南溪区外国语学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

南溪区外国语学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 下列命题中正确的是（ ）
A ．若命题p 为真命题，命题q 为假命题，则命题“p ∧q ”为真命题
B ．命题“若xy=0，则x=0”的否命题为：“若xy=0，则x ≠0”
C ．“
”是“
”的充分不必要条件
D ．命题“∀x ∈R ，2x ＞0”的否定是“
”
2． 设n S 是等比数列{}n a 的前项和，425S S =，则此数列的公比q =（ ）
A ．-2或-1
B ．1或2 C.1±或2 D ．2±或-1 3． 设函数f ′（x ）是奇函数f （x ）（x ∈R ）的导函数，f （﹣2）=0，当x ＞0时，xf ′（x ）﹣f （x ）＜0，则使得f （x ）＞0成立的x 的取值范围是（ ）
A ．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）
B ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
C ．（﹣2，0）∪（2，+∞）
D ．（﹣2，
0）∪（0，2）
4． 若某算法框图如图所示，则输出的结果为（ ）
A ．7
B ．15
C ．31
D ．63
5． 函数y=﹣lnx （1≤x ≤e 2） 的值域是（ ）
A ．[0，2]
B ．[﹣2，0]
C ．[﹣，0]
D ．[0，]
6． 已知函数f （x ）是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，且当x ＜0时，函数的部分图象如图所示，则不等式xf （x ）＜0的解集是（ ）
A ．（﹣2，﹣1）∪（1，2）
B ．（﹣2，﹣1）∪（0，1）∪（2，+∞）
C ．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）∪（1，2）
D ．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）∪（0，1）∪（2，+∞）
7． 某程序框图如图所示，该程序运行输出的k 值是（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
8． 函数y=x+xlnx 的单调递增区间是（ ）
A ．（0，e ﹣2）
B ．（e ﹣2，+∞）
C ．（﹣∞，e ﹣2）
D ．（e ﹣2，+∞）
9． 设偶函数f （x ）在[0，+∞）单调递增，则使得f （x ）＞f （2x ﹣1）成立的x 的取值范围是（ ）
A ．（，1）
B ．（﹣∞，）∪（1，+∞）
C ．（﹣，）
D ．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）
10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2﹣b 2=bc ，sinC=2sinB ，则A=（ ）
A ．30°
B ．60°
C ．120°
D ．150° 11．已知集合{2,1,1,2,4}A =--，2{|log ||1,}B y y x x A ==-∈，则A B =（ ）
A ．{2,1,1}--
B ．{1,1,2}-
C ．{1,1}-
D ．{2,1}--
【命题意图】本题考查集合的交集运算，意在考查计算能力． 12．（﹣6≤a ≤3）的最大值为（ ）
A ．9
B ．
C ．3
D ．
二、填空题
13．抛物线y 2=4x 上一点M 与该抛物线的焦点F 的距离|MF|=4，则点M 的横坐标x= ．
14．“黑白配”游戏，是小朋友最普及的一种游戏，很多时候被当成决定优先权的一种方式．它需要参与游戏的人（三人或三人以上）同时出示手势，以手心（白）、手背（黑）来决定胜负，当其中一个人出示的手势与其它人都不一样时，则这个人胜出，其他情况，则不分胜负．现在甲乙丙三人一起玩“黑白配”游戏．设甲乙丙三人每次都随机出“手心（白）、手背（黑）”中的某一个手势，则一次游戏中甲胜出的概率是 ．
15．幂函数1
222
)33)(+-+-=m m
x m m x f （在区间()+∞,0上是增函数，则=m ．
16．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率P 的取值范围是 ．
