高中数学第13章概率13.2概率及其计算13.2.2几何概率湘教湘教高二数学
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12/9/2021
第二十一页，共三十九页。
(2)设 E(0，1)、F(1，0)，则 x＋y＝1 的图象 是 EF 所在的直线，满足 x＋y＜1 的点在直 线 EF 的左下方，即在五边形 ABCFE 内(不 含边界 EF)，如图所示 而 S 五边形 ABCFE＝S 四边形 ABCD－S△EDF ＝4－12＝72，
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第十八页，共三十九页。
2.某人从甲地去乙地共走了 500 米，途经一 条宽为 x 米的河流，他不小心把一件物品丢到途中，如果 物品掉到河里就找不到，若物品不掉到河里，则能找到，
已知该物品被找到的概率是45，则河宽为( )
A．80 米
B．100 米
C．40 米
D．50 米
解析：选 B.该物品能够被找到的路径长为(500－x)米，由
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第十五页，共三十九页。
与长度有关的几何概率 国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话， 发现 30 min 长的磁带上，从开始 30 s 处起，有 10 s 长的一 段内容包含两间谍犯罪的信息．后来发现，这段谈话的一 部分被某工作人员擦掉了，该工作人员声称他完全是无意 中按错了键，使从此处起往后的所有内容都被擦掉了．那 么由于按错了键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉 的概率有多大？
第二十三页，共三十九页。
把满足不等式的点的集合在直角坐标平面上找出来，然后 运用几何概率的计算公式．
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第二十四页，共三十九页。
3.街道旁边有一游戏：在铺有边长为 9 cm 的 正方形塑料板的宽广地面上，掷一枚半径为 1 cm 的小圆板， 规则如下：每掷一次交 5 角钱，若小圆板压在边上，可免 费重掷一次；若小圆板全部落在正方形内可再交 5 角，再 掷一次；若小圆板压在塑料板的顶点上，可获得 1 元钱．试 问： (1)小圆板压在塑料板的边上的概率是多少？ (2)小圆板压在塑料板顶点上的概率是多少？
7 所以 P(x＋y＜1)＝SS五四边边形形AABBCCFDE＝24＝78.
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第二十二页，共三十九页。
(3)满足 x2＋y2＝1 的点是以原点为圆心的单位圆 O，S⊙O＝π， 满足题意的点如图．
所以 P(x2＋y2≥1)＝S正方S形正A方B形CADB－CDS⊙O＝4－4 π.
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第13章 概 率
13．2.2 几何概率
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第一页，共三十九页。
第13章 概 率
1.通过实例体会几何概型的含义，会区分古典概型和 几何概型． 2．掌握几何概型的概率计算公式，会求一些事件的概率．
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第二页，共三十九页。
1．几何概率定义 1 设试验的全集 Ω 是长度为正数的区间，A 是 Ω 的子区间， 如果试验的结果随机地落在 Ω 中，则称
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第二十八页，共三十九页。
另外要特别注意： 几何概率的试验中，事件 A 的概率 P(A)只与子区域 A 的几 何度量(长度、面积)成正比，而与 A 的位置和形状无关．求 试验的几何概率，关键是求得事件所占区域和整个区域 Ω 的几何度量，然后代入公式即可求解．
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几何概型知，45＝50500－0 x，解得 x＝100，故选 B.
