高中物理万有引力与航天试题类型及其解题技巧及解析

高中物理万有引力与航天试题类型及其解题技巧及解析
一、高中物理精讲专题测试万有引力与航天
1．2018年是中国航天里程碑式的高速发展年，是属于中国航天的“超级2018”．例如，我国将进行北斗组网卫星的高密度发射，全年发射18颗北斗三号卫星，为“一带一路”沿线及周边国家提供服务．北斗三号卫星导航系统由静止轨道卫星（同步卫星）、中轨道卫星和倾斜同步卫星组成．图为其中一颗静止轨道卫星绕地球飞行的示意图．已知该卫星做匀速圆周运动的周期为T ，地球质量为M 、半径为R ，引力常量为G ．
（1）求静止轨道卫星的角速度ω； （2）求静止轨道卫星距离地面的高度h 1；
（3）北斗系统中的倾斜同步卫星，其运转轨道面与地球赤道面有一定夹角，它的周期也是T ，距离地面的高度为h 2．视地球为质量分布均匀的正球体，请比较h 1和h 2的大小，并说出你的理由．
【答案】（1）2π=T ω；（2）2
3124GMT h R π
（3）h 1= h 2 【解析】 【分析】
（1）根据角速度与周期的关系可以求出静止轨道的角速度； （2）根据万有引力提供向心力可以求出静止轨道到地面的高度； （3）根据万有引力提供向心力可以求出倾斜轨道到地面的高度； 【详解】
（1）根据角速度和周期之间的关系可知：静止轨道卫星的角速度2π=T
ω （2）静止轨道卫星做圆周运动，由牛顿运动定律有：2
1
212π=()()()Mm G
m R h R h T
++ 解得：2
312
=4π
GMT
h R
（3）如图所示，同步卫星的运转轨道面与地球赤道共面，倾斜同步轨道卫星的运转轨道面与地球赤道面有夹角，但是都绕地球做圆周运动，轨道的圆心均为地心．由于它的周期也是T ，根据牛顿运动定律，2
2
222
=()()()Mm G
m R h R h T
π++ 解得：2
322
=4GMT
h R π
- 因此h 1= h 2．
故本题答案是：（1）2π=T ω；（2）2312=4GMT h R π
- （3）h 1= h 2 【点睛】
对于围绕中心天体做圆周运动的卫星来说，都借助于万有引力提供向心力即可求出要求的物理量．
2．某星球半径为6610R m =⨯，假设该星球表面上有一倾角为30θ=︒的固定斜面体，一质量为1m kg =的小物块在力F 作用下从静止开始沿斜面向上运动，力F 始终与斜面平行，如图甲所示．已知小物块和斜面间的动摩擦因数3
μ=
，力F 随位移x 变化的规律如图乙所示（取沿斜面向上为正方向）．已知小物块运动12m 时速度恰好为零，万有引力常量11
226.6710
N?m /kg G -=⨯，求（计算结果均保留一位有效数字）
（1）该星球表面上的重力加速度g 的大小； （2）该星球的平均密度． 【答案】2
6/g m s =，
【解析】 【分析】 【详解】
（1）对物块受力分析如图所示；
假设该星球表面的重力加速度为g ，根据动能定理，小物块在力F 1作用过程中有：
2
11111sin 02
F s fs mgs mv θ--=- N mgcos θ= f N μ=
小物块在力F 2作用过程中有：
222221
sin 02
F s fs mgs mv θ---=-
由题图可知：1122156?
3?6?F N s m F N s m ====，；， 整理可以得到： (2)根据万有引力等于重力：
，则：
，
，
代入数据得
3．2019年4月，人类史上首张黑洞照片问世，如图，黑洞是一种密度极大的星球。