17．长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是 ．
18．已知函数
，则
__________；
的最小值为__________．
三、解答题
19．已知双曲线过点P （﹣3，4），它的渐近线方程为y=±x ．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）设F 1和F 2为该双曲线的左、右焦点，点P 在此双曲线上，且|PF 1||PF 2|=41，求∠F 1PF 2的余弦值．
20．设M 是焦距为2的椭圆E ：
+
=1（a ＞b ＞0）上一点，A 、B 是椭圆E 的左、右顶点，直线
MA 与MB 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1k 2=﹣．
（1）求椭圆E 的方程；
（2）已知椭圆E ： +=1（a ＞b ＞0）上点N （x 0，y 0）处切线方程为
+=1，若P
是直线x=2上任意一点，从P 向椭圆E 作切线，切点分别为C 、D ，求证直线CD 恒过定点，并求出该定点坐标．
21．已知点（1，）是函数f （x ）=a x （a ＞0且a ≠1）的图象上一点，等比数列{a n }的前n 项和为f （n ）﹣c ，
数列{b n }（b n ＞0）的首项为c ，且前n 项和S n 满足S n ﹣S n ﹣1=+
（n ≥2）．记数列{
}前n
项和为T n ，
（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式；
（2）若对任意正整数n ，当m ∈[﹣1，1]时，不等式t 2
﹣2mt+＞T n 恒成立，求实数t 的取值范围
（3）是否存在正整数m ，n ，且1＜m ＜n ，使得T 1，T m ，T n 成等比数列？若存在，求出m ，n 的值，若不存在，说明理由．
22．设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q ，已知b 1=a 1，b 2=2，q=d ，S 10=100． （1）求数列{a n }，{b n }的通项公式
（2）当d ＞1时，记c n =
，求数列{c n }的前n 项和T n ．
23．（本小题满分12分）
某校高二奥赛班N 名学生的物理测评成绩（满分120分）分布直方图如下，已知分数在100-110的学生 数有21人.
（1）求总人数N 和分数在110-115分的人数； （2）现准备从分数在110-115的名学生（女生占
1
3
）中任选3人，求其中恰好含有一名女生的概率； （3）为了分析某个学生的学习状态，对其下一阶段的学生提供指导性建议，对他前7次考试的数学成绩 （满分150分），物理成绩y 进行分析，下面是该生7次考试的成绩.
已知该生的物理成绩y 与数学成绩是线性相关的，若该生的数学成绩达到130分，请你估计他的物理 成绩大约是多少？
附：对于一组数据11(,)u v ，22(,)u v ……(,)n n u v ，其回归线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分 别为：^
1
2
1
()()
()
n
i
i
i n
i
i u u v v u u β==--=
-∑∑，^^
a v u β=-.
24．已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣．
（1）若0＜α＜，且sinα=，求f（α）的值；（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．
南溪区外国语学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】 D
【解析】解：若命题p 为真命题，命题q 为假命题，则命题“p ∧q ”为假命题，故A 不正确； 命题“若xy=0，则x=0”的否命题为：“若xy ≠0，则x ≠0”，故B 不正确；
“”⇒“+2k π，或，k ∈Z ”，
“”⇒“
”，
故“
”是“
”的必要不充分条件，故C 不正确；
命题“∀x ∈R ，2x
＞0”的否定是“”，故D 正确．
故选D ．
【点评】本题考查命题的真假判断，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答．
2． 【答案】D 【解析】
试题分析：当公比1-=q 时，0524==S S ，成立.当1-≠q 时，24,S S 都不等于，所以
422
2
4==-q S S S , 2±=∴q ,故选D.