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与面积有关的几何概率 设点 M(x，y)在|x|≤1，|y|≤1 时按均匀分布出现， 试求满足： (1)x＋y≥0 的概率；(2)x＋y＜1 的概率；(3)x2＋y2≥1 的概 率．
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第六页，共三十九页。
(4)几何概型中每个基本事件出现的可能性相等，而古典概 型中每个基本事件出现的可能性不相等．( × ) (5)几何概型的概率计算与构成事件的区域形状有关．( × )
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第七页，共三十九页。
2．在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 M，并以线段 AM
(1)适当选择观察角度，注意区分几何量是长度还是角度或 是面积． (2)几何概率，事件 A 发生在总区域内也是均匀的，即是等 可能的．
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第三十页，共三十九页。
1．面积为 S 的△ABC 中，D 是 BC 的中点，向△ABC 内部
投一点，那么点落在△ABD 内的概率为( )
A.12
为边作正方形，则这个正方形的面积介于 36 cm2 与 81 cm2
之间的概率为( )
A.14
B．13
C.12
D．16
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解析：选 A.因为正方形面积介于 36 cm2 与 81 cm2 之间， 所以正方形的边长应在 6 cm 与 9 cm 之间． 所以 M 应落在如图所示的区域内，
间为 5 秒，绿灯亮的时间为 45 秒．当你到达路口时，恰好
看到黄灯亮的概率是( )
A.112
B．38
C.116
D．56
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第三十三页，共三十九页。
解析：选 C.到达路口看到红灯或黄灯或绿灯亮是一次试验， 则该试验的结果有无限个，属于几何概型．设看到黄灯亮 为事件 A，构成事件 A 的测度是 5，试验的全部结果构成的 区域测度是 30＋5＋45＝80，则 P(A)＝850＝116.
故其概率 P＝132＝14.
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第九页，共三十九页。
3.如图，转盘上有 8 个面积相等的扇形，
转动转盘，则转盘停止转动时，指针落在
阴影部分的概率为( )
A.18
B．14
C.38
D．12
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第十页，共三十九页。
解析：选 D.转盘停在任何一个位置是等可能的，因为阴影 部分对应的扇形面积(或弧长)之和是整个圆的面积(或周长) 的12，所以所求概率 P＝12.
④向一个边长为 4 cm 的正方形 ABCD 内投一点 P，求点 P
离中心不超过 1 cm 的概率．
A．1
B．2
C．3 12/9/2021
D．4
第十二页，共三十九页。
【解析】 ①不是几何概率，虽然区间[－10，10]内有无限
多个点，但取到“1”只是一个数字，不能构成区域长度； ②是几何概率，因为区间[－10，10]和[－1，1]上有无限多 个数可取(满足无限性)，且在这两个区间内每个数被取到的 机会是相等的(满足等可能性)； ③不是几何概率，因为区间[－10，10]上的整数只有 21 个(是 有限的)，不满足无限性特征；
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第三十四页，共三十九页。
3.如图，在平面直角坐标系内，射线 OT 落在 60°角的终边上，任作一条射线 OA，则射线 OA 落在∠xOT 内的概率为________． 解析：记“射线 OA 落在∠xOT 内”为事件 A.构成事件 A 的区域测度是 60°，所有基本事件对应的区域测度是 360°， 所以由几何概型的概率公式得 P(A)＝36600°°＝16. 答案：16
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第十一页，共三十九页。
几何概率的判断
下列概率模型中，几何概率的个数为( )
①从区间[－10，10]内任取出一个数，求取到 1 的概率；
②从区间[－10，10]内任取出一个数，求取到绝对值不大于
1 的数的概率；
③从区间[－10，10]内任取出一个整数，求取到大于 1 而小
于 2 的数的概率；
第二十页，共三十九页。
【解】 满足|x|≤1，|y|≤1 的点组成一个 边长为 2 的正方形 ABCD，则 S 正方形 ABCD ＝4. (1)方程 x＋y＝0 的图象是直线 AC，满足 x ＋y≥0 的点在 AC 的右上方，即在△ACD 内(含边界)，而 S△ACD＝12S 正方形 ABCD＝2， 所以 P(x＋y≥0)＝24＝12.
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第十六页，共三十九页。
【解】 根据题意，含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦 掉就是在 40 秒以前按错了键，在 40 秒后按错了键不会被 擦掉，所以概率为 P＝3300＋ ×1600＝415.
