每件商品所获收益比本来减少了 10
元，那么该商品的进价是
元．
19．假定对于 x 、y 的二元一次方程组
的解是
，那么对于 x 、y 的二
元一次方程组
的解是 x=
，y= ．
．实数 ， 知足 2
2+2n 2+4m ﹣ 1 的最小值等于 ．
20
m n m ﹣ n =1，那么代数式
m
．整数
k ＜ ，假定
△
ABC 的边长均知足对于
2
﹣3 x+8=0，那么△
21
5
x 的方程 x
ABC 的周长是
．
22．假定两个不等实数
m 、n 知足条件： m 2﹣ 2m ﹣ 1=0，n 2﹣2n ﹣1=0，那么 m 2+n 2
的值是
．
23．某种电脑病毒流传特别快， 假如一台电脑被感染， 经过两轮被感染后就会有
144 台电脑被感染．每轮感染中均匀一台电脑会感染 台电脑．
．假定 m 是实数，那么对
于 x 的方程 2
﹣mx+ +m+ =0 的根的状况是 ．
24 x
25．假定对于 x 的方程=
+1 无解，那么 a 的值是 ．
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一组调解数： x、5、3〔x＞5〕，那么 x 的值是．
27．假定不等式组有解，那么a的取值范围是．
28．如图 A、B、C、D 四人在公园玩跷跷板，依据图中的状况，这四人体重从小
到大摆列的次序为．
29．在一次数学知识比赛中，比赛题共30 题．规定：答对一道题得 4 分，不答或答错一道题倒扣 2 分，得分不低于 60 分者得奖．得奖者起码应答对道题．
30．假定对于 x 的不等式的解集为x＜2，那么k的取值范围是．
三．解答题〔共10 小题〕
31．甲，乙两位同学在解方程组时，甲正确地解得方程组的解为．乙因粗心，错误地将方程中系数 C 写错了，获取的解为；假定乙没有再发生其余错误，试确立a，b，c 的值．
32．解方程组．
33．参加一次篮球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共要比赛30 场，共有多少个队参加比赛？
34．甲、乙两班同学同时从学校沿一路线走向离学校 S 千米的军训地参加训练．甲班有一半行程以V1千米/ 小时的速度行走，另一半行程以V2千米/ 小时的速度行走；乙班有一半时间以 V1千米 / 小时的速度行走，另一半时间以 V2千米 / 小时的
速度行走．设甲、乙两班同学走到军训基地的时间分别为t 1小时、 t 2小时．（1〕试用含 S、 V1、V2的代数式表示 t 1和 t2；
（2〕请你判断甲、乙两班哪一个的同学先抵达军训基地并说明原因．
35．对 x， y 定义一种新运算T，规定： T〔x，y〕 =〔此中a，b均为非零
常数〕，这里等式右侧是往常的四那么运算，比如：T〔 0， 1〕 ==b，已
知 T〔1，1〕，T〔4，﹣ 2〕 =4．
〔 1〕求 a，b 的值；
〔 2〕假定对于 m 的不等式组恰巧有2个整数解，务实数P 的取值范围．
36． x=3 是对于 x 的不等式的解，求a的取值范围．
37．假如对于 x 的不等〔 2m﹣ n〕x+m﹣5n＞0 的解集为 x＜，试求对于x的
不等式 mx＞n 的解集．
38．某养鸡厂方案购买甲、乙两种鸡苗共2000 只进行饲养，甲种小鸡苗每
只二元，乙种小鸡苗每只三元．
〔 1〕假定购买不超出4700 元，应最少购买甲种小鸡苗多少只？
〔 2〕有关资料表示，甲、乙两种小鸡苗的成活率分虽是94%和 99%，假定要使这两种小鸡苗成活率不低于96%且购买小鸡苗的总花费最低，应购买甲、乙两种小鸡各多少只？最少花费是多少元？
39．为了相应“足球进校园〞的呼吁，某体育用品商铺方案购进一批足球，第一次
用 6000 元购进 A 品牌足球 m 个，第二次又用 6000 元购进 B 品牌足球，购进的 B