从黑洞出发的光子，在黑洞引力的作用下，都将被黑洞吸引回 去，使光子不能到达地球，地球上观察不到这种星体，因此把这种星球称为黑洞。

假设有一光子（其质量m 未知）恰好沿黑洞表面做周期为T 的匀速圆周运动，求：
(1)若已知此光子速度为v ，则此黑洞的半径R 为多少？ (2)此黑洞的平均密度ρ为多少？（万有引力常量为G ） 【答案】（1）R =2vT π
（2）23GT π
ρ=
【解析】 【详解】
(1)此光子速度为v ，则2vT R π=
此黑洞的半径：2vT R π
=
(2)
根据密度公式得：
343
M M V R ρπ=
=
根据万有引力提供向心力，列出等式：22
24GMm R
m R T
π= 解得：23
2
4R M GT
π= 代入密度公式，解得：2
3GT π
ρ=
4．我们将两颗彼此相距较近的行星称为双星，它们在万有引力作用下间距始终保持不变，且沿半径不同的同心轨道作匀速圆周运动，设双星间距为L ，质量分别为M 1、M 2(万有引力常量为G)试计算：
()1双星的轨道半径 ()2双星运动的周期．
【答案】()2112121?M M L L M M M M ++，；()()
122?2L
L G M M π+；
【解析】
设行星转动的角速度为ω，周期为T ．
()1如图，
对星球1M ，由向心力公式可得： 21211
2
M M G
M R ωL = 同理对星2M ，有：212
222
M M G M R ωL
= 两式相除得：
12
21
R M (R M ，=即轨道半径与质量成反比) 又因为12L R R =+
所以得：21
121212
M M R L R L M M M M =
=++，
()2有上式得到：
ω=
因为2π
T ω=
，所以有：T 2π=
答：()1双星的轨道半径分别是
21
1212
M M L L M M M M ++，； ()2
双星的运行周期是2π
点睛：双星靠相互间的万有引力提供向心力，抓住角速度相等，向心力相等求出轨道半径之比，进一步计算轨道半径大小；根据万有引力提供向心力计算出周期．
5．我国在2008年10月24日发射了“嫦娥一号”探月卫星．同学们也对月球有了更多的关注．
(1)若已知地球半径为R ，地球表面的重力加速度为g ，月球绕地球运动的周期为T ，月球绕地球的运动可近似看作匀速圆周运动，试求月球绕地球运动的轨道半径．
(2)若宇航员随登月飞船登陆月球后，在月球表面某处以速度0v 竖直向上抛出一个小球，经过时间t ，小球落回抛出点．已知月球半径为r ，万有引力常量为G ，试求出月球的质量
M 月
【答案】(2)20
2v r Gt ． 【解析】 【详解】
(1)设地球的质量为M ，月球的质量为M 月，地球表面的物体质量为m ，月球绕地球运动的轨道半径R '，根据万有引力定律提供向心力可得：
2
2
2()MM G
M R R T π=''月月 2
Mm
mg G
R =
解得：
R '= (2)设月球表面处的重力加速度为g '，根据题意得：
02
g t v '=
02
GM m g r
m '=
月 解得：
2
02v r M Gt
=月
6．2004年1月，我国月球探测计划“嫦娥工程”正式启动，从此科学家对月球的探索越来越深入.2007年我国发射了“嫦娥1号”探月卫星，2010年又发射了探月卫星“嫦娥二号”，2013年“嫦娥三号”成功携带“玉兔号月球车”登上月球.已知地球半径为R ，地球表面的重力加速度为g ，月球绕地球运动的周期为T ，月球绕地球的运动近似看做匀速圆周运动.万有引力常量为G . （1）求出地球的质量；
（2）求出月球绕地球运动的轨道半径；
（3）若已知月球半径为r ，月球表面的重力加速度为
6
g
.当将来的嫦娥探测器登陆月球以后，若要在月球上发射一颗月球的卫星，最小的发射速度为多少？
【答案】（1）2gR G （23 【解析】 【详解】
（1）在地球表面，由
2
GMm
mg R
= 解得地球的质量
G
gR M 2
= （2）月球绕地球运动，万有引力提供向心力，则有
222
4GMm m r
r T
π= 月球绕地球运动的轨道半径
r ==（3）在月球表面，则有
26g v m m r
= 解得
v =
7．双星系统一般都远离其他天体，由两颗距离较近的星体组成，在它们之间万有引力的相互作用下，绕中心连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动。