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第十七页，共三十九页。
与长度有关的几何概率问题，要把握好全集所代表的区域 长度以及子区域所代表的区域长度，当子区域被赋予 了一定条件后可能变得较为复杂，因此，要时刻依据条件 确定区域长度．
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第十三页，共三十九页。
④是几何概率，因为在边长为 4 cm 的正方形和半径为 1 cm 的圆内均有无数多个点，且这两个区域内的任何一个点都 有可能被投到，故满足无限性和等可能性． 【答案】 B
根据几何概率的定义即可判断．
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第十四页，共三十九页。
1.判断下列试验是否为几何概率？并说明理 由． (1)在某月某日，求某个市区降雨的概率； (2)设 A 为圆上一定点，在圆周上等可能地任取一点与 A 连 接，求弦长超过半径的概率． 解：(1)不是几何概率，因为其不具有等可能性； (2)是几何概率，因为其具有无限性与等可能性，符合几何 概率的特征．
A的长度 P(A)＝_Ω__的__长__度____为事件 A 发生的概率，简称 A 的概率．
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第三页，共三十九页。
2．几何概率定义 2 设试验的全集 Ω 是面积为正数的区域，A 是 Ω 的子区域，
A的面积 如果试验的结果随机地落在 Ω 中，则称 P(A)＝_Ω__的__面__积____ 为事件 A 发生的概率，简称 A 的概率．
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第二十七页，共三十九页。
1．在求解与长度有关的几何概率时，首先找到几何区域 D， 这时区域 D 可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找 到事件 A 发生所对应的区域 d，在找 d 的过程中，确定边界 点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件 A 的概 率． 2．当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，常以 角度的大小作为区域度量来计算概率．
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第四页，共三十九页。
3．几何概率的性质 (1)0≤P(A)≤1(概率总是[0，1]中的数)． (2)P(Ω)＝1(必然事件的概率是 1)． (3)P(∅)＝0(不可能事件的概率为 0)． (4)如果 A，B 互斥，则 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． (5)P(A)＋P(Ω\A)＝1(对立事件概率之和等于 1)．
B．13
C.14
D．16
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第三十一页，共三十九页。
解析：选 A.向△ABC 内部投一点的结果有无限个，属于几 何 概 型 ． 设 点 落 在 △ABD 内 为 事 件 M ， 则 P(M) ＝ △△AABBDC的的面面积积＝12.
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第三十二页，共三十九页。
2．一个红绿灯路口，红灯亮的时间为 30 秒，黄灯亮的时
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第五页，共三十九页。
1．判断正误．(对的打“√”，错的打“×”) (1)几何概型中基本事件有有限个，而古典概型中基本事件 有无限个．( × ) (2)几何概型中基本事件有无限个，而古典概型中基本事件 有有限个．( √ ) (3)几何概型中每个基本事件出现的可能性不相等，而古典 概型中每个基本事件出现的可能性相等．( × )
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4．判断下列试验中事件发生的概率是古典概率还是几何概 率．
(1)先后抛掷两枚质地均匀的骰子，求出现两个“4 点”的概 率； (2)如图所示，图中有一个转盘，甲、乙玩转盘游戏，规定 当指针指向 B 区域时，甲获胜，否则乙获胜，求甲获胜的 概率． 12/9/2021
12/9பைடு நூலகம்2021
第二十五页，共三十九页。
解：(1)如图①所示，因为小圆板 O 落在 正方形 ABCD 内任何位置是等可能的， 小圆板与正方形 ABCD 的边相交是在小 圆板的中心 O 到与它靠近的边的距离不 超过 1 cm 时，所以 O 落在图①中的阴影部分时，小圆板就 能与塑料板的边相交．因此，试验全部结果构成的区域是 边长为 9 cm 的正方形，设事件 A 为“小圆板压在塑料板边 上”．S 正方形＝9×9＝81(cm2)，S 阴影＝9×9－7×7＝32(cm2)． 故所求概率 P(A)＝3821.