品牌足球的数目比购进的 A 品牌足球多 30 个，而且每个 A 品牌足球的进价是每个
B 品牌足球的进价的．
（1〕求 m 的值；
（2〕假定这两次购进的 A，B 两种品牌的足球分别依照 a 元/ 个， a 元/ 个两种价格销售，所有销售完成后，可获取的收益不低于4800 元，求出 a 的最小值．
40．为知足市场需求，重生活商场在端午节前夜购进价钱为 3 元/ 个的某品牌粽子，依据市场展望，该品牌粽子每个售价4 元时，每日能销售500 个，而且售价每上升0.1 元，其销售量将减少 10 个，为了保护花费者利益，物价部门规定，
该品牌粽子售价不可以超出进价的200%，请你利用所学知识帮助商场给该品牌粽
子订价，使商场每日的销售收益为800 元．
初中数学方程与不等式提升练习和常考题与压轴难题
(含分析 )
参照答案与试题分析
一．选择题〔共16 小题〕
1．〔 2021 春?蓬溪县校级月考〕假定对于 x 的方程x﹣ 3k=5〔x﹣k〕+1 的解为负数，那么 k 的值为〔〕
A．k＞B．k＜C．k= D． k＞且k≠2
【剖析】本题第一要解这个对于 x 的方程，依据解是负数，能够获取一个对于 k 的
不等式，就能够求出 k 的范围．
【解答】解：x﹣3k=5〔x﹣k〕 +1
，
依据题意得，
解得 k＜；
应选 B．
【评论】本题是一个方程与不等式的综合题目．解对于 x 的不等式是本题的一个
难点．
2．〔2021 春?文登市校级期中〕以下各式，属于二元一次方程的个数有〔〕① xy+2x﹣y=7；② 4x+1=x﹣ y；③+y=5；④ x=y；⑤ x2﹣ y2 =2
⑥ 6x﹣2y⑦x+y+z=1⑧y〔y﹣1〕=2y2﹣y2+x．
A．1B．2C．3D．4
【剖析】依据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数的个数和次数方面
划分．
【解答】解：
①xy+2x﹣y=7，不是二元一次方程，因为其未知数的最高次数为2；
② 4x+1=x﹣ y，是二元一次方程；
③ +y=5，不是二元一次方程，因为不是整式方程；
④ x=y 是二元一次方程；
⑤x2﹣y2 =2 不是二元一次方程，因为其未知数的最高次数为2；
⑥ 6x﹣2y，不是二元一次方程，因为不是等式；
⑦ x+y+z=1，不是二元一次方程，因为含有 3 个未知数；
⑧ y〔 y﹣1〕=2y2﹣y2+x，是二元一次方程，因为变形后为﹣
y=x．应选 C．
【评论】二元一次方程一定切合以下三个条件：
〔 1〕方程中只含有 2 个未知数；
〔 2〕含未知数项的最高次数为一次；
〔 3〕方程是整式方程．注意⑧整理后是二元一次方程．
3．〔2021?海拉尔区校级三模〕对于x 的一元二次方程有实数根，那么实数 a 知足〔〕
A．B．C．a≤且a≠3D．
【剖析】议论：当a﹣3=0，原方程变形为一元一次方程，有一个实数根；当a ﹣ 3≠ 0，△ =〔﹣〕2﹣4×〔a﹣3〕× 1≥0，而后综合这两种状况即可．
【解答】解：当 a﹣3=0，方程变形为﹣x+1=0，此方程为一元一次方程，有
一个实数根；
当 a﹣3≠0，△ =〔﹣〕2﹣4×〔a﹣3〕× 1≥0，解得a≤且a≠3．
所以 a 的取值范围为 a≤且a≠ 3．
应选 C．
【评论】本题考察了一元二次方程 ax2+bx+c=0〔a≠0〕的根的鉴别式△ =b2﹣4ac：当△＞ 0，方程有两个不相等的实数根；当△ =0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考察了一元二次方程的定义．
．〔桂平市二模〕设α，β 是方程22〕
x+9x+1=0的两根，那么〔α+2021α+1 42021?
