2022年新高考数学总复习：随机事件的概率

2022年新高考数学总复习：随机事件的概率
知识点一
随机事件和确定事件
(1)在条件S 下，__必然要发生__的事件，叫做相对于条件S 的必然事件，简称必然事件．
(2)在条件S 下，__不可能发生__的事件，叫做相对于条件S 的不可能事件，简称不可能事件．
(3)必然事件和不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件，简称确定事件．
(4)在条件S 下，__可能发生也可能不发生__的事件，叫做相对于条件S 的随机事件，简称随机事件．
知识点二
概率与频率
(1)概率与频率的概念：在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的__频数__，称事件A 出现的比例f n (A )＝n
A n
为事件A 出现的__频率__．(2)概率与频率的关系：对于给定的随机事件A ，由于事件A 发生的频率f n (A )随着试验次数的增加稳定于概率P (A )，因此可以用__频率f n (A )__来估计概率P (A )．
知识点三
互斥事件与对立事件
事件的关系与运算
定义
符号表示包含关系
若事件A __发生__，则事件B __一定发生__，这时称事件B 包含事件A (或称事件A 包含于事件B )
__B ⊇A ____(或A ⊆B )__
相等关系
若B ⊇A ，且__A ⊇B __，则称事件A 与事件B 相等
__A ＝B __
并事件(和事件)
若某事件发生__当且仅当事件A 发生或事件B 发生__，则称此事件为事件A 与事件B 的并事件(或和事件)
__A ∪B ____(或A ＋B )__
交事件(积事件)
若某事件发生__当且仅当事件A 发生且事件B 发生__，则称此事件为事件A 与事件B 的交事件(或积事件)
__A ∩B ____(或AB )__
互斥事件若A ∩B 为__不可能__事件，则称事件A 与事件B 互斥
__A ∩B ＝∅__对立
若A ∩B 为__不可能__事件，A ∪B 为__必然事
__A ∩B ＝∅，__
事件件__，则称事件A与事件B互为对立事件__且A∪B＝Ω__
归纳拓展
概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：__0≤P(A)≤1__．
(2)必然事件的概率：P(A)＝__1__．
(3)不可能事件的概率：P(A)＝__0__．
(4)概率的加法公式：若事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝__P(A)＋P(B)__．
(5)对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件．P(A∪B)＝__1__，P(A)＝__1－P(B)__．
双基自测
题组一走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)事件发生的频率与概率是相同的．(×)
(2)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．(√)
(3)两个事件的和事件是指两个事件都得发生．(×)
(4)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能的．(×)
(5)对立事件肯定是互斥事件、互斥事件不一定是对立事件．(√)
题组二走进教材
2．(P121T4)一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是(D)
A．至多有一次中靶B．两次都中靶
C．只有一次中靶D．两次都不中靶
[解析]“至少有一次中靶”的对立事件是“两次都不中靶”．故选D．
3．(P133T4)同时掷两个骰子，向上点数不相同的概率为__5
6
__．
[解析]掷两个骰子一次，向上的点数共6×6＝36(种)可能的结果，其中点数相同的结
果共有6种，所以点数不相同的概率P＝1－6
36＝
5
6．
题组三走向高考
4．(2018·课标全国卷Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为(B)
A．0.3B．0.4
C ．0.6
D ．0.7
[解析]
设事件A 为“不用现金支付”，事件B 为“既用现金支付也用非现金支付”，
事件C 为“只用现金支付”，则P (A )＝1－P (B )－P (C )＝1－0.15－0.45＝0.4故选B ．
5．(2020·新课标Ⅰ)设O 为正方形ABCD 的中心，在O ，A ，B ，C ，D 中任取3点，则取到的3点共线的概率为(
A
)
A ．
15B ．
25
C ．
12
D ．
45
[解析]
O ，A ，B ，C ，D 中任取3点，共有OAB ，OAC ，OAD ，OBC ，OBD ，OCD ，
ABC ，ABD ，ACD ，BCD 十种，
其中共线为A ，O ，C 和B ，O ，D 两种，故取到的3点共线的概率为P ＝210＝1
5，
故选A ．
考点突破·互动探究考点一
随机事件的关系——自主练透
例1(1)(2020·辽宁六校协作体期中)从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2
个球，那么互斥而不对立的两个事件是(
C
)
A ．“至少有1个白球”和“都是红球”
B ．“至少有2个白球”和“至多有1个红球”
C ．“恰有1个白球”和“恰有2个白球”
D ．“至多有1个白球”和“都是红球”