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第二十六页，共三十九页。
(2)小圆板与正方形的顶点相交是在小圆 板的中心 O 到正方形 ABCD 的顶点的距 离不超过小圆板的半径 1 cm 时，如图② 所示的阴影部分．设事件 B 为“小圆板压 在 塑 料 板 顶 点 上 ” ． S 正 方 形 ＝ 9×9 ＝ 81(cm2)，S 阴影＝π×12＝π(cm2)，故所求的概率 P(B)＝8π1.
第二十一页，共三十九页。
(2)设 E(0，1)、F(1，0)，则 x＋y＝1 的图象 是 EF 所在的直线，满足 x＋y＜1 的点在直 线 EF 的左下方，即在五边形 ABCFE 内(不 含边界 EF)，如图所示 而 S 五边形 ABCFE＝S 四边形 ABCD－S△EDF ＝4－12＝72，
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2.某人从甲地去乙地共走了 500 米，途经一 条宽为 x 米的河流，他不小心把一件物品丢到途中，如果 物品掉到河里就找不到，若物品不掉到河里，则能找到，
已知该物品被找到的概率是45，则河宽为( )
A．80 米
B．100 米
C．40 米
D．50 米
解析：选 B.该物品能够被找到的路径长为(500－x)米，由
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第十五页，共三十九页。
与长度有关的几何概率 国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话， 发现 30 min 长的磁带上，从开始 30 s 处起，有 10 s 长的一 段内容包含两间谍犯罪的信息．后来发现，这段谈话的一 部分被某工作人员擦掉了，该工作人员声称他完全是无意 中按错了键，使从此处起往后的所有内容都被擦掉了．那 么由于按错了键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉 的概率有多大？
第二十三页，共三十九页。
把满足不等式的点的集合在直角坐标平面上找出来，然后 运用几何概率的计算公式．
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第二十四页，共三十九页。
3.街道旁边有一游戏：在铺有边长为 9 cm 的 正方形塑料板的宽广地面上，掷一枚半径为 1 cm 的小圆板， 规则如下：每掷一次交 5 角钱，若小圆板压在边上，可免 费重掷一次；若小圆板全部落在正方形内可再交 5 角，再 掷一次；若小圆板压在塑料板的顶点上，可获得 1 元钱．试 问： (1)小圆板压在塑料板的边上的概率是多少？ (2)小圆板压在塑料板顶点上的概率是多少？
7 所以 P(x＋y＜1)＝SS五四边边形形AABBCCFDE＝24＝78.
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第二十二页，共三十九页。
(3)满足 x2＋y2＝1 的点是以原点为圆心的单位圆 O，S⊙O＝π， 满足题意的点如图．
所以 P(x2＋y2≥1)＝S正方S形正A方B形CADB－CDS⊙O＝4－4 π.
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第13章 概 率
13．2.2 几何概率
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第13章 概 率
1.通过实例体会几何概型的含义，会区分古典概型和 几何概型． 2．掌握几何概型的概率计算公式，会求一些事件的概率．
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第二页，共三十九页。
1．几何概率定义 1 设试验的全集 Ω 是长度为正数的区间，A 是 Ω 的子区间， 如果试验的结果随机地落在 Ω 中，则称
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第二十八页，共三十九页。
另外要特别注意： 几何概率的试验中，事件 A 的概率 P(A)只与子区域 A 的几 何度量(长度、面积)成正比，而与 A 的位置和形状无关．求 试验的几何概率，关键是求得事件所占区域和整个区域 Ω 的几何度量，然后代入公式即可求解．
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几何概型知，45＝50500－0 x，解得 x＝100，故选 B.