2
〕
〔β+2021β+1〕的值是〔
A．0 B．1 C．2000D．4 000 000
22
【剖析】欲求〔α+2021α+1〕〔β+2021β+1〕的值，先把此代数式变形为两根之
222
积或两根之和的形式〔α+2021α+1〕〔β+2021β+1〕 = 〔α+9α+1+2000α〕2
〔β+9β+1+2000β〕，再利用根与系数的关系代入数值计算即
可．【解答】解：∵α，β是方程x2+9x+1=0 的两个实数根，
∴α+β=﹣ 9，α?β=1．
22
〔α+2021α+1〕〔β+2021β+1〕
22
=〔α+9α+1+2000α〕〔β+9β+1+2000β〕
又∵α，β是方程 x2+9x+1=0 的两个实数根，
22
∴α+9α+1=0，β+9β+1=0．
22
∴〔α+9α+1+2000α〕〔β+9β+1+2000β〕
=2000α ?2000β
=2000×2000αβ，
而α?β=1，
22
∴〔α+9α+1+2000α〕〔β+9β+1+2000β〕=4 000 000．
应选 D．
【评论】将根与系数的关系与代数式变形相联合解题是一种常常使用的解题
方法．
，，
c 为三角形三边，那么对
于
x
的二次方程2+〔 a﹣ b〕
5．〔1999?烟台〕假定 a b x
x+c2=0 的根的状况是〔〕
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根D．没法确立
【剖析】先求出△ =b2﹣4ac，再联合 a，b，c 为三角形的三边，即可判断根的情况．
【解答】解：∵x2+〔 a﹣b〕x+c2 =0，
∴△ =b2﹣4ac==〔a﹣b〕2﹣c2=〔a﹣b﹣c〕〔 a﹣b+c〕
∵a，b，c 为三角形三边，
∴ b+c＞a， a+c＞b
∴a﹣ b﹣ c＜0，a﹣b+c＞ 0
∴〔 a﹣b﹣c〕〔a﹣b+c〕＜ 0，
即二次方程x2+〔a﹣b〕x+c2=0 无实数根．
应选 C．
【评论】本题考察了一元二次方程根的鉴别式的应用及三角形三边的关系．
6．〔 2021?德阳〕方程﹣a=，且对于x的不等式组只有4个整数解，那么 b 的取值范围是〔〕
A．﹣ 1＜ b≤ 3 B．2＜b≤3 C．8≤b＜9 D．3≤b＜4
【剖析】分式方程去分母转变为整式方程，求出整式方程的解获取 a 的值，经检验确立出分式方程的解，依据不等式组只有 4 个正整数解，即可确立出b 的范围．
【解答】解：分式方程去分母得：3﹣a﹣a2+4a=﹣1，即〔 a﹣4〕〔a+1〕=0，
解得： a=4 或 a=﹣ 1，
经查验 a=4 是增根，故分式方程的解为a=﹣1，
不等式组解得：﹣ 1＜x≤b，
∵不等式组只有 4 个整数解，
∴3≤ b＜ 4．
应选： D
【评论】本题考察了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，弄清题意
是解本题的重点．
7．察看以下方程：
〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕
此中是对于 x 的分式方程的有〔〕
A．〔1〕B．〔2〕C．〔2〕〔3〕D．〔2〕〔4〕
【剖析】依据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程判
断．【解答】解：〔1〕〔4〕中的方程分母中不含未知数，故不是分式方
程；而〔 2〕〔 3〕的方程分母中含未知数 x，所以是分式方程．
应选 C．
【评论】判断一个方程能否为分式方程，主假如依照分式方程的定义，也就是看分母中能否含有未知数〔注意：只是是字母不可以，一定是表示未知数的字母〕．
8．〔2021?黄石〕当 1≤ x≤ 2 时， ax+2＞0，那么 a 的取值范围是〔〕
A．a＞﹣ 1 B．a＞﹣ 2 C．a＞0D．a＞﹣ 1 且 a≠0