考点：等比数列的性质. 3． 【答案】A
【解析】解：设g （x ）=，则g （x ）的导数为：
g ′（x ）=
，
∵当x ＞0时总有xf ′（x ）﹣f （x ）＜0成立， 即当x ＞0时，g ′（x ）＜0，
∴当x ＞0时，函数g （x ）为减函数，
又∵g （﹣x ）=
=
=
=g （x ），
∴函数g （x ）为定义域上的偶函数， ∴x ＜0时，函数g （x ）是增函数，
又∵g （﹣2）=
=0=g （2），
∴x ＞0时，由f （x ）＞0，得：g （x ）＜g （2），解得：0＜x ＜2，
x＜0时，由f（x）＞0，得：g（x）＞g（﹣2），解得：x＜﹣2，
∴f（x）＞0成立的x的取值范围是：（﹣∞，﹣2）∪（0，2）．
故选：A．
4．【答案】D
【解析】解：模拟执行算法框图，可得
A=1，B=1
满足条件A≤5，B=3，A=2
满足条件A≤5，B=7，A=3
满足条件A≤5，B=15，A=4
满足条件A≤5，B=31，A=5
满足条件A≤5，B=63，A=6
不满足条件A≤5，退出循环，输出B的值为63．
故选：D．
【点评】本题主要考查了程序框图和算法，正确得到每次循环A，B的值是解题的关键，属于基础题．5．【答案】B
【解析】解：∵函数y=lnx在（0，+∞）上为增函数，
故函数y=﹣lnx在（0，+∞）上为减函数，
当1≤x≤e2时，
若x=1，函数取最大值0，
x=e2，函数取最小值﹣2，
故函数y=﹣lnx（1≤x≤e2）的值域是[﹣2，0]，
故选：B
【点评】本题考查的知识点是对数函数的值域与最值，熟练掌握对数函数的图象和性质，是解答的关键．
6．【答案】D
【解析】解：根据奇函数的图象关于原点对称，作出函数的图象，如图
则不等式xf（x）＜0的解为：或
解得：x∈（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）∪（0，1）∪（2，+∞）
故选：D．
7．【答案】C
【解析】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：
S k 是否继续循环
循环前100 0/
第一圈100﹣20 1 是
第二圈100﹣20﹣21 2 是
…
第六圈100﹣20﹣21﹣22﹣23﹣24﹣25＜0 6 是
则输出的结果为7．
故选C．
【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．
8．【答案】B
【解析】解：函数的定义域为（0，+∞）
求导函数可得f′（x）=lnx+2，令f′（x）＞0，可得x＞e﹣2，
∴函数f（x）的单调增区间是（e﹣2，+∞）
故选B．
9．【答案】A
【解析】解：因为f（x）为偶函数，
所以f（x）＞f（2x﹣1）可化为f（|x|）＞f（|2x﹣1|）
又f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，所以|x|＞|2x﹣1|，
即（2x﹣1）2＜x2，解得＜x＜1，
所以x 的取值范围是（，1）， 故选：A ．
10．【答案】A
【解析】解：∵sinC=2
sinB ，∴c=2
b ，
∵a 2﹣b 2
=
bc ，∴cosA=
==
∵A 是三角形的内角 ∴A=30° 故选A ．
【点评】本题考查正弦、余弦定理的运用，解题的关键是边角互化，属于中档题．
11．【答案】C
【解析】当{2,1,1,2,4}x ∈--时，2log ||1{1,1,0}y x =-∈-，所以A B ={1,1}-，故选C ．
12．【答案】B
【解析】解：令f （a ）=（3﹣a ）（a+6）=﹣+
，而且﹣6≤a ≤3，由此可得函数f
（a ）的最大值为，
故（﹣6≤a ≤3）的最大值为
=
，
故选B ．
【点评】本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．
二、填空题
13．【答案】 3 ．
【解析】解：∵抛物线y 2
=4x=2px ，
∴p=2，
由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，
∴|MF|=4=x+=4， ∴x=3， 故答案为：3．
