精心教学设计渗透“构造法”——透过解题思路逻辑形式表达结论转向心理发生的视点

精心教学设计渗透 构造法 ∗
透过解题思路逻辑形式表达结论转向心理发生的视点
张㊀昆1,㊀罗增儒2
(1.淮北师范大学数学科学学院,安徽淮北㊀235000;2.陕西师范大学数学与信息学院,陕西西安㊀710061)
摘㊀要:数学命题证明的逻辑形式表达过程,是将解题主体现场探究所经历心理活动过程中的各种能动因素降低到最低限度.在教学设计及其课堂实施中,数学教师如果不将这种逻辑形式表达过程转化为学生探究思路的心理发生过程,将极大地损伤数学解题的教学价值.文章以一道高考压轴题为例,展示启发学生构造的心理活动的火热过程.
关键词:教学设计;逻辑表达;心理发生;构造法
中图分类号:O122.1㊀㊀㊀㊀文献标识码:A㊀㊀㊀㊀文章编号:1003-6407(2021)04-0011-04
㊀㊀表达数学解题结果使用的是严格的逻辑形式,其过程具体表现为:一步一步,步步有据,事出有因,言之凿凿,构成了逻辑结构体系,从逻辑中产生了令人信服的心理力量.在教学设计及其课堂实施时,数学教师必须认识到,这种逻辑形式表达不是预成的 神来之笔 ,而是解题主体通过各种各样手段探究思路以后,采用逻辑加工与整理的结果.因此,数学教师需要将表达结论的逻辑形式,借助于产生这种表达形式的过程,转化为启发学生从心理上发生探究解题思路的活生生的心理活动过程[1].这里以一道高考压轴题为例,在将解题表达结果的逻辑形式转化为学生发生心理认识的过程中,渗透 构造法 完成探究思路的过程.
例1　已知1<aɤ2,函数f(x)=e x-x-a,其中e=2.71828 是自然对数的底数.
1)证明:函数f(x)在(0,+ɕ)内有唯一零点.
2)记x0为函数y=f(x)在(0,+ɕ)内的零点,证明:
①a-1ɤx0ɤ2(a-1);
②x0f(e x0)ȡ(e-1)(a-1)a.
(2020年浙江省数学高考试题第22题) 1)证明㊀因为f(0)=1-a<0,f(2)=e2-2-aȡe2-4>0,所以函数f(x)在(0,+ɕ)内存在零点.又因为fᶄ(x)=e x-1>0,故函数f(x)在(0,+ɕ)上单调递增,知函数f(x)在(0,+ɕ)内有唯一零点.
关于第2)小题中的问题①,有教师(称为教师甲)采用了这样的教学途径:
设函数
g(x)=e x-12x2-x-1(其中xȡ0),(1)则gᶄ(x)=e x-x-1.
由第1)小题知函数gᶄ(x)在xɪ[0,+ɕ)上单调递增,故当xɪ[0,+ɕ)时,
gᶄ(x)ȡgᶄ(0)=0,
即函数g(x)在xɪ[0,+ɕ)内单调递增,从而
g(x)ȡg(0)=0,
于是g(2(a-1))ȡ0,
可得㊀f(2(a-1))=e2(a-1)-2(2a-1)-aȡ
0=f(x0).
由第1)小题知函数f(x)在(0,+ɕ)上单调递增,从而
x0ɤ2(a-1)(2)成立.
设㊀㊀r(x)=e x-x2-x-1(其中xɪ[0,1]),(3)则rᶄ(x)=e x-2x-1,
设t(x)=e x-2x-1(其中xɪ[0,1]),则
tᶄ(x)=e x-2.
∗收文日期:2020-12-07;修订日期:2021-01-07
作者简介:张㊀昆(1965 ),男,安徽合肥人,中学高级教师.研究方向:数学教育.