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第十九页，共三十九页。
与面积有关的几何概率 设点 M(x，y)在|x|≤1，|y|≤1 时按均匀分布出现， 试求满足： (1)x＋y≥0 的概率；(2)x＋y＜1 的概率；(3)x2＋y2≥1 的概 率．
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(4)几何概型中每个基本事件出现的可能性相等，而古典概 型中每个基本事件出现的可能性不相等．( × ) (5)几何概型的概率计算与构成事件的区域形状有关．( × )
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2．在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 M，并以线段 AM
(1)适当选择观察角度，注意区分几何量是长度还是角度或 是面积． (2)几何概率，事件 A 发生在总区域内也是均匀的，即是等 可能的．
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1．面积为 S 的△ABC 中，D 是 BC 的中点，向△ABC 内部
投一点，那么点落在△ABD 内的概率为( )
A.12
为边作正方形，则这个正方形的面积介于 36 cm2 与 81 cm2
之间的概率为( )
A.14
B．13
C.12
D．16
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解析：选 A.因为正方形面积介于 36 cm2 与 81 cm2 之间， 所以正方形的边长应在 6 cm 与 9 cm 之间． 所以 M 应落在如图所示的区域内，
间为 5 秒，绿灯亮的时间为 45 秒．当你到达路口时，恰好
看到黄灯亮的概率是( )
A.112
B．38
C.116
D．56
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解析：选 C.到达路口看到红灯或黄灯或绿灯亮是一次试验， 则该试验的结果有无限个，属于几何概型．设看到黄灯亮 为事件 A，构成事件 A 的测度是 5，试验的全部结果构成的 区域测度是 30＋5＋45＝80，则 P(A)＝850＝116.
故其概率 P＝132＝14.
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3.如图，转盘上有 8 个面积相等的扇形，
转动转盘，则转盘停止转动时，指针落在
阴影部分的概率为( )
A.18
B．14
C.38
D．12
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解析：选 D.转盘停在任何一个位置是等可能的，因为阴影 部分对应的扇形面积(或弧长)之和是整个圆的面积(或周长) 的12，所以所求概率 P＝12.
④向一个边长为 4 cm 的正方形 ABCD 内投一点 P，求点 P
离中心不超过 1 cm 的概率．
A．1
B．2
C．3 12/9/2021
D．4
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【解析】 ①不是几何概率，虽然区间[－10，10]内有无限
多个点，但取到“1”只是一个数字，不能构成区域长度； ②是几何概率，因为区间[－10，10]和[－1，1]上有无限多 个数可取(满足无限性)，且在这两个区间内每个数被取到的 机会是相等的(满足等可能性)； ③不是几何概率，因为区间[－10，10]上的整数只有 21 个(是 有限的)，不满足无限性特征；
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第三十四页，共三十九页。
3.如图，在平面直角坐标系内，射线 OT 落在 60°角的终边上，任作一条射线 OA，则射线 OA 落在∠xOT 内的概率为________． 解析：记“射线 OA 落在∠xOT 内”为事件 A.构成事件 A 的区域测度是 60°，所有基本事件对应的区域测度是 360°， 所以由几何概型的概率公式得 P(A)＝36600°°＝16. 答案：16
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几何概率的判断
下列概率模型中，几何概率的个数为( )
①从区间[－10，10]内任取出一个数，求取到 1 的概率；
②从区间[－10，10]内任取出一个数，求取到绝对值不大于
1 的数的概率；
③从区间[－10，10]内任取出一个整数，求取到大于 1 而小
于 2 的数的概率；
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【解】 满足|x|≤1，|y|≤1 的点组成一个 边长为 2 的正方形 ABCD，则 S 正方形 ABCD ＝4. (1)方程 x＋y＝0 的图象是直线 AC，满足 x ＋y≥0 的点在 AC 的右上方，即在△ACD 内(含边界)，而 S△ACD＝12S 正方形 ABCD＝2， 所以 P(x＋y≥0)＝24＝12.
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【解】 根据题意，含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦 掉就是在 40 秒以前按错了键，在 40 秒后按错了键不会被 擦掉，所以概率为 P＝3300＋ ×1600＝415.
