定南县第二中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

定南县第二中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 在三棱柱111ABC A B C -中，已知1AA ⊥平面1=22
ABC AA BC BAC π
=∠=，，,此三棱
柱各个顶点都在一个球面上，则球的体积为（ ） A ．
323π B ．16π C.253π D ．312
π
2． 下列结论正确的是（ ）
A ．若直线l ∥平面α，直线l ∥平面β，则α∥β．
B ．若直线l ⊥平面α，直线l ⊥平面β，则α∥β．
C ．若直线l 1，l 2与平面α所成的角相等，则l 1∥l 2
D ．若直线l 上两个不同的点A ，B 到平面α的距离相等，则l ∥α
3． 已知集合
，则
A0或 B0或3
C1或
D1或3
4． 阅读如下所示的程序框图，若运行相应的程序，则输出的S 的值是（ ）
A ．39
B ．21
C ．81
D ．102
5．有以下四个命题：
①若=，则x=y．
②若lgx有意义，则x＞0．
③若x=y，则=．
④若x＞y，则x2＜y2．
则是真命题的序号为（）
A．①②B．①③C．②③D．③④
6．（2015秋新乡校级期中）已知x+x﹣1=3，则x2+x﹣2等于（）
A．7 B．9 C．11 D．13
7．由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为（）
A
B1
C
D
8．执行如图所示的程序框图，如果输入的t＝10，则输出的i＝（）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7 9． 满足集合M ⊆{1，2，3，4}，且M ∩{1，2，4}={1，4}的集合M 的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10．如图，棱长为的正方体1111D ABC A B C D -中，,E F 是侧面对角线11,BC AD 上一点，若 1BED F 是菱形，则其在底面ABCD 上投影的四边形面积（ ）
A ．
12 B ．34 C. D 11．已知某市两次数学测试的成绩ξ1和ξ2分别服从正态分布ξ1：N 1（90，86）和ξ2：N 2（93，79），则以下结论正确的是（ ）
A ．第一次测试的平均分比第二次测试的平均分要高，也比第二次成绩稳定
B ．第一次测试的平均分比第二次测试的平均分要高，但不如第二次成绩稳定
C ．第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高，也比第一次成绩稳定
D ．第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高，但不如第一次成绩稳定
12．已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，3}，B={0，1，4}，则（∁U A ）∪B 为（ ） A ．{0，1，2，4} B ．{0，1，3，4} C ．{2，4} D ．{4}
二、填空题
13．已知直线：043=++m y x （0>m ）被圆C ：06222
2
=--++y x y x 所截的弦长是圆心C 到直线的距离的2倍，则=m .
14．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中①BM 与ED 平行；②CN 与BE 是异面直线； ③CN 与BM 成60︒角；④DM 与BN 是异面直线．
以上四个命题中，正确命题的序号是 （写出所有你认为正确的命题）．
15．已知圆C 的方程为2
2
230x y y +--=，过点()1,2P -的直线与圆C 交于,A B 两点，若使AB
最小则直线的方程是 ．
16．若函数f （x ）=
，则f （7）+f （log 36）= ．
17．一个总体分为A ，B ，C 三层，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为15的样本，若B 层中每个个体被
抽到的概率都为
，则总体的个数为 ．
18．命题“若a ＞0，b ＞0，则ab ＞0”的逆否命题是 （填“真命题”或“假命题”．）
三、解答题
19．已知等差数列{a n }满足a 1+a 2=3，a 4﹣a 3=1．设等比数列{b n }且b 2=a 4，b 3=a 8 （Ⅰ）求数列{a n }，{b n }的通项公式；
（Ⅱ）设c n =a n +b n ，求数列{c n }前n 项的和S n ．
20．（本小题满分13分）
如图，已知椭圆2
2:14
x C y +=的上、下顶点分别为,A B ，点P 在椭圆上，且异于点,A B ，直线,AP BP 与直线:2l y =-分别交于点,M N ，
（1）设直线,AP BP 的斜率分别为12,k k ，求证：12k k ⋅为定值； （2）求线段MN 的长的最小值；
（3）当点P 运动时，以MN 为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论．
【命题意图】本题主要考查椭圆的标准方程及性质、直线与椭圆的位置关系，考查考生运算求解能力，分析问题与解决问题的能力，是中档题.
