吉林大学2009级计算机学院《离散数学II》试题（A）

吉林大学2009级计算机学院《离散数学II》试题（A）
一、简答题（共20小题，每小题2分，共40分，不必证明，直接给出答案即可）
1. 设S={a,b,c,d}，定义ρ(S)上的二元运算“－”，使对于任意A 、
B ∈ρ(S)，A －B={x|x ∈A 且x ?B}，问：该运算满足消去律吗？ρ(S)上存在幂等元吗？
2. 所有的4元群都同构吗？所有的7元群都同构吗？
3. 整区中是否存在零因子？整区中所有非零元素的乘法周期都相等吗？
4. 设循环群G=(a)，|G|=24，则G 中是否存在周期为5的元素？是否存在8元子群？
5. 设a ∈GF(27)且a ≠0，求6a 和a 26。

6. 在R 13求42
4-。

7. 设（G ，·）是群，请给出满足方程a ·b ·x ·c =1的解x ，其中：1是G 的单位元，a 、b 、c ∈G 。

8. 设G={e,a,b,c,d,f,g},（G ，·）是群，e 是G 的单位元，计算
a ·
b ·
c ·
d ·f ·g 等于多少？
9. 设循环群G=(a)，H 是G 子群，则H 是正规子群吗？
10. 写出模12剩余环的一个极大理想。

11. 域F 上的非0多项式f(x)有k （k 为非负整数）重根，则f(x)一定可约吗？
12. 给出多项式x 5+5x 4+2x 3+3x+1的一个有理根。

13. 在R 2上给出两个多项式f(x)和g(x)，满足f(x)≡g(x)但f(x)≠g(x)。

14. 在R 0上，多项式6x 5+14x 4+7x 3+21x 2-35x+7是否是质式？
15. 求分圆多项式之积：Φ1(x)Φ2(x)Φ3(x)Φ6(x)。

16. q 元有限域中的非零元素一定都是多项式x q-1-1的根吗？
17. 设(L ，≤)是一个半序格，与其等价的代数格为(L,×,⊕)，设S ? L 。

若（S ，≤）是（L ，≤）的半序子格，则(S,×,⊕)一定是(L, ×, ⊕)的代数子格吗？
18. 设（L ，≤）是一个半序格，其对应的代数格为（L ，×，⊕），则一定有a×b=a
吗？
19.有余格一定是有界格吗？
20.设S={a,b,c,d}，请给出集合代数（ρ（S），∩，∪，ˉ，φ，S）的基底。

二、计算题（共3小题，共30分）
1、（10分）S3是3次对称群，则
（1）写出S3所有的偶置换；
（2）写出由对换(2 3)生成的子群H；
（3）写出H的所有左陪集和右陪集。

2、（10分）在R7上，用长除法求3x2+2除3x4+5x3+6x2-5x+2的商式和余式。

（要求
有运算过程）
3、（10分）在构造9元有限域GF(9)的过程中，请回答如下问题：
（1）写出GF(9)的所有子域；
（2）求Φ8(x)，并将其写成R3[x]中的质因式乘积；
（3）写出GF(9)的所有元素。

(不写运算表)
三、证明题（共3小题，共30分）
1、（8分）设循环群G=(a)，|G|=6，（Z，+）为整数加法群，令σ是Z到G内映射
σ（n）= a n，n∈Z。

（1）证明：σ是同态映射，且是满射。

（2）设N是σ的同态核，求商群Z/N。

2、（10分）设A是整数集合Z到Z上的所有映射的集合，即A={σ|y=σ(x), x、y∈Z}，
定义A上两种二元运算如下：对于任意的σ、τ∈A，
(σ⊕τ)(x)= σ(x)+τ(x)
(σ⊙τ)(x)= σ(τ(x))
其中，“+”为整数加法。

证明：（1）（A，⊕）是阿贝尔群；
（2）证明或反驳（A，⊕，⊙）是环。

3、（12分）设G是群，G存在非平凡子群，设H是G中所有非平凡子群的交集且
H≠{1}，1是群G的单位元，证明：
（1）H是G的子群；
（2）H中每个元素的周期都有限；
（3）H是一个循环群，且|H|为质数。