【点评】活用抛物线的定义是解决抛物线问题最基本的方法．抛物线上的点到焦点的距离，叫焦半径．到焦点的距离常转化为到准线的距离求解．
14．【答案】 ．
【解析】解：一次游戏中，甲、乙、丙出的方法种数都有2种，所以总共有23
=8种方案， 而甲胜出的情况有：“甲黑乙白丙白”，“甲白乙黑丙黑”，共2种，
所以甲胜出的概率为
故答案为．
【点评】本题考查等可能事件的概率，关键是分清甲在游戏中胜出的情况数目．
15．【答案】 【解析】
【方法点睛】本题主要考查幂函数的定义与性质,属于中档题.幂函数定义与性质应用的三个关注点：（1）若幂函数()y x R αα=∈是偶函数，则α必为偶数．当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断；（2）若幂函
数()y x
R α
α=∈在()0,+∞上单调递增，则α
0>，若在()0,+∞上单调递减，则0α<；（3）在比较幂值
的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较. 1
16．【答案】 [
] ．
【解析】解：由题设知C 41p （1﹣p ）3≤C 42p 2（1﹣p ）2
，
解得p ，
∵0≤p ≤1，
∴
，
故答案为：[
]．
17．【答案】 50π ．
【解析】解：长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，
所以长方体的对角线就是球的直径，长方体的对角线为：，
所以球的半径为：；则这个球的表面积是：=50π．
故答案为：50π．
【点评】本题是基础题，考查球的内接多面体的有关知识，球的表面积的求法，注意球的直径与长方体的对角线的转化是本题的解答的关键，考查计算能力，空间想象能力．
18．【答案】
【解析】【知识点】分段函数，抽象函数与复合函数
【试题解析】
当时，
当时，
故的最小值为
故答案为：
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）设双曲线的方程为y2﹣x2=λ（λ≠0），
代入点P（﹣3，4），可得λ=﹣16，
∴所求求双曲线的标准方程为
（2）设|PF1|=d1，|PF2|=d2，则d1d2=41，
又由双曲线的几何性质知|d1﹣d2|=2a=6，
∴d12+d22﹣2d1d2=36即有d12+d22=36+2d1d2=118，
又|F1F2|=2c=10，
∴|F1F2|2=100=d12+d22﹣2d1d2cos∠F1PF2
∴cos∠F1PF2=
【点评】本题给出双曲线的渐近线，在双曲线经过定点P的情况下求它的标准方程，并依此求∠F1PF2的余弦值．着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质、利用余弦定理解三角形等知识，属于中档题．
20．【答案】
【解析】（1）解：设A（﹣a，0），B（a，0），M（m，n），则+=1，
即n2=b2•，
由k1k2=﹣，即•=﹣，
即有=﹣，
即为a2=2b2，又c2=a2﹣b2=1，
解得a2=2，b2=1．
即有椭圆E的方程为+y2=1；
（2）证明：设点P（2，t），切点C（x1，y1），D（x2，y2），
则两切线方程PC，PD分别为：+y1y=1，+y2y=1，
由于P点在切线PC，PD上，故P（2，t）满足+y1y=1，+y2y=1，
得：x1+y1t=1，x2+y2t=1，
故C（x1，y1），D（x2，y2）均满足方程x+ty=1，
即x+ty=1为CD的直线方程．
令y=0，则x=1，
故CD过定点（1，0）．
【点评】本题主要考查椭圆的简单性质、直线与椭圆的位置关系，导数的几何意义等基本知识，考查运算能力和综合解题能力．解题时要注意运算能力的培养．
21．【答案】
【解析】解：（1）因为f（1）=a=，所以f（x）=，
所以，a2=[f（2）﹣c]﹣[f（1）﹣c]=，a3=[f（3）﹣c]﹣[f（2）﹣c]=
因为数列{a n}是等比数列，所以，所以c=1．
又公比q=，所以；
由题意可得：=，
又因为b n＞0，所以；
所以数列{}是以1为首项，以1为公差的等差数列，并且有；
当n≥2时，b n=S n﹣S n﹣1=2n﹣1；
所以b n=2n﹣1．