【剖析】当 x=1 时， a+2＞0；当 x=2，2a+2＞0，解两个不等式，获取 a 的范围，最后综合获取 a 的取值范围．
【解答】解：当 x=1 时， a+2＞0
解得： a＞﹣ 2；
当 x=2，2a+2＞0，
解得： a＞﹣ 1，
∴ a 的取值范围为： a＞﹣ 1．
【评论】本题考察了不等式的性质，解决本题的重点是熟记不等式的性质．
9．〔 2021?鼓楼区一模〕假定对于 x 的不等式整数解共有2个，那么m的取值范围是〔〕
A．3≤m＜ 4B．3＜m ＜4C． 3＜ m≤4D．3≤m≤4
【剖析】第一确立不等式组的解集，先利用含m 的式子表示，依据整数解的个
数就能够确立有哪些整数解，依据解的状况能够获取对于m 的不等式，从而求
出 m 的范围．
【解答】解：解得不等式组的解集为：2≤ x＜m，
因为不等式组只有 2 个整数解，
所以这两个整数解为： 2，3，
所以实数 m 的取值范围是 3＜m≤ 4．
应选： C．
【评论】本题考察了一元一次不等组的整数解，正确解出不等式组的解集，确立m的范围，是解决本题的重点．
10．〔2021?山西模拟〕为指引居民节俭用水，某市出台了城镇居民作用水阶梯水价制度．每年水费的计算方法为：年交水费=第一阶梯水价×第一阶梯用水量+第二阶梯水价×第二阶梯用水量+第三阶梯水价×第三阶梯用水量．该市某同学
家在实行阶梯水价制度后的第一年缴纳水费1730 元，那么该同学家这一年的用水量为〔〕
某市居民用水阶梯水价表
阶梯户年用水量 v〔 m3〕水价〔元 /m 3〕第一阶梯0≤ v≤ 1805
第二阶梯180＜v≤2607
第三阶梯v＞ 2609
A．250m3B．270m3C．290m3D．310m3
【剖析】利用表格中数据得出水费不超出 1460 元时包含第三阶梯水价花费，从
而得出等量系求出即可．
【解答】解：设该同学这一年的用水量为x，
依据表格知， 180×5+80×7=1460＜ 1730，那么该同学家的用水量包含第三阶
梯水价花费．
依题意得： 180×5+80×7+〔 x﹣ 260〕× 9=1730，
解得 x=290．
应选： C．
【评论】本题考察了一元一次方程的应用．依据表格中数据得出正确是等量关系
是解题重点．
11．〔2021?河北一模〕父子二人并排垂站立于游泳池中时，爸爸露出水面的高度
是他自己身高的，儿子露出水面的高度是他自己身高的，父子二人的身高之
和为 3.2 米．假定设爸爸的身高为x 米，儿子的身高为 y 米，那么可列方程组为〔〕A．B．
C．D．
【剖析】依据题意可得两个等量关系：①爸爸的身高+儿子的身高 =3.2 米；②父
亲在水中的身高〔 1﹣〕x=儿子在水中的身高〔1﹣〕y，依据等量关系可列出
方程组．
【解答】解：设爸爸的身高为x 米，儿子的身高为y 米，由题意得：
，
应选： D．
【评论】本题主要考察了由实质问题抽象出二元一次方程组，重点是弄清题意，
找出题目中的等量关系，解决本题的重点是知道父亲和儿子没在水中的身高是
相等的．
12．〔 2021 春?沈丘县期末〕方程3x+y=9 在正整数范围内的解的个数是〔〕
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．有无数个
【剖析】由题意求方程的解且要使x，y 都是正整数，将方程移项将x 和 y 相互
表示出来，在由题意要求x＞0，y＞0 依据以上两个条件可夹出适合的x 值从而
代入方程获取相应的y 值．
【解答】解：由题意求方程3x+y=9 的解且要使 x，y 都是正整数，
∴ y=9﹣3x＞0，
∴ x≤2，
又∵ x≥ 0 且 x 为正整数，
∴ x 值只好是 x=1，2，代入方程得相应的y 值为 y=6，3．
∴方程 3x+y=9 的解是：，；
应选： B．
化为 1 等技术，先将方程做合适变形，确立此中一个未知数的取值范围，而后枚