(2)(2021·中山模拟)从1,2,3,4,5这5个数中任取两个数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．上述事件中，是对立事件的是(C
)
A ．①
B ．②④
C ．③
D ．①③
(3)设条件甲：“事件A 与事件B 是对立事件”，结论乙：“概率满足P (A )＋P (B )＝1”，则甲是乙的(
A
)
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
[解析](1)对于选项A，“至少有1个白球”和“都是红球”是对立事件，不符合题意；对于选项B，“至少有2个白球”表示取出2个球都是白色的，而“至多有1个红球”表示取出的球1个红球1个白球，或者2个都是白球，二者不是互斥事件，不符合题意；对于选项C，“恰有1个白球”表示取出2个球1个红球1个白球，与“恰有2个白球”是互斥而不对立的两个事件，符合题意；对于选项D，“至多有1个白球”表示取出的2个球1个红球1个白球，或者2个都是红球，与“都是红球”不是互斥事件，不符合题意．故选C．
(2)从1,2,3,4,5这5个数中任取两个数有3种情况：一奇一偶，2个奇数，2个偶数．其中“至少有一个是奇数”包含一奇一偶或2个奇数这两种情况，它与两个都是偶数是对立事件．又①中的事件可以同时发生，不是对立事件，故选C．
(3)若事件A与事件B是对立事件，则A∪B为必然事件，再由概率的加法公式得P(A)＋P(B)＝1；投掷一枚硬币3次，满足P(A)＋P(B)＝1，但A，B不一定是对立事件，如：事
件A：“至少出现一次正面”，事件B：“出现3次正面”，则P(A)＝7
8，P(B)＝
1
8，满足
P(A)＋P(B)＝1，但A，B不是对立事件，故甲是乙的充分不必要条件．
名师点拨
(1)准确把握互斥事件与对立事件的概念：①互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生；②对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，既有且仅有一个发生．
(2)判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．〔变式训练1〕
(2021·宁夏检测)抽查10件产品，设事件A为“至少有2件次品”，则事件A的对立事件为(B)
A．至多有2件次品B．至多有1件次品
C．至多有2件正品D．至少有2件正品
[解析]∵“至少有n个”的反面是“至多有n－1个”，又∵事件A“至少有2件次品”，∴事件A的对立事件为“至多有1件次品”．
考点二随机事件的概率——多维探究
角度1频率与概率
例2(2018·北京高考)电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类
电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
(2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；
(3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化．那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？(只需写出结论)
[解析](1)由题意知，样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2000，第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25＝50．
故所求概率为
50
2000＝0.025．
(2)由题意知，样本中获得好评的电影部数是
140×0.4＋50×0.2＋300×0.15＋200×0.25＋800×0.2＋510×0.1＝56＋10＋45＋50＋160＋51
＝372．
故所求概率估计为1－
372
2000＝0.814．
(3)增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率．
角度2统计与概率
例3(2021·云南名校适应性月考)下边茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中有一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是(A)
甲乙
988337
2109●9
A．4
5B．2
5
C．9
10D．7
10
[解析]记其中被污损的数字为x，由题知甲的5次综合测评的平均成绩是1
5×(80×2＋90×3＋8＋9＋2＋1＋0)＝90，
乙的5次综合测评的平均成绩是
1
5×(80×3＋90×2＋3＋3＋7＋x ＋9)＝442＋x 5
，令90＞442＋x 5x ＜8，即x 的取值可以是0～7，因此甲的平均成绩超过乙的平均
成绩的概率是
810＝4
5
．故选A ．
名师点拨
概率和频率的关系
概率可看成频率在理论上的稳定值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，它是频率的科学抽象，当试验次数越来越多时频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就近似地当作随机事件的概率．
〔变式训练2〕
(1)(2021·黑龙江大庆质检)某公司欲派甲、乙、丙3人到A ，B 两个城市出差，每人只去1个城市，且每个城市必须有人去，则A 城市恰好只有甲去的概率为(
B
)
A ．
15B ．
16