21．在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE的中点．
（Ⅰ）求证：DE∥平面ACF；
（Ⅱ）求证：BD⊥AE．
22．将射线y=x（x≥0）绕着原点逆时针旋转后所得的射线经过点A=（cosθ，sinθ）．
（Ⅰ）求点A的坐标；
（Ⅱ）若向量=（sin2x，2cosθ），=（3sinθ，2cos2x），求函数f（x）=•，x∈[0，]的值域．
23．函数f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，函数的解析式为f（x）=﹣1．
（1）用定义证明f（x）在（0，+∞）上是减函数；
（2）求函数f（x）的解析式．
24．（本小题满分12分）
成都市某中学计划举办“国学”经典知识讲座.由于条件限制，按男、女生比例采取分层抽样的方法，从
某班选出10人参加活动，在活动前，对所选的10名同学进行了国学素养测试，这10名同学的性别和测试
成绩（百分制）的茎叶图如图所示.
（1）根据这10名同学的测试成绩，分别估计该班男、女生国学素养测试的平均成绩；
（2）若从这10名同学中随机选取一男一女两名同学，求这两名同学的国学素养测试成绩均为优良的概率.（注：成绩大于等于75分为优良）
定南县第二中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题
1．【答案】A
【解析】
考点：组合体的结构特征；球的体积公式.
【方法点晴】本题主要考查了球的组合体的结构特征、球的体积的计算，其中解答中涉及到三棱柱的线面位置关系、直三棱柱的结构特征、球的性质和球的体积公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力和学生的空间想象能力，试题有一定的难度，属于中档试题.
2．【答案】B
【解析】解：A选项中，两个平面可以相交，l与交线平行即可，故不正确；
B选项中，垂直于同一平面的两个平面平行，正确；
C选项中，直线与直线相交、平行、异面都有可能，故不正确；
D中选项也可能相交．
故选：B．
【点评】本题考查平面与平面，直线与直线，直线与平面的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．
3． 【答案】B
【解析】
，
，故
或
，解得
或
或
，又根据集合元素的互异性
，所以
或。

4． 【答案】] 【解析】
试题分析：第一次循环：2,3==n S ；第二次循环：3,21==n S ；第三次循环：4,102==n S ．结束循环，输出102=S ．故选D. 1 考点：算法初步． 5． 【答案】A
【解析】解：①若=，则
，则x=y ，即①对；
②若lgx 有意义，则x ＞0，即②对；
③若x=y ＞0，则
=
，若x=y ＜0，则不成立，即③错；
④若x ＞y ＞0，则 x 2＞y 2，即④错． 故真命题的序号为①② 故选：A ．
6． 【答案】A
【解析】解：∵x+x ﹣1
=3，
则x 2+x ﹣2=（x+x ﹣1）2﹣2=32
﹣2=7．
故选：A ．
【点评】本题考查了乘法公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
7． 【答案】D
【解析】由定积分知识可得，故选D 。

8． 【答案】
【解析】解析：选B.程序运行次序为 第一次t ＝5，i ＝2； 第二次t ＝16，i ＝3；
第三次t ＝8，i ＝4；
第四次t ＝4，i ＝5，故输出的i ＝5. 9． 【答案】B
【解析】解：∵M ∩{1，2，4}={1，4}， ∴1，4是M 中的元素，2不是M 中的元素． ∵M ⊆{1，2，3，4}， ∴M={1，4}或M={1，3，4}． 故选：B ．
10．【答案】B 【解析】
试题分析：在棱长为的正方体1111D ABC A B C D -中，11BC AD ==AF x =x
解得x =
，即菱形1BED F =
，则1BED F 在底面ABCD 上的投影四边形是底边为34，高为的平行四边形，其面积为3
4
，故选B. 考点：平面图形的投影及其作法. 11．【答案】C
【解析】解：∵某市两次数学测试的成绩ξ1和ξ2分别服从正态分布ξ1：N 1（90，86）和ξ2：N 2（93，79）， ∴μ1=90，▱1=86，μ2=93，▱2=79，
∴第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高，也比第一次成绩稳定， 故选：C ．
【点评】本题考查正态分布曲线的特点，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．
12．【答案】A
【解析】解：∵U={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，3}， ∴C U A={2，4}， ∵B={0，1，4}， ∴（C U A ）∪B={0，1，2，4}．
故选：A ．
【点评】本题考查集合的交、交、补集的混合运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
二、填空题
13．【答案】9 【解析】
考点：直线与圆的位置关系
【方法点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，属于基础题型，涉及一些最值问题，当点在圆的外部时，圆上的点到定点距离的最小值是圆心到直线的距离减半径，当点在圆外，可做两条直线与圆相切，当点在圆上，可做一条直线与圆相切，当点在圆内，过定点做圆的弦时，过圆心即直径最长，当定点是弦的中点时，弦最短，并且弦长公式是222d R l -=，R 是圆的半径，d 是圆心到直线的距离. 14．【答案】③④ 【解析】
试题分析：把展开图复原成正方体，如图，由正方体的性质，可知：①BM 与ED 是异面直线，所以是错误的；②DN 与BE 是平行直线，所以是错误的；③从图中连接,AN AC ，由于几何体是正方体，所以三角形ANC 为等边三角形，所以,AN AC 所成的角为60︒，所以是正确的；④DM 与BN 是异面直线，所以是正确的．
考点：空间中直线与直线的位置关系． 15．【答案】30x y -+= 【解析】
试题分析：由圆C 的方程为2
2
230x y y +--=，表示圆心在(0,1)C ，半径为的圆，点()1,2P -到圆心的距
()1,2P -在圆内，所以当AB CP ⊥时，AB 最小，此时
11,1CP k k =-=，由点斜式方程可得，直线的方程为21y x -=+，即30x y -+=.
