高中数学第一章立体几何初步1.7简单几何体的再认识第20课时球作业高一数学

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解析：由43πR3＝332π，所以 R＝2.所以正三棱柱的高 h＝4.设其
底面边长为 a，则13·23a＝2，所以 a＝4
3.所以
V＝
3 4 ·(4
3)2·4＝
48 3.
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7．已知四棱锥 S－ABCD 的所有顶点在同一球面上，底面
ABCD 是正方形且球心 O 在此平面内，当四棱锥体积取得最大值 时，其表面积等于 16＋16 3，则球 O 的体积等于( D )
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内容(nèiróng)总结
第一章
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解析：设等边圆柱底面圆半径为 r，球半径为 R，正方体棱长 为 a，则 πr2·2r＝43πR3＝a3，Rr3＝32，ar3＝2π，
S 圆柱＝6πr2，S 球＝4πR2，S 正方体＝6a2，
SS圆球柱＝46ππRr22＝23·Rr 2＝ 3 23<1， SS正圆方柱体＝66πar22＝1π·ar2＝ 3 4π>1.故选 A.
设两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高分别为 h1， h2，则hh21＝rr11－＋rr2211＝13.
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三、解答题(本大题共 2 小题，共 25 分．解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤)
12．(12 分)某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形， 左右两端均为半球形，若图中 r＝1，l＝3，试AD＝BD＝x.又因为 SC 为直径，所以∠
SBC＝∠SAC＝90°，所以∠DBC＝∠DAC＝45°，所以在△BDC 中，
BD＝4－x，所以 x＝4－x，解得 x＝2，所以 AD＝BD＝2，所以△
ABD
为正三角形，所以
V＝13S△ABD×4＝4
3
3 .
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3 A. 3
23 B. 3
43 C. 3
53 D. 3
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解析：
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由题可知 AB 一定在与直径 SC 垂直的小圆面上，作过 AB 的
小圆交直径 SC 于 D，如图所示，设 SD＝x，则 DC＝4－x，此时
所求棱锥即分割成两个棱锥 S—ABD 和 C—ABD.在△SAD 和△
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二、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分) 9．把直径分别为 6 cm,8 cm,10 cm 的三个铁球熔成一个大铁 球，则这个大铁球的半径为___6____cm.
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解析：设大铁球的半径为 R cm，由43πR3＝43π×623＋43π×823 ＋43π×1203，得 R3＝216，得 R＝6.
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解：该组合体的表面积 S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π， 该组合体的体积 V＝43πr3＋πr2l＝43π×13＋π×12×3＝133π.
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13．(13 分)一个球内有相距 9 cm 的两个平行截面，它们的面 积分别为 49π cm2 和 400π cm2，求球的表面积．
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5．已知，棱长都相等的正三棱锥内接于一个球，某学生画出 四个过球心的平面截球与正三棱锥所得的图形，如图所示，则 ( C)
A．以上四个图形都是正确的 B．只有(2)(4)是正确的 C．只有(4)是错误的 D．只有(1)(2)是正确的
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解析：棱长都相等的正三棱锥内接于一个球，过棱锥任何三 个顶点的截面都不过球心．
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6．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已
知这个球的体积是332π，那么这个三棱柱的体积是( D )
A．96 3
B．16 3
C．24 3
D．48 3
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8．若等边圆柱(轴截面是正方形)、球、正方体的体积相等， 则它们的表面积的大小关系是( A )
A．S 球<S 圆柱<S 正方体 B．S 正方体<S 球<S 圆柱 C．S 圆柱<S 球<S 正方体 D．S 球<S 正方体<S 圆柱
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3．一个正方体与一个球表面积相等，那么它们的体积比是
(A)
6π A. 6
π B. 2
2π C. 2
3π D. π
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解析：由表面积相等得到正方体的棱长 a 和球的半径 r 的关系
a＝
36πr，再由体积公式求得体积比为
6π 6.
V＝V 圆锥－V 球＝13π·( 3r)2·3r－43πr3＝53πr3.
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将球取出后，设容器中水的深度为 h，则水面圆的半径为 33h， 从而容器内水的体积为：V′＝13π· 33h2·h＝19πh3，由 V＝V′，所 以 h＝3 15r.
