含参数线性方程组解的讨论

含参数线性方程组解的讨论
分三种类型。

一、系数矩阵不含参数，常数项含参数。

Ｐ２６２ 计算题：１、对于线性方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=++=+=++a
x x x x x x x x 321
31321241346，问ａ取何值时，它有解？何时无解？并在有解时，求出方程组的通解？
解１：A ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡a 21411013416→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡a 21434161101→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----4210321011
01a → ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡---100032101101a 。

显然秩（Ａ）＝２。

于是 当ａ≠１时，Ｒ（Ａ）＝２＜Ｒ（A ）＝３，该方程组无解；
当ａ＝１时，Ｒ（Ａ）＝Ｒ（A ）＝２＜３，该线性方程组有无穷多解。

非齐次通解为：⎩⎨
⎧+-=-=3
23
1231x x x x （ｘ３任意）
令ｘ３＝０，得非齐次特解：*
η＝（１，－３，０）Ｔ。

导出组通解为：⎩⎨⎧=-=32
3
12x x x x （ｘ３任意）。

令ｘ３＝１，得一个基础解系为：ξ＝（－１，２，１）Ｔ。

非齐次组的结构解为：Ｘ＝*
η＋ｋξ，其中ｋ为任意数。

解２：A ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡a 21411013416→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---320211013416a →⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡---100011013210a ，以下
同解１。

二、系数矩阵含参数，常数项不含参数：
Ｐ１４５： １０， １１； Ｐ１４８： ３（４）；
Ｐ１４６ １７［作业，下次课评讲］ １０［Ｐ１４５］、λ取何值时，下面所给方程组存在非零解？
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321111111x x x λλλ＝⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡000。

解：该３×３齐次线性方程组的系数行列式为：
A ＝λλλ111111＝λ
λλ1111111)2(+＝10001
01
11)2(--+λλλ ＝（λ＋２）（λ－１）２。

该３×３齐次线性方程组有非零解⇔A ＝０⇔（λ＋２）（λ－１）２
＝０
⇔λ＝－２或λ＝１。

１１［Ｐ１４５］、求下面方程组的基础解系（其中ｔ为参数）：
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---0001214131412143
21x x x x t 。

解：Ａ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---t 12141314121→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--400000104121t →⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--400000104101t 。

当ｔ＝４时，通解为：⎩⎨⎧+=-=432
4
31004x x x x x x （ｘ３，ｘ４任意）。

一个基础解系为：
ξ１＝（１，０，１，０）Ｔ
，ξ２＝（－４，０，０，１）Ｔ。

当ｔ≠４时，
Ａ−−→−-3)4
1
(r t ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-100000104101 →⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-100000100101；
通解为：⎪⎩⎪
⎨⎧===34
323100x
x x x x x （ｘ３任意），
令ｘ３＝１，得一个基础解系：ξ＝（１，０，１，０）Ｔ。

Ｐ１４８ ３（４）、若如下所给方程组存在基础解系，求常数λ的值，并指出基础解系含
几个向量。

⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---00012113221321x x x λ
解：３×３齐次线性方程组存在基础解系⇔A ＝０。

A ＝λ1211
3
221
---＝1
120
1
3
021--λ＝1
32
1)
1(-λ＝－５（λ－１）。

令A ＝０，得λ＝１。

此时秩（Ａ）＜３。

因为Ａ的前两行线性无关，故秩（Ａ）
≥２，所以秩（Ａ）＝２。

于是基础解系含解个数＝３－秩（Ａ）＝３－２＝１。

三、系数矩了含参数，常数项也含参数： Ｐ１４１： 例3.11 Ｐ１４６： １５（１）、（２）； Ｐ１４８： ３（３）［作业，下次课评讲］
例3.11［Ｐ１４１］a 、b 取何值时，下面的方程组有解？在有解时求出方程组的全部解：
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡---a a 12323102210111
1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡4321x x x x ＝⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-110b 。

解：A ＝⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡----112323101221001111a b a →⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------132102310122100111
1a b a →
⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡-+----010001010012210
11101a b a ＝1A 。

（１） 当ａ≠１时，Ｒ（Ａ）＝Ｒ（A ）＝４，该方程组有唯一解。

1A −−→−--43)11()11
(
r a r a ⎥⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎢⎣⎡-+---01
11010012210
11101a b →⎥⎥
⎥⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡
-+----+--01
001101001322010121001a b a b a a b a → ⎥⎥
⎥
⎥⎥
⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎣
⎡
-+----+-01
0001101001320010120001a b a b a a b a ，解为：⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-+----+-0111
3
212a b a b a a b a 。

（２） 当ａ＝１且ｂ≠－１时，Ｒ（Ａ）＝２≠Ｒ（A ）＝３，无解。

（３） 当ａ＝１且ｂ＝－１时，Ｒ（Ａ）＝Ｒ（A ）＝２＜４，有无穷多解。

非齐次通解为：⎩⎨⎧--=++-=432
4
312211x x x x x x （ｘ３，ｘ４任意）。

令ｘ３＝ｘ４＝０，得非齐次特解：*
η＝（－１，１，０，０）Ｔ。

导出组的通解为：⎩⎨
⎧--=+=4
324
3122x x x x x x （ｘ３，ｘ４任意）。

一个基础解系为：ξ１＝（１，－２，１，０）Ｔ
，ξ２＝（１，－２，０，１）Ｔ。

非齐次组的结构解为：Ｘ＝*
η＋ｋ１ξ１＋ｋ２ξ２，ｋ１，ｋ２为任意数。

１５［Ｐ１４６］已知向量α１，α２，α３，β。

问：
（１）ａ、ｂ取何值时，β不能由α１，α２，α３线性表示？
（２）ａ、ｂ取何值时，β可由α１，α２，α３线性表示？写出此线性表出式。

解：令 ｘ１α１＋ｘ２α２＋ｘ３α３＝β。

① 解对应的线性方程组
A ＝⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡-432110101743021a b →⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----21011021103021a b →⎥
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----010020002110120
1a b → ⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡----2000
010*********b a −−−→
−-≠=31112）r a （a b 时
且⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--0000
010*********
→⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢
⎢⎢⎢⎣⎡-000
010********
1。

（１）当ｂ≠－２时，秩（Ａ）＜秩（A ），方程组①无解，β不能由α１，α２，
α３线性表示．
（２）当ｂ＝－２且ａ≠１时，秩（Ａ）＝秩（A ）＝３，方程组①有唯一解为：
（－１，２，０）Ｔ
，β可由α１，α２，α３线性表示且表示法唯一：β＝－α１＋
２α２．
（３）当ｂ＝－２且ａ＝１时，秩（Ａ）＝秩（A ）＝２＜３，方程组①有无穷多
解，β可由α１，α２，α３线性表示且表示法有无穷多种。

通解为：⎩⎨⎧+=--=3
231221x x x x （ｘ３任意），令ｘ３＝ｋ，有β＝（－１－２ｋ）α１＋（２＋ｋ）α２＋ｋα３，
其中ｋ为任意数。

作业：Ｐ１４６ １７ Ｐ１４８ ３（３）。