举出合适条件的所有整数值，再求出另一个未知数的值．
13．〔2021?安徽模拟〕把一元二次方程x2﹣4x+1=0，配成〔 x+p〕2=q 的形式，那么p、q 的值是〔〕
A．p=﹣2，q=5 B．p=﹣2，q=3 C． p=2，q=5D．p=2，q=3
【剖析】移项后，两边配前一次项系数一半的平方即可得．
【解答】解：∵ x2﹣ 4x=﹣1，
∴x2﹣4x+4=﹣1+4，即〔x﹣2〕2=3，
那么 p=﹣ 2， q=3，
应选： B．
【评论】本题主要考察解一元二次方程的能力，娴熟掌握解一元二次方程的几种
常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，联合方程的特色选择适合、简易的方法是解题的重点．
14．〔 2021?通辽〕假定对于 x 的一元二次方程x2﹣ 2x﹣k+1=0 有两个不相等的实数根，那么一次函数y=kx﹣ k 的大概图象是〔〕
A．B．C．D．
【剖析】第一依据一元二次方程有两个不相等的实数根确立k 的取值范围，而后依据一次函数的性质确立其图象的地点．
【解答】解：∵对于 x 的一元二次方程 x2﹣2x﹣ k+1=0 有两个不相等的实数根，
∴〔﹣ 2〕2﹣4〔﹣ k+1〕＞ 0，
即 k＞0，∴﹣
k＜0，
∴一次函数 y=kx﹣k 的图象位于一、三、四象限，
应选 B．
【评论】本题考察了根的鉴别式及一次函数的图象的问题，解题的重点是依据一
元二次方程的根的鉴别式确立k 的取值范围，难度不大．
15．〔2021?河北〕在求 3x 的倒数的值时，嘉淇同学误将 3x 当作了 8x，她求得的
值比正确答案小5．依上述情况，所列关系式建立的是〔〕
A．=﹣5B．= +5 C．=8x﹣ 5 D．=8x+5
【剖析】依据题意知： 8x 的倒数 +5=3x 的倒数，据此列出方程即可．
【解答】解：依据题意，可列方程：=+5，
应选： B．
【评论】本题考察了由实质问题抽象出分式方程，重点是读懂题意，找到3x 的倒数与 8x 的倒数间的等量关系，列出方程．
16．〔 2021?米东区校级一模〕假定不等式组的解集是x＞3，那么m的取
值范围是〔〕
A．m＞ 3 B．m≥ 3 C．m≤3 D．m＜3
【剖析】先将每一个不等式解出，而后依据不等式的解集是x＞3 求出 m 的范围【解答】解：① x+8＜ 4x﹣1
﹣ 3x＜﹣ 9
x＞3
② x＞m
∵不等式组的解集为x＞3
∴m≤3
应选〔 C〕
【评论】本题考察不等式组的解法，解题的重点是娴熟一元一次不等式的解法，
以及正确理解不等式组的解集，本题属于中等题型．
二．填空题〔共14 小题〕
．〔丰台区一模〕对于实数nn﹣ 12
x，规定〔 x 〕′=nx ，假定〔 x 〕′=﹣2，那么 x=
172021?﹣ 1．
【剖析】依据规定，得：当n=2 时，那么〔 x2〕′=2x，解方程即可．
【解答】解：依据题意得： 2x=﹣2，
x=﹣ 1．
故答案为：﹣ 1．
【评论】本题的重点是正确理解规定的运算，能够把方程的左侧按要求进行变换．
18．〔 2005?乌鲁木齐〕销售某件商品可赢利30 元，假定打 9 折每件商品所获收益
比本来减少了 10 元，那么该商品的进价是70元．
【剖析】本题的等量关系为：原售价的9 折=新售价，而原售价 =30+进价，新售
价 =30+进价﹣ 10．
【解答】解：设该商品的进价是 x 元，那么〔 30+x〕× 0.9=30+x﹣
10解得 x=70，
那么该商品的进价是70 元．
【评论】本题第一读懂题目的意思，依据题目给出的条件，找出适合的等量关系，
列出方程，再求解．
19．〔 1998?广东〕假定对于x、y 的二元一次方程组的解是，那么
对于 x、y 的二元一次方程组的解是x=4，y=3．
【剖析】本题先代入解求出得，再将其代入二元一次方程组
获取，解出即可．