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15．(15 分)有一个倒圆锥形的容器，它的轴截面是正三角形， 在这个容器内注入水，并且放入一个半径是 r 的钢球，这时球面恰 好与水面相切，那么将球从圆锥形容器中取出后，水面高是多少？
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解：
如图作出轴截面，因容器的轴截面是一个正三角形，根据切 线的性质知当球在容器内时，水面的深度为 3r，水面半径为 3r， 则容器内水的体积为：
解：
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(1)当截面在球心的同侧时，球的轴截面如图所示，由球的截 面性质知，AO1∥BO2，且 O1，O2 分别为两截面圆的圆心，则 OO1 ⊥AO1，OO2⊥BO2.设球的半径为 R.
因为 π·O2B2＝49π，所以 O2B＝7 cm. 因为 π·O1A2＝400π，所以 O1A＝20 cm. 设 OO1＝x cm，则 OO2＝(x＋9) cm. 在 Rt△OO1A 中，R2＝x2＋202， 在 Rt△OO2B 中，R2＝(x＋9)2＋72， 所以 x2＋202＝72＋(x＋9)2，解得 x＝15， 所以 R2＝x2＋202＝252，所以 R＝25 cm.
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(2)当截面位于球的两侧时，球的轴截面如图所示，由已知， 类似于(1)得，
x2＋202＝72＋(9－x)2，解得 x＝－15，舍去． 所以 S 球＝4πR2＝2 500π cm2.
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——能力提升——
14．(5 分)已知球的直径 SC＝4，A，B 是该球球面上的两点， AB＝2，∠ASC＝∠BSC＝45°，则棱锥 S—ABC 的体积为( C )
4 2π A. 3
16 2π B. 3
32 2π C. 3
64 2π D. 3
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解析：
由题意，知当此四棱锥体积取得最大值时，四棱锥为正四棱 锥．如图，设球 O 的半径为 R，则 AC＝2R，SO＝R，∴该四棱锥 的底面边长为 AB＝ 2R，则有( 2R)2＋4×12× 2R× 22R2＋R2 ＝16＋16 3，解得 R＝2 2，∴球 O 的体积是43πR3＝6432π，故选 D.
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11．已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周 都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的136，则这
1 两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为___3___.
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解析：设球心为 O1，半径为 r1，圆锥底面圆圆心为 O2，半径 为 r2，则有136×4πr12＝πr22，即 r2＝ 23r1，所以 O1O2＝ r21－r22＝r21，
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2．若长方体的一个顶点上三条棱长分别是 3,4,5，且它的 8 个
顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( B )
A．25π
B．50π
C．125π
D．150π
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解析：由题意，知该球为长方体的外接球，设球的半径为 R， 则(2R)2＝32＋42＋52，R2＝225，∴S 球＝4πR2＝4π×225＝50π.
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10．已知 S，A，B，C 是球 O 表面上的点，如图，SA⊥平面 ABC，AB⊥BC，SA＝1，AB＝BC＝2，则球 O 的表面积为__9_π___.
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解析：由题知：△SAC，△SAB，△SBC 均为直角三角形，O 是 SC 的中点，从而 OB＝OA＝12SC＝OS＝OC＝32，所以球 O 的表 面积为 9π.
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——基础巩固——
一、选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1．若某星球的半径是地球半径的一半，则地球的体积是该星
球体积的( B )
A．4 倍
B．8 倍
1
1
C.4
D.8
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第五页，共三十八页。
解析：设该星球的半径为 r，则地球的半径为 2r，所以地球的 体积 V1＝43π(2r)3，该星球的体积 V2＝43πr3，因此地球的体积是该星 球体积的 8 倍．
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4．一平面截一球得到直径是 6 cm 的圆面，球心到这个圆面的
距离是 4 cm，则该球的体积是( C )
100π A. 3
cm3
208π B. 3
cm3
500π C. 3
cm3
416 13π D. 3
cm3
解析：根据球的截面的性质，得球的半径 R＝ 32＋42＝5 (cm)，所 以 V 球＝43πR3＝5030π(cm3)．
第一章
立体几何(lìtǐjǐhé)初步
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第一页，共三十八页。
§7 简单几何体的再认识(rèn shi) 第20课时 球
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第二页，共三十八页。
课时作业基设础计训练（45分钟）
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——作业目标—— 1.能识别球的表面积和体积公式. 2.会应用球的表面积和体积公式进行计算和解决实际问题. 3.会解决与球有关的组合体以及内切球和外接球的表面积和体积 计算问题.