考点：直线与圆的位置关系的应用. 16．【答案】 5 ．
【解析】解：∵f（x）=，
∴f（7）=log39=2，
f（log36）=+1=，
∴f（7）+f（log36）=2+3=5．
故答案为：5．
17．【答案】300．
【解析】解：根据分层抽样的特征，每个个体被抽到的概率都相等，
所以总体中的个体的个数为15÷=300．
故答案为：300．
【点评】本题考查了样本容量与总体的关系以及抽样方法的应用问题，是基础题目．18．【答案】真命题
【解析】解：若a＞0，b＞0，则ab＞0成立，即原命题为真命题，
则命题的逆否命题也为真命题，
故答案为：真命题．
【点评】本题主要考查命题的真假判断，根据逆否命题的真假性相同是解决本题的关键．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，则由，可得，…
解得：，
∴由等差数列通项公式可知：a n=a1+（n﹣1）d=n，
∴数列{a n}的通项公式a n=n，
∴a4=4，a8=8
设等比数列{b n}的公比为q，则，
解得，
∴；
（2）∵…
∴，
=，
=
，
∴数列{c n }前n 项的和S n
=．
20．【答案】
【解析】（1）易知()()0,1,0,1A B -，设()00,P x y ，则由题设可知00x ≠ ，
∴ 直线AP 的斜率0101y k x -=
，BP 的斜率020
1
y k x +=，又点P 在椭圆上，所以 20014x y +=，()00x ≠，从而有2
00012200011114
y y y k k x x x -+-⋅===-.
（4分）
21．【答案】
【解析】
【分析】（Ⅰ）连接FO，则OF为△BDE的中位线，从而DE∥OF，由此能证明DE∥平面ACF．（Ⅱ）推导出BD⊥AC，EC⊥BD，从而BD⊥平面ACE，由此能证明BD⊥AE．
【解答】证明：（Ⅰ）连接FO，∵底面ABCD是正方形，且O为对角线AC和BD交点，
∴O为BD的中点，
又∵F为BE中点，
∴OF为△BDE的中位线，即DE∥OF，
又OF⊂平面ACF，DE⊄平面ACF，
∴DE∥平面ACF．
（Ⅱ）∵底面ABCD为正方形，∴BD⊥AC，
∵EC⊥平面ABCD，∴EC⊥BD，
∴BD⊥平面ACE，∴BD⊥AE．
22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）设射线y=x（x≥0）的倾斜角为α，则tanα=，α∈（0，）．
∴tanθ=tan（α+）==，
∴由解得，
∴点A的坐标为（，）．
（Ⅱ）f（x）=•=3sinθ•sin2x+2cosθ•2cos2x=sin2x+cos2x
=sin（2x+）
由x∈[0，]，可得2x+∈[，]，
∴sin（2x+）∈[﹣，1]，
∴函数f（x）的值域为[﹣，]．
【点评】本题考查三角函数、平面向量等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程的思想，属于中档题．
23．【答案】
【解析】（1）证明：设x2＞x1＞0，∵f（x1）﹣f（x2）=（﹣1）﹣（﹣1）=，
由题设可得x2﹣x1＞0，且x2•x1＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
故f（x）在（0，+∞）上是减函数．
（2）当x＜0时，﹣x＞0，f（﹣x）=﹣1=﹣f（x），∴f（x）=+1．
又f（0）=0，故函数f（x）的解析式为f（x）=．
24．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查茎叶图的制作与读取，古典概型的概率计算，是概率统计的基本题型，解答的关键是应用相关数据进行准确计算，是中档题.。