C ．
13
D ．
14
(2)(2021·吉林模拟)某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．
商品
顾客人数
甲乙丙丁100√×√√217×√×√200√√√×300√×√×85√×××98
×
√
×
×
①估计顾客同时购买乙和丙的概率；
②估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；
③如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？[解析]
(1)总的派法有：(甲、乙A )，(丙B )；(甲、乙B )，(丙A )；(甲、丙A )，(乙B )；
(甲、丙B )，(乙A )；(乙、丙A )，(甲B )；(乙、丙B )，(甲A )，共6种(或C 23A 2
2＝6(种))，A
城市恰好只有甲去有一种，故所求概率P ＝16
．
(2)①从统计表可以看出，在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为
200
1000
＝0.2．②从统计表可以看出，在这1000位顾客中有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为
100＋200
1000
＝0.3．
③与①同理．可得：
顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为200
1000
＝0.2，
顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100＋200＋300
1000＝0.6，
顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为100
1000
＝0.1．
所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．考点三,互斥事件、对立事件的概率——师生共研
例4(1)某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得．1000张奖
券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A 、B 、C ．求：
①P (A )，P (B )，P (C )；②1张奖券的中奖概率；
③1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．
(2)(2021·河南新乡模拟)从5个同类产品(其中3个正品，2个次品)中，任意抽取2个，下列事件发生概率为9
10
的是(C
)
A ．2个都是正品
B ．恰有1个是正品
C ．至少有1个正品
D ．至多有1个正品[解析]
(1)①P (A )＝11000，P (B )＝101000＝1
100
，
P (C )＝501000＝1
20
．
②因为事件A ，B ，C 两两互斥，所以P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝11000＋1100＋120
＝611000．故1张奖券的中奖概率为611000
．
③P (A ∪B )＝1－P (A ＋B )＝1＝989
1000
．
故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为
989 1000．
(2)从5个产品中任取2个的取法有5×4
2＝10种，其中2个都是正品的取法有3×2
2＝3
种，故2个都是正品的概率P1＝3
10；其对立事件是“至多有1个正品”，概率为P2
＝1－P1
＝1－3
10＝
7
10．恰有1个正品的取法有3×2＝6种，故恰有1个正品的概率P3
＝6
10＝
3
5．至
少有1个正品的概率P4＝P1＋P3＝3
10＋6
10＝9
10．
名师点拨
求复杂的互斥事件的概率的两种方法
(1)直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率求和公式计算．
(2)间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P(A)，即运用逆向思维(正难则反)．特别是“至多”“至少”型题目，用间接求法就显得较简便．〔变式训练3〕
(1)(2020·西安二模)2021年某省新高考将实行“3＋1＋2”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式．某同学已选了物理，记事件A：“他选择政治和地理”，事件B：“他选择化学和地理”，则事件A 与事件B(A)
A．是互斥事件，不是对立事件
B．是对立事件，不是互斥事件
C．既是互斥事件，也是对立事件
D．既不是互斥事件也不是对立事件
(2)根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3．则该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率为__0.8__；该地1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为__0.2__．
[解析](1)2021年某省新高考将实行“3＋1＋2”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式．某同学已选了物理，记事件A：“他选择政治和地理”，事件B：“他选择化学和地理”，则事件A与事件B不能同时发生，但能同时不发生，故事件A和B是互斥事件，但不是对立事件，故A 正确．故选A．
