高中数学第二章Ⅰ2.1.2第1课时指数函数的图象及性质学业分层测评新人教A版必修62

2.1.2 第1课时 指数函数的图象及性质
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．函数y ＝(a 2
－4a ＋4)a x
是指数函数，则a 的值是( ) A ．4 B ．1或3 C ．3
D ．1
【解析】 由题意得⎩⎪⎨⎪
⎧
a >0a ≠1
a 2－4a ＋4＝1，
得a ＝3，故选C.
【答案】 C
2．下列各函数中，是指数函数的是( ) A ．y ＝(－3)x
B ．y ＝－3x
C ．y ＝3
x －1
D ．y ＝
【解析】 根据指数函数的定义y ＝a x
(a >0且a ≠1)，可知只有D 项正确．故选D. 【答案】 D 3．函数f (x )＝2|x |－1
在区间[－1,2]上的值域是( )
A ．[1,4] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2
C ．[1,2]
D.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，1 【解析】 函数f (x )＝2
t －1
在R 上是增函数，∵－1≤x ≤2，∴0≤|x |≤2，∴t ∈[0,2]，
∴f (0)≤f (t )≤f (2)，即12≤f (t )≤2，∴函数的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，故选B . 【答案】 B
4．函数y ＝a |x |
(a >1)的图象是( )
【解析】 当x ≥0时，y ＝a |x |的图象与指数函数y ＝a x
(a >1)的图象相同，当x <0时，y ＝a |x |
与y ＝a －x
的图象相同，由此判断B 正确．
【答案】 B
5．如图2­1­1是指数函数①y ＝a x
，②y ＝b x
，③y ＝c x
，④y ＝d x
的图象，则a ，b ，c ，d 与1的大小关系是( )
图2­1­1
A ．a ＜b ＜1＜c ＜d
B ．b ＜a ＜1＜d ＜c
C ．1＜a ＜b ＜c ＜d
D ．a ＜b ＜1＜d ＜c
【解析】 法一 当指数函数底数大于1时，图象上升，且当底数越大，图象向上越靠近于y 轴；当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向右越靠近于x 轴，得b ＜
a ＜1＜d ＜c .
法二 令x ＝1，由题图知c 1
＞d 1
＞a 1
＞b 1
，∴b ＜a ＜1＜d ＜c . 【答案】 B 二、填空题 6．指数函数f (x )＝a
x ＋1
的图象恒过定点________．
【解析】 由函数y ＝a x
恒过(0,1)点，可得当x ＋1＝0，即x ＝－1时，y ＝1恒成立，故函数恒过点(－1,1)．
【答案】 (－1,1)
7．函数f (x )＝3x －1的定义域为________．
【解析】 由x －1≥0得x ≥1，所以函数f (x )＝3x －1的定义域为[1，＋∞)． 【答案】 [1，＋∞) 8．函数f (x )＝3
x －3
(1<x ≤5)的值域为________．
【解析】 因为1<x ≤5，所以－2<x －3≤2，而函数f (x )＝3x
是单调递增的，于是有
19
<f (x )≤32
＝9，即值域为⎝ ⎛⎦
⎥⎤19，9.
【答案】 ⎝ ⎛⎦
⎥⎤19，9 三、解答题
9．已知函数f (x )＝a x －1
(x ≥0)的图象经过点⎝ ⎛⎭
⎪⎫2，12，其中a >0且a ≠1. (1)求a 的值；
(2)求函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域．
【解】 (1)因为函数图象过点⎝ ⎛⎭
⎪⎫2，12， 所以a
2－1
＝12，则a ＝12
. (2)由(1)得f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x －1
(x ≥0)，
由x ≥0，得x －1≥－1，于是0<⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1≤⎝ ⎛⎭
⎪⎫12－1
＝2.
所以所求函数的值域为(0,2]．
10．已知f (x )＝9x －2×3x
＋4，x ∈[－1,2]． (1)设t ＝3x
，x ∈[－1,2]，求t 的最大值与最小值； (2)求f (x )的最大值与最小值.
【解】 (1)设t ＝3x ，∵x ∈[－1,2]，函数t ＝3x
在[－1,2]上是增函数，故有13≤t ≤9，
故t 的最大值为9，t 的最小值为1
3
.
(2)由f (x )＝9x
－2×3x
＋4＝t 2
－2t ＋4＝(t －1)2
＋3，可得此二次函数的对称轴为t ＝1，且1
3
≤t ≤9， 故当t ＝1时，函数f (x )有最小值为3，当t ＝9时，函数f (x )有最大值为67.
[能力提升]
1．若a >1，－1<b <0，则函数y ＝a x
＋b 的图象一定在( ) A ．第一、二、三象限 B ．第一、三、四象限 C ．第二、三、四象限 D ．第一、二、四象限
【解析】 ∵a >1，且－1<b <0，故其图象如图所示．
【答案】 A
2．函数y ＝xa x
|x |
(0<a <1)的图象的大致形状是( )
【解析】 由函数式可知当x >0时，y ＝a x (0<a <1)，当x <0时，y ＝－a x
(0<a <1)，由函数的图象可知，函数的大致形状是D 选项．
【答案】 D
3．函数f (x )＝3
x
3x ＋1
的值域是________．
【解析】 函数y ＝f (x )＝3x
3x ＋1，即有3x ＝－y y －1，由于3x
＞0，则－y y －1＞0，
解得0＜y ＜1，值域为(0,1)． 【答案】 (0,1)
4．已知函数f (x )＝b ·a x
(其中a ，b 为常数且a ＞0，a ≠1)的图象经过点A (1,8)，B (3,32)． (1)求f (x )的解析式；
(2)若不等式＋1－2m≥0在x ∈(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取
值范围．
【解】 (1)把点A (1,8)，B (3,32)代入函数f (x )＝b ·a x
，可得⎩
⎪⎨⎪⎧
a b ＝8
b·a 3
＝32，得
⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝2
b ＝4，∴f (x )＝4·2x
.
(2)不等式＋1－2m≥0在x ∈(－∞，1]上恒成立，
即m≤12·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1
2在x ∈(－∞，1]上恒成立．
令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x
，则m≤12·t 2＋12t ＋12.
记g(t)＝12·t 2
＋12t ＋12＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋38
，
由x ∈(－∞，1]，可得t≥1
2
.
故当t ＝12时，函数g(t)取得最小值为7
8.
由题意可得，m≤g(t)min ，∴m≤7
8
.。