【解答】解：∵二元一次方程组的解是，
∴有，
解得；
将代入二元一次方程组，
得，
解得．
【评论】本题主要考察二元一次方程组的解法，重点是娴熟掌握二元一次方程组
的解法即代入消元法和加减消元法．
注意：在运用加减消元法消元时，两边同时乘以或除以一个不为 0 的整数或整式，必定注意不可以漏项．
20．〔 2021?南通〕实数 m， n 知足 m﹣n2=1，那么代数式 m2+2n2+4m﹣1 的最小值等于 4 ．
【剖析】等式变形后辈入原式，利用完整平方公式变形，依据完整平方式恒大于等于 0，即可确立出最小值．
【解答】解：∵ m﹣n2=1，即 n2=m﹣1≥0，m≥ 1，∴原
式 =m2+2m﹣2+4m﹣1=m2+6m+9﹣12=〔 m+3〕2﹣12，那
么代数式 m2+2n2+4m﹣ 1 的最小值等于〔 1+3〕2﹣
12=4．故答案为： 4．
【评论】本题考察了配方法的应用，以及非负数的性质，娴熟掌握完整平方公式是解本题的重点．
21．〔 2021?绵阳〕整数 k＜ 5，假定△ ABC 的边长均知足对于x 的方程 x2﹣3 x+8=0，那么△ ABC的周长是6或12或10 ．
【剖析】依据题意得 k≥0 且〔 3〕2﹣4×8≥0，而整数 k＜5，那么 k=4，方程变
形为 x2﹣ 6x+8=0，解得 x1，2，因为△的边长均知足对于
x 的方程
x
2﹣
=2 x =4ABC
6x+8=0，
所以△ ABC的边长能够为 2、2、2 或 4、4、4 或 4、4、2，而后分别计算三角形周长．
【解答】解：依据题意得 k≥0 且〔 3 〕2﹣4×8≥0，解
得 k≥，
∵整数 k＜5，
∴k=4，
∴方程变形为 x2﹣6x+8=0，解得 x1 =2， x2 =4，
∵△ABC的边长均知足对于x 的方程x2﹣6x+8=0，
∴△ ABC的边长为 2、2、2 或 4、4、4 或 4、4、2．
∴△ ABC的周长为 6 或 12 或 10．
故答案为： 6 或 12 或 10．．
【评论】本题考察了一元二次方程 ax2+bx+c=0〔a≠0〕的根的鉴别式△ =b2﹣4ac：
当△＞ 0，方程有两个不相等的实数根；当△ =0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考察了因式分解法解一元二次方程以及三角形三边
的关系．
22．〔 2021?黔东南州〕假定两个不等实数m、n 知足条件： m2﹣ 2m﹣ 1=0，n2﹣2n ﹣ 1=0，那么 m2+n2的值是6．
【剖析】依据题意知， m、 n 是对于 x 的方程 x2﹣2x﹣1=0 的两个根，所以利用
根与系数的关系来求m2 +n2的值．
【解答】解：由题意知， m、n 是对于 x 的方程 x2﹣ 2x﹣1=0 的两个根，那么 m+n=2，mn=﹣1．
222
所以， m +n =〔 m+n〕﹣2mn=2×2﹣2×〔﹣ 1〕 =6．
【评论】本题主要考察了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相联
合解题是一种常常使用的解题方法．
23．〔2021?武城县模拟〕某种电脑病毒流传特别快，假如一台电脑被感染，经过
两轮被感染后就会有144 台电脑被感染．每轮感染中均匀一台电脑会感染11
台电脑．
【剖析】本题可设每轮感染中均匀一台电脑会感染x 台电脑，那么第一轮共感染
x+1 台，第二轮共感染x〔x+1〕+x+1=〔x+1〕〔 x+1〕台，依据题意列方程解答即
可．
【解答】解：设每轮感染中均匀一台电脑会感染x 台电脑，依据题意列方程得
（x+1〕2=144
解得 x1=11， x2=﹣ 13〔不切合题意，舍去〕，
即每轮感染中均匀一台电脑会感染11 台电脑．
【评论】找到重点描绘语，找到等量关系正确的列出方程是解决问题的重点．判断所求的解能否切合题意，舍去不合题意的解．