取e x-2=0,得x=ln2,列表1如下:
表1㊀tᶄ(x)与t(x)对应值
x0(0,ln2)ln2(ln2,1)1
tᶄ(x)-1-0+e-2
t(x)0↘1-2ln2↗e-3
于是,当xɪ(0,1)时,
t(x)=e x-2x-1<0,
即rᶄ(x)<0,
知r(x)在xɪ(0,1)上单调递减,因此,当xɪ[0, 1]时,
r(x)ɤr(0)=0.
而0<a-1ɤ1,知
a-1ɪ[0,1],
即r(a-1)=0,
亦即f(a-1)=e a-1-a-1-aɤ0=f(x0).
由于函数f(x)在(0,+ɕ)上单调递增,从而
a-1ɤx0(4)成立.
㊀㊀综合式(2)和式(4),知a-1ɤx0ɤ2(a-1)成立.
从课堂教学实践中了解到,教师甲向学生呈示了这样的命题证明的表达中,有两个地方学生难于理解:其一,在证明式(2)成立时,为什么要设函数(1)?其二,在证明式(4)成立时,为什么要设函数(3)?教师甲关于设出的这两个函数,都是一种 神来之笔 ,二者都满足了命题证明的逻辑要求的需要,读来理通字顺,言之凿凿,但是学生不知道为什么.由此认识到,数学教师在教学设计及其课堂实施时,启发学生从心理上构造出函数(1)和函数(3)是教师关于这道题教学设计的着力点之所在.数学教师必须要想方设法通过教学设计,将命题证明表达的逻辑过程转化为启发学生构造这两个函数的心理过程,这样才有利于通过课堂教学提高学生发现问题㊁分析问题㊁解决问题能力,培养学生的创新能力,实现数学解题的教学目标.下面实录笔者关于这个问题的教学设计及其课堂实施关键环节(省略号表示学生思维的暂时中断):师:在例1的条件下,如何证明不等式
a-1ɤx0ɤ2(a-1).(5)㊀㊀生1:我将两个不等号分开来证明,即证明式(4)与式(2)同时成立.不妨先探究不等式(4)的证明思路,在过去讨论比较某个具体函数的两个自变量大小时,从所获得的经验中认识到,需要使用自变量的对应函数值的大小为讨论自变量大小的桥梁.因此,我们希望比较f(a-1)与f(x0)这两个数的大小,由于x0是函数在(0,+ɕ)内的唯一零点,知f(x0)=0,又由于函数f(x)在(0,+ɕ)上单调递增,因此,只要证明
f(a-1)ɤ0,(6)问题就解决了
评注㊀笔者教学的学生已经形成了这样的数学观念:在关于以具体函数为背景条件的两个数大小比较问题中,自变量与函数是一对矛盾,二者相反相成,这对矛盾在一定的条件下可以向其对立面转化.恩格斯在‘自然辩证法“一书中指出: 数学是辩证的辅助工具和表现形式. [2]由函数概念所构成的问题直观地体现出了数学的这种辩证法的精髓.在这类问题解决所积累的典型经验中,学生已经形成了 比较两个函数值大小需要转化为比较这两个函数值应对的自变量大小;比较两个自变量的大小需要转化为比较这两个自变量对应的函数值的大小 的数学观念[3].数学教师在自己的教学中必须要清楚地意识到这个问题的重要性.
师:生1建立起了思维的积极定势,知道要比较某个函数的两个自变量大小,设法利用自变量所对应的函数值这个途径,从而将需要证明的结论(4)转化为证明结论(6).那么,如何证明式(6)成立呢?
生2:直接使用
㊀㊀㊀f(a-1)=e a-1-a-1-a,(7)肯定不能得到不等式(6)能否成立的结论,于是,我想构造一个函数t(x),使t(a-1)=0,然后将f(x)+t(x)构成新函数r(x),即r(x)=f(x)+t(x),再研究r(x)的单调性,应该就能解决问题了.通过观察㊁实验与试探,发现满足条件的函数t(x)最简单的形式是t(x)=-x2-1+a,于是
㊀㊀r(x)=f(x)+t(x)=e x-x-a-x2-1+a,
即r(x)=e x-x2-x-1(其中xȡ0).