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第十七页，共三十九页。
与长度有关的几何概率问题，要把握好全集所代表的区域 长度以及子区域所代表的区域长度，当子区域被赋予 了一定条件后可能变得较为复杂，因此，要时刻依据条件 确定区域长度．
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第十三页，共三十九页。
④是几何概率，因为在边长为 4 cm 的正方形和半径为 1 cm 的圆内均有无数多个点，且这两个区域内的任何一个点都 有可能被投到，故满足无限性和等可能性． 【答案】 B
根据几何概率的定义即可判断．
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1.判断下列试验是否为几何概率？并说明理 由． (1)在某月某日，求某个市区降雨的概率； (2)设 A 为圆上一定点，在圆周上等可能地任取一点与 A 连 接，求弦长超过半径的概率． 解：(1)不是几何概率，因为其不具有等可能性； (2)是几何概率，因为其具有无限性与等可能性，符合几何 概率的特征．
A的长度 P(A)＝_Ω__的__长__度____为事件 A 发生的概率，简称 A 的概率．
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2．几何概率定义 2 设试验的全集 Ω 是面积为正数的区域，A 是 Ω 的子区域，
A的面积 如果试验的结果随机地落在 Ω 中，则称 P(A)＝_Ω__的__面__积____ 为事件 A 发生的概率，简称 A 的概率．
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1．在求解与长度有关的几何概率时，首先找到几何区域 D， 这时区域 D 可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找 到事件 A 发生所对应的区域 d，在找 d 的过程中，确定边界 点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件 A 的概 率． 2．当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，常以 角度的大小作为区域度量来计算概率．
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3．几何概率的性质 (1)0≤P(A)≤1(概率总是[0，1]中的数)． (2)P(Ω)＝1(必然事件的概率是 1)． (3)P(∅)＝0(不可能事件的概率为 0)． (4)如果 A，B 互斥，则 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． (5)P(A)＋P(Ω\A)＝1(对立事件概率之和等于 1)．
B．13
C.14
D．16
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第三十一页，共三十九页。
解析：选 A.向△ABC 内部投一点的结果有无限个，属于几 何 概 型 ． 设 点 落 在 △ABD 内 为 事 件 M ， 则 P(M) ＝ △△AABBDC的的面面积积＝12.
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2．一个红绿灯路口，红灯亮的时间为 30 秒，黄灯亮的时
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1．判断正误．(对的打“√”，错的打“×”) (1)几何概型中基本事件有有限个，而古典概型中基本事件 有无限个．( × ) (2)几何概型中基本事件有无限个，而古典概型中基本事件 有有限个．( √ ) (3)几何概型中每个基本事件出现的可能性不相等，而古典 概型中每个基本事件出现的可能性相等．( × )
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4．判断下列试验中事件发生的概率是古典概率还是几何概 率．
(1)先后抛掷两枚质地均匀的骰子，求出现两个“4 点”的概 率； (2)如图所示，图中有一个转盘，甲、乙玩转盘游戏，规定 当指针指向 B 区域时，甲获胜，否则乙获胜，求甲获胜的 概率． 12/9/2021
12/9பைடு நூலகம்2021
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解：(1)如图①所示，因为小圆板 O 落在 正方形 ABCD 内任何位置是等可能的， 小圆板与正方形 ABCD 的边相交是在小 圆板的中心 O 到与它靠近的边的距离不 超过 1 cm 时，所以 O 落在图①中的阴影部分时，小圆板就 能与塑料板的边相交．因此，试验全部结果构成的区域是 边长为 9 cm 的正方形，设事件 A 为“小圆板压在塑料板边 上”．S 正方形＝9×9＝81(cm2)，S 阴影＝9×9－7×7＝32(cm2)． 故所求概率 P(A)＝3821.
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(2)小圆板与正方形的顶点相交是在小圆 板的中心 O 到正方形 ABCD 的顶点的距 离不超过小圆板的半径 1 cm 时，如图② 所示的阴影部分．设事件 B 为“小圆板压 在 塑 料 板 顶 点 上 ” ． S 正 方 形 ＝ 9×9 ＝ 81(cm2)，S 阴影＝π×12＝π(cm2)，故所求的概率 P(B)＝8π1.