24．〔 2003?内蒙古〕假定 m 是实数，那么对于 x 的方程 x2﹣ mx+ +m+ =0 的根的状况是无解．
【剖析】计算一元二次方程的根的鉴别式△的值的符号后，再依据根的鉴别式与
根的关系求解．
【解答】解：∵对于 x 的方程 x2﹣mx+ +m+ =0 可化为 2x2﹣ 2mx+m 2+2m+3=0，
∴△ =〔﹣ 2m〕2﹣4×2×〔 m2+2m+3〕 =﹣ 4m2﹣16m﹣24=﹣4〔m+2〕2﹣ 8＜ 0∴方程没有实数根．
【评论】总结：一元二次方程根的状况与鉴别式△的关系：
（1〕△＞ 0? 方程有两个不相等的实数根；
（2〕△ =0? 方程有两个相等的实数根；
（3〕△＜ 0? 方程没有实数根
25．〔 2021?绥化〕假定对于 x 的方程=+1 无解，那么 a 的值是2 或 1．
【剖析】把方程去分母获取一个整式方程，把方程的增根 x=2 代入即可求得 a 的值．【解答】解： x﹣2=0，解得： x=2．
方程去分母，得： ax=4+x﹣2，即〔 a﹣1〕x=2
当 a﹣1≠0 时，把 x=2 代入方程得： 2a=4+2﹣2，
解得： a=2．
当 a﹣1=0，即 a=1 时，原方程无解．
故答案是： 2 或 1．
【评论】第一依据题意写出 a 的新方程，而后解出 a 的值．
26．〔2021?大丰市一模〕数学家们在研究15、12、10 这三个数的倒数时发现：
﹣=﹣．所以就将拥有这样性质的三个数称之为调解数，如6、3、2 也
是一组调解数．现有一组调解数：x、 5、 3〔 x＞ 5〕，那么 x 的值是15．【剖析】依据题意，利用规律求未知数，从x＞5 判断， x 相当于规律
中的 15．
【解答】解：∵ x＞5
∴ x 相当于调解数15，
代入得，﹣=﹣，
解得， x=15．
经查验得出： x=15 是原方程的解．
故答案为： 15．
【评论】本题主要考察了分式方程的应用，解决本题的重点是经过察看剖析，未知调解数利用调解数来解得．．
27．〔 2021?宁夏〕假定不等式组有解，那么a的取值范围是a＞﹣ 1．【剖析】先解出不等式组的解集，依据不等式组有解，即可求
出 a 的取值范围．
【解答】解：∵由①得 x≥﹣ a，
由②得 x＜1，
故其解集为﹣ a≤x＜1，
∴﹣ a＜1，即 a＞﹣ 1，
∴a 的取值范围是 a＞﹣
1．故答案为： a＞﹣ 1．
【评论】考察了不等式组的解集，求不等式组的公共解，要依照以下原那么：同
大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
本题是不等式组的解集，求不等式中另一未知数的问题．能够先将另一未知数看作数办理，求出不等式组的解集并与解集比较，从而求得另一个未知数的取值范围．
28．〔2021 春 ?太原月考〕如图A、B、C、D 四人在公园玩跷跷板，依据图中的情
况，这四人体重从小到大摆列的次序为B＜A＜D＜C．
【剖析】先由第一幅图可得 A＜D，第二幅图可得 B+D＜ A+C，第三幅图可得
B+C=A+D，再依据等式与不等式的性质即可求解．
【解答】解：由题意可得 A＜D，B+D＜ A+C，B+C=A+D．
∵B+C=A+D，∴C=A+D﹣B，
代入 B+D＜A+C中，得 B+D＜A+A+D﹣B，
∴B＜A，B﹣A＜0，
∵A＜D，
∴B＜A＜D．
∵B+C=A+D，
∴D﹣ C=B﹣A＜0，
∴D＜C，
∴B＜A＜D＜C．
故答案为 B＜A＜D＜C．
【评论】本题考察了不等式与等式性质的应用．解题的重点是采纳代入法解不等
式，并能使用一致的不等号进行连结，本题对式子的变形能力要求比较高，有必定难度．
29．〔 2021?漳州〕在一次数学知识比赛中，比赛题共30 题．规定：答对一道题得 4 分，不答或答错一道题倒扣 2 分，得分不低于 60 分者得奖．得奖者起码应答对 20 道题．