评注㊀生2的思维具有很大的创造性,一般解题者的想法是从代数式(7)的形式出发,通过换元的途径,得到函数(3).这种想法的主要形式在于:
设t=a-1,解得a=t2+1,如此,由代数式(7)的形式可知,设函数r(x)=e t-t2-t-1(其中tȡ0)就水到渠成了.生2的探究思路活动是通过直觉思维的过程得到的.
师:如此构造出的函数r(x)就是上述的函数解析式(3),其后述步骤上面已经清晰地阐明了,这里无须赘述.现在大家考虑如何证明不等式(2)成立?
生3:要证明不等式(2)成立,依据函数f(x)在(0,+ɕ)上单调递增,只要证明f(x0)=0< f(2(a-1))就行了.同生2的想法一样,希望构造出一个函数u(x),使u(2(a-1))=0,设f(x)+u(x)就构成了g(x),满足条件的最简单的函数u(x)形式是u(x)=-12x2-1+a,因此
g(x)=f(x)+u(x)=e x-x-a-12x2-1+a,即g(x)=e x-12x2-x-1(其中xȡ0),
这就是函数解析式(1).
从比较教师甲与笔者的教学设计及其课堂实施真实过程中认识到:教师甲在课堂上只是将第2)小题中问题①所形成证明的逻辑过程不加变更地 奉献 于学生,学生很难从这种逻辑形式证明表达的字里行间窥视出函数(3)与函数(1)是如何构造出来的,这正是教师甲这种教学设计及其课堂实施的缺点所在.因为这样做,学生只有像背诵古诗一样地记忆这个问题的解法,这对于提升学生提出问题㊁分析问题㊁解决问题的能力,特别是数学创新能力几乎没有作用,如此教学活动极其不利于学生数学学习的发展与进步.笔者将这个问题的教学设计及其课堂实施活动的着力点置于如何构造函数(3)与函数(1)上,极尽所能地鼓励学生从自己的分析中感受使用 构造法 寻找解题思路的探究精神.
关于第2)小题中的问题②,笔者将自己的教学设计及其课堂实施活动的关键环节实录如下:师:在这道题的题设条件下,如何证明不等式
x0f(e x0)ȡ(e-1)(a-1)a(8)成立呢?
(全体学生陷入沉思.)
师:我们首先希望通过变形不等式(8)来揣测它的结构,为探究证明思路创造条件.那么,不等式(8)具有怎样的特点呢?
生4:如果将不等式(8)中的f(e x0)中的自变量值e x0代入函数f(x)的解析式,会构成一个不利于进行计算的超越运算式,考虑到条件x0是函数f(x)在(0,+ɕ)内的唯一零点,知
0=f(x0)=e x0-x0-a,
即e x0=x0+a,(9)故㊀f(e x0)=f(x0+a)=e x0+a-x0-a-a=e a e x0-x0-2a,则㊀㊀x0f(e x0)=x0e a e x0-x20-2ax0=
x0e a(x0+a)-x20-2ax0=
x e a(x0+a)-x20-2ax0=
x20(e a-1)+a(e a-2)x0,(10)
师:生4将不等式(8)的左边成功地转化为代数式(10)的形式,现在需要思考的是如何证明不等式
㊀x20(e a-1)+a(e a-2)x0ȡ(e-1)(a-1)a(11)成立?
生5:由1<aɤ2,知e a-1>e a-2>0,从问题①的结论中,得
x0ȡa-1>0,
从而a(e a-2)x0ȡ0,
因此,加强不等式(11),得到不等式
x20(e a-1)ȡ(e-1)(a-1)a(12)应该是成立的
师:生5从化简不等式(11)出发,采用了 放缩 的途径形成了猜想不等式?生5的这个猜想正确吗?
生6:由于x20ȡa-1>0,不等式(12)可以再次简化为证明
e a-1ȡ(e-1)a,(13)即证明e a-(e-1)a-1ȡ0即可.于是,构造函数v(x)=e x-(e-1)x-1(其中xɪ(1,2]),(14)从而vᶄ(x)=e x-e+1.