如地月系统，忽略其他星体的影响和月球的自转，把月球绕地球的转动近似看做双星系统。

已知月球和地球之间的距离为r ，运行周期为T ，引力常量为G ，求地球和月球的质量之和。

【答案】23
2
4r GT π
【解析】 【分析】
双星靠相互间的万有引力提供向心力，具有相同的角速度．应用牛顿第二定律列方程求解． 【详解】
对地球和月球的双星系统，角速度相同，则：22122Mm
G
M r m r r
ωω== 解得：221Gm r r ω=； 22
2GM r r ω=；
其中2T
π
ω=
，r=r 1+r 2； 三式联立解得：23
2
4r M m GT π+=
【点睛】
解决本题的关键知道双星靠相互间的万有引力提供向心力，具有相同的角速度．以及会用万有引力提供向心力进行求解．
8．“嫦娥四号”卫星从地球经地一月转移轨道，在月球附近制动后进入环月轨道，然后以大小为v 的速度绕月球表面做匀速圆周运动，测出其绕月球运动的周期为T ，已知引力常量G ，月球的半径R 未知，求： （1）月球表面的重力加速度大小； （2）月球的平均密度。

【答案】(1)2v g T π= (2)2
3GT π
ρ= 【解析】 【详解】
（1）在月球表面，万有引力等于重力，重力加速度等于向心加速度n g a =
g v ω=⋅
2T
π
ω=
以上各式联立得2v
g T
π=
（2）“嫦娥四号”卫星绕月球表面做匀速圆周运动，万有引力提供向心力
222
4Mm R G m R T
π= 由密度公式：
M V ρ=球
球体的体积公式为343
V R π=球 联立以上各式得2
3GT π
ρ=
9．已知地球半径为R ，地球表面重力加速度为g ，万有引力常量为G ，不考虑地球自转的影响．
（1）求卫星环绕地球运行的第一宇宙速度v 1；
（2）若卫星绕地球做匀速圆周运动且运行周期为T ，求卫星运行半径r ；
【答案】（12）r 【解析】
试题分析：（1）地表的物体受到的万有引力与物体的重力近似相等即：2
GMm
mg R ＝ 若发射成卫星在地表运动则卫星的重力提供向心力即：2
v mg m R
＝
解得：v =
（2）由卫星所需的向心力由万有引力提供可得2
224GMm m r r T
＝π
又2
GMm
mg R ＝
解得：r 考点：万有引力定律的应用
名师点睛：卫星所受的万有引力等于向心力、地面附近引力等于重力是卫星类问题必须要考虑的问题，本题根据这两个关系即可列式求解．
10．2019年1月3日10时26分，嫦娥四号探测器自主着陆在月球背面南极-艾特肯盆地内的冯·卡门撞击坑内，实现人类探测器首次在月球背面软着陆。

设搭载探测器的轨道舱绕月球运行半径为r ，月球表面重力加速度为g ，月球半径为R ，引力常量为G ，求： （1）月球的质量M 和平均密度ρ； （2）轨道舱绕月球的速度v 和周期T .
【答案】（1）G
gR M 2
=， 34g RG ρπ= （2）v =2T π=【解析】 【详解】
（1）在月球表面：002
Mm m g G R =，则G
gR M 2
= 月球的密度：2343/34M gR g
R V G GR
ρππ===
（2）轨道舱绕月球做圆周运动的向心力由万有引力提供：2
2Mm v G m r r
=
解得：v =
22r T v π⋅==。