【剖析】答对题所得的分减去不答或答错题所扣的分数应＞等于60 分，列出不等式进行求解即可．
【解答】解：设得奖者起码应答对x 道题，那么答错或不答的题为30﹣ x 道，依题意得：
4x﹣ 2〔30﹣x〕≥ 60
解得： x≥20
即得奖者起码应答对20 道题．
【评论】解决问题的重点是读懂题意，依题意列出不等式进行求解．
30．〔 1997?山东〕假定对于 x 的不等式的解集为x＜2，那么k的取值范
围是k≤﹣ 2．
【剖析】先化简不等式组，而后利用同小取小的原那么可判断﹣ k≥ 2，即可求出 k ≤﹣ 2，注意不要遗漏相等时的关系．
【解答】解：化简对于 x 的不等式
为
因为不等式组的解集为x＜ 2，
所以﹣ k≥2，即 k≤﹣ 2．
故填 k≤﹣ 2．
【评论】主要考察了一元一次不等式解集求不等式中的字母的值，相同也是
利用口诀求解，可是要注意当两数相等时，解集也是 x＜2，不要遗漏相等这个关系．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找
不到．
三．解答题〔共10 小题〕
31．〔 2021?安徽模拟〕甲，乙两位同学在解方程组时，甲正确地解得
方程组的解为．乙因粗心，错误地将方程中系数 C 写错了，获取的解为；假定乙没有再发生其余错误，试确立a，b，c 的值．
【剖析】所谓“方程组〞的解，指的是该数值知足方程组中的每一方程的值，依据
题意可得，解方程组可得原方程组中a、b、c 的值．
【解答】解：把代入到原方程中，得可求得c=2，
乙因抄了 c 而求得，但它还是方程ax+by=1的解，
所以把代入到 ax+by=1 中得 2a b=1，．
把 2a b=1 与 a+b=1 成一个二元一次方程，
解得，
所以 a=2， b=3， c=2．
【点】此主要考了二元一次方程解的定以及解二元一次方程的根本方法．
32．〔 2021?中山市校模〕解方程．
【剖析】利用代入消元法将y=x+1 代入第②个方程求出即可．
【解答】解：，
将①代入②得：
x2〔 x+1〕2= 5，
解得： x=2，
y=2+1=3，
故方程的解：．
【点】此主要考了二元二次方程的解法，利用代入消元的法得出是解关．
33．〔2021?中山市模〕参加一次球的每两之都行两次比，共要比 30 ，共有多少个参加比？
【剖析】共有 x 个参加比，依据参加一次球的每两之都行两
次比，共要比30 ，可列方程求解．
【解答】解：共有 x 个参加比．⋯〔 1 分〕
由意得， x〔 x 1〕 =30．⋯〔3 分〕
解得， x1=6，x2= 5．⋯〔4 分〕
， x1=6 切合意， x2= 5 不切合意舍去．
∴ x1=6．⋯〔5 分〕
答：共有 6 个参加比．⋯〔6 分〕
【点】本考理解意的能力，有x 个，每个都要参加〔 x 1〕，
依据数可列方程求解．
34．〔2004?茂名〕甲、乙两班同学同从学校沿一路走向离学校S 千米的
地参加．甲班有一半行程以V1千米 / 小的速度行走，另一半行程以 V2千米/小的速度行走；乙班有一半以 V1千米 / 小的速度行走，另一半以
V2千米 / 小的速度行走．甲、乙两班同学走到基地的分 t 1小、 t 2小．
（1〕用含 S、 V1、V2的代数式表示 t 1和 t2；
（2〕你判断甲、乙两班哪一个的同学先抵达基地并明原因．
【剖析】〔1〕本的等量关系是行程=速度× ．依据甲到基地的=甲在一半行程内以速度V1行的 +甲在另一半行程内以速度V2行的．来列出对于对于 t 1的代数式．依据乙以速度 V1行一半走的行程 +乙以
速度 V2行另一半走的行程=行程 S，来求出对于 t2的代数式；
〔 2〕可将表示 t 1和 t2的式子相减，依照分式的加减法行归并化后，看看当
V1， V2在不一样的条件下， t1和 t 2大小即可．
【解答】解：〔1〕由，得：=t1
=s
解得：
；
〔 2〕∵ t1 t2=。