由xɪ(1,2],知vᶄ(x)>0,故v(x)在xɪ(1,2]内单调递增,因此v(x)ȡv(1)=0,由此可知,不等式(13)成立,从而不等式(12)成立,进而不等式(8)成立.
探究这个问题的思路在于:使用 放缩 的途
(下转第14页)
巧设极坐标解圆锥曲线焦点弦问题∗
陈㊀蕾
(金华第一中学,浙江金华㊀321000)
摘㊀要:圆锥曲线的统一极坐标方程是高中数学中一种重要而简便的工具.文章利用这一工具来解决高考考查的热点之一 圆锥曲线的焦点弦问题.在解决的过程中我们看到这一工具的精准有效和大大减少繁琐运算的威力,同时也体现了对同一问题从不同视角采用不同的技术方法时智力上的创造力.
关键词:极坐标方程;焦点弦;精准解法
中图分类号:O123.1㊀㊀㊀㊀文献标识码:A㊀㊀㊀㊀文章编号:1003-6407(2021)04-0014-03
㊀㊀高中数学中的圆锥曲线问题常采用代数运算
解决,但大多数圆锥曲线问题计算量不但大而且繁
琐,因此笔者一直在寻求解决此类问题的简便方法
或者减少运算量的技巧.极坐标方程是高中数学新
课程中的选修内容,我们发现一些圆锥曲线问题如
果使用圆锥曲线统一极坐标方程ρ=
ep
1-e cosθ来
求,不但精准有效而且大大减少繁琐的运算.下面以圆锥曲线中的焦点弦问题为例来说明,旨在抛砖引玉.
1　圆锥曲线的统一极坐标方程
椭圆㊁双曲线㊁抛物线可以统一定义为:与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比为常数e的点的轨迹.如图1所示,以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点或抛物线的焦点)F为极点,过点F作相应准线的垂线,垂足为K,以FK的反向延长线为极轴建立极坐标系
.
图1
在极坐标系中,椭圆㊁双
曲线㊁抛物线方程得到了完美
的统一:ρ=
ep
1-e cosθ,其中p是
定点F到定直线L的距离,当
0<e<1时,方程表示椭圆;当
e>1时,方程表示双曲线;当e=1时,方程表示开口
(上接第13页)
径,将不等式(8)简化到不等式(11),再通过不等式(12)简化到不等式(13),最后构造出了函数
(14),利用函数的性质,找到了证明思路.
在高三数学复习解题教学设计及其课堂实施中,不少数学教师(就像教师甲一样)在没有仔细探究具体数学问题思路的情况下,就直接进入课堂教学环节,如此造成的结果是:只能将解决问题结果的逻辑表达过程不加改变地传达于学生,如此堵塞了学生探究解题思路的心理来源,逼迫学生不得不采用记忆题型的途径应对比较难一些的高考题.
本文通过这道高考压轴题,相应地构造合适的函数作为解决问题关键环节的桥梁,将教师甲自己(或者是来源于其他人的答案)探究思路的活动所形成的逻辑表达结果,转化为启发学生构造具体函数的心理过程.以此挑开了探究命题证明思路的逻辑面纱,启发学生在课堂现场上进行数学构造,鼓励他们进行火热的思维与心理活动.对此,一线数学教师要思之再思,慎之又慎.
参㊀考㊀文㊀献
[1]㊀张昆.整合数学教学中设计问题的取向:透
过 观念性问题 与 技术性问题 的视点
[J].中小学教师培训,2019(6):53-56. [2]㊀十三院校协编组.中学数学教材教法总论
[M].北京:人民教育出版社,1980:27. [3]㊀张昆,罗增儒.数学解题教学设计研究:指向
萌生数学观念的视点[J].中学数学杂志,
2017(11):15-18.
∗收文日期:2020-11-19;修订日期:2020-12-20
作者简介:陈㊀蕾(1991 ),女,浙江诸暨人,中学一级教师.研究方向:数学教育.。