(2)记A表示事件：该车主购买甲种保险；B表示事件：该车主购买乙种保险但不购买甲种保险；C表示事件：该车主至少购买甲、乙两种保险中的一种；D表示事件：该车主甲、
乙两种保险都不购买．
①由题意得P (A )＝0.5，P (B )＝0.3，又C ＝A ∪B ，所以P (C )＝P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝0.5＋0.3＝0.8．
②因为D 与C 是对立事件，所以P (D )＝1－P (C )＝1－0.8＝0.2．
名师讲坛·素养提升
用正难则反的思想求互斥事件的概率
例5(1)(理)(2020·浙江湖州期末)现有5个不同编号的小球，其中黑色球2个，白
色球2个，红色球1个，若将其随机排成一列，则相同颜色的球都不相邻的概率是__
2
5
__．
(文)(2020·辽宁葫芦岛模拟)现有钉钉、腾讯、伯索云、直播云、云视讯5种在线教学软件，若某学校要从中随机选取3种作为教师“停课不停学”的教学工具，则其中钉钉、腾讯、云视讯至多有2种被选取的概率为__
9
10
__．(2)(2021·洛阳模拟)经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如下：排队人数012345人及5人以上
概率0.1
0.16
0.3
0.3
0.1
0.04
求：
(1)至多2人排队等候的概率是多少？(2)至少3人排队等候的概率是多少？[解析]
(1)(理)5个不同编号的小球排列有A 55＝120种排法，只有黑色(或白色)小球相
邻的排法有A 22A 22A 23种排法；黑色、白色小球分别相邻的排法有A 22A 22A 3
3种排法，故有相同
颜色小球相邻的排法有2A 22A 22A 23＋A 22A 22A 33＝72种排法，故所求概率P ＝
120－72120
＝25．(文)记钉钉—D ，腾讯—T ，伯索云—B ，直播云—Z ，云视讯—Y ，从5种软件中选3种的选法与从中选2种的选法种数相同，有(D 、T )，(D 、B )，(D 、Z )，(D 、Y )，(T 、B )，(T 、Z )，(T 、Y )，(B 、Z )，(B 、Y )，(Z 、Y )共10种，记事件“钉钉、腾讯、云视讯至少有2种被选中”为A ，则A －为“钉钉、腾讯、云视讯中选3种”就1种，∴P (A )＝1－P (A －)＝1－1
10＝
910
．(2)记“无人排队等候”为事件A ，“1人排队等候”为事件B ，“2人排队等候”为事件C ，“3人排队等候”为事件D ，“4人排队等候”为事件E ，“5人及5人以上排队等候”为事件F ，则事件A ，B ，C ，D ，E ，F 互斥．
①记“至多2人排队等候”为事件G ，则G ＝A ∪B ∪C ，所以P (G )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )
＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56．
②解法一：记“至少3人排队等候”为事件H，则H＝D∪E∪F，所以P(H)＝P(D∪E ∪F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44．
解法二：记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44
．
名师点拨
“正难则反”的思想是一种常见的数学思想，如反证法、补集的思想都是“正难则反”思想的体现．在解决问题时，如果从问题的正面入手比较复杂或不易解决，那么尝试采用“正难则反”思想往往会起到事半功倍的效果，大大降低题目的难度．在求对立事件的概率时，经常应用“正难则反”的思想，即若事件A与事件B互为对立事件，在求P(A)或P(B)时，利用公式P(A)＝1－P(B)先求容易的一个，再求另一个．
〔变式训练4〕
某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．
一次购物量1至4
件
5至8
件
9至
12件
13至
16件
17件及
以上
顾客数(人)x3025y10结算时间
(分钟/人)
1 1.5
2 2.53
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%．
(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)
[解析](1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，
所以x＝15，y＝20．
该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为
1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10
100＝1.9(分钟)．
(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将
频率视为概率得P(A1)＝20
100＝
1
5，P(A2
)＝10
100＝
1
10．
P(A)＝1－P(A1)－P(A2)＝1－1
5－1
10＝
7
10．故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟
的概率为7
10．
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