（2）因为数列前n项和为T n，
所以
=
=；
因为当m∈[﹣1，1]时，不等式恒成立，
所以只要当m∈[﹣1，1]时，不等式t2﹣2mt＞0恒成立即可，
设g（m）=﹣2tm+t2，m∈[﹣1，1]，
所以只要一次函数g（m）＞0在m∈[﹣1，1]上恒成立即可，
所以，
解得t＜﹣2或t＞2，
所以实数t的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．
（3）T1，T m，T n成等比数列，得T m2=T1T n
∴，
∴
结合1＜m＜n知，m=2，n=12
【点评】本题综合考查数列、不等式与函数的有关知识，解决此类问题的关键是熟练掌握数列求通项公式与求和的方法，以及把不等式恒成立问题转化为函数求最值问题，然后利用函数的有关知识解决问题．
22．【答案】
【解析】解：（1）设a1=a，由题意可得，
解得，或，
当时，a n =2n ﹣1，b n =2n ﹣1
；
当
时，a n =（2n+79），b n =9•
；
（2）当d ＞1时，由（1）知a n =2n ﹣1，b n =2n ﹣1
，
∴c n =
=，
∴T n =1+3•+5•+7•+9•+…+（2n ﹣1）•，
∴T n =1•+3•+5•+7•+…+（2n ﹣3）•
+（2n ﹣1）•，
∴T n =2++++
+…+
﹣（2n ﹣1）•
=3﹣
，
∴T n =6﹣．
23．【答案】（1）60N =，6n =；（2）8
15
P =；（3）115. 【解析】
试
题解析：
（1）分数在100-110内的学生的频率为1(0.040.03)50.35P =+⨯=，所以该班总人数为21
600.35
N =
=， 分数在110-115内的学生的频率为21(0.010.040.050.040.030.01)50.1P =-+++++⨯=，分数在110-115内的人数600.16n =⨯=.
（2）由题意分数在110-115内有6名学生，其中女生有2名，设男生为1234,,,A A A A ，女生为12,B B ，从6名学生中选出3人的基本事件为：12(,)A A ，13(,)A A ，14(,)A A ，11(,)A B ，12(,)A B ，23(,)A
A ，24(,)A A ，21(,)A
B ，22(,)A B ，34(,)A A ，31(,)A B ，32(,)A B ，41(,)A B ，42(,)A B ，12(,)B B 共15个.
其中恰 好含有一名女生的基本事件为11(,)A B ，12(,)A B ，22(,)A B ，
21(,)A B ，31(,)A B ，32(,)A B ，41(,)A B ，
42(,)A B ，共8个，所以所求的概率为815
P =
. （3）1217178812
1001007
x --+-++=+
=；
6984416
1001007
y --+-+++=+=；
由于与y 之间具有线性相关关系，根据回归系数公式得到
^497
0.5994
b ==，^1000.510050a =-⨯=，
∴线性回归方程为0.550y x =+，
∴当130x =时，115y =.1
考点：1.古典概型；2.频率分布直方图；3.线性回归方程.
【易错点睛】本题主要考查古典概型，频率分布直方图，线性回归方程,数据处理和计算能力.求线性回归方程,关键在于正确求出系数,a b ,一定要将题目中所给数据与公式中的,,a b c 相对应,再进一步求解.在求解过程中,由于,a b 的计算量大,计算时应仔细谨慎,分层进行,避免因计算而产生错误,特别是回归直线方程中一次项系数为,b 常数项为这与一次函数的习惯表示不同. 24．【答案】
【解析】解：（1）∵0＜α＜，且sin α=
，
∴cos α=
，
∴f （α）=cos α（sin α+cos α）﹣，
=
×（
+
）﹣
=．
（2）f （x ）=cosx （sinx+cosx ）﹣．
=sinxcosx+cos 2x ﹣
=sin2x+cos2x
=sin （2x+
），
∴T==π，
由2k π﹣
≤2x+
≤2k π+
，k ∈Z ，得k π﹣
≤x ≤k π+
，k ∈Z ，
∴f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．。