宁夏六盘山高级中学高三第四次模拟考试——数学理数学

宁夏六盘山高级中学 2017届高三第四次模拟考试
数学（理）试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～23题为选考题，其它题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．考生必须按照题号在答题卡各题号相对应的答题区域内(黑色线框)作答,写在草稿纸上、超出答题区域或非题号对应的答题区域的答案一律无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,正确的只有一项． 1.设集合，{|21,}x
B y y x R ==-∈，则（ ） A ． B ．
C ．
D ． 2.复数（为虚数单位），则复数为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
3.下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( ) A ．21y x =+ B ． C ． D.
4.若点到直线的距离比到点的距离大1，则点的轨迹方程为（ ） A ． B ． C ． D.
5.等比数列的各项均为正数，且，，则( )
A ．
B ． C. 20
D. 40
6.已知正方形的边长为6，在边上且，为的中点， 则 ( )
A ．
B ． C. D ．
7.设甲乙两人每次射击命中目标的概率分别为和，且各次射击相互独立，若按照甲、乙、甲、乙的次序轮流射击，直到有一人击中目标就停止射击，则停止射击时，甲射击了两次的概率是（ ）
A ．
B ． C.
D. 8.已知、是两条不同的直线,、是两个不同的平面,则下列正确的是（ ） ①若,则; ②若,且则; ③若,则; ④若, ,且,则.
A. ①②
B. ②③
C.③④
D.④①
9.中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器————商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：升），若，其体积为12.6（立方升），则图中的为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10.若命题：从有2件正品和2件次品的产品中任选2件得
到都是正品的概率为三分之一；命题：在边长为4的正方形内任取一点，则的概率为，则下列命题是真命题的是（ ）
A. B ． C ． D ．
11.已知是双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的右焦点，，分别为其左、右顶点.为坐标原点，为其上
一点，轴.过点的直线与线段交于点，与轴交于点,直线与轴交于点，若，则双曲线的离心率为（ ) A ．3 B ．4 C.5 D ．6
12.已知函数在定义域上的导函数为，若方程无解,且2017]2017)([=-x
x f f ，当
kx x x x g --=cos sin )(在上与在上的单调性相同时，则实数的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13.某校今年计划招聘女教师人，男教师人，若满足25
26x y x y x -≥⎧⎪
-≤⎨⎪<⎩
，则该校今年计划招聘教师最多
人．
14.在二项式的展开式中，含项的系数是，则_________．
15.执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为 .
16.设公差不为0的等差数列的前项和为，若，，成等比数列，且
),,0(*∈>>N n m n m ，则的值是 ．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)
已知函数()222cos 1,f x x x x R =--∈． （1)求函数的最小正周期和最小值；
（2)在中，，，的对边分别为, ,，已知()0,sin 2sin c f C B A ===， 求，的值．
18.(本小题满分12分)
如图，在以为顶点的多面体中，平面，平面，
0//,,60,244AD BC AB CD ABC BC AF AD DE =∠=====．
（1)请在图中作出平面，使得，且，并说明理由； （2)求直线和平面所成角的正弦值．
19.(本小题满分12分)
2017年春晚过后，为了研究演员上春晚次数与受关注度的关系，某网站对其中一位经常上春晚的演员上春晚次数与受关注度进行了统计，得到如下数据：
20.(本小题满分12分)
已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的离心率为，四个顶点构成的菱形的面积是4，圆
()()2
22:101M x y r r ++=<<.过椭圆的上顶点作圆的两条切线分别与椭圆相交于两点（不同于点），直线的斜率分别为. （1)求椭圆的方程；
（2)当变化时，①求的值；②试问直线是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由.
21.(本小题满分12分)
设，曲线在点处的切线与直线垂直． （1)求的值；
（2)若对于任意的，恒成立，求的取值范围；
请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分) 选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，圆的方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=θ
θ
sin 21cos 21y x （为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极
轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的单位长度，直线的极坐标方程为
)(sin cos R m m ∈=+θρθρ.
（1)当时，判断直线与的关系；
（2)当上有且只有一点到直线的距离等于时，求上到直线距离为的点的坐标. 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数,01
()1,1x x f x x x
<<⎧⎪
=⎨≥⎪⎩.
（1)当时，若对任意恒成立，求实数的取值范围； （2)当时，求的最大值.
六盘山高级中学2017届高三年级第四次模拟试卷答案
一、选择题：
1D 2B 3C 4D 5A 6A 7D 8B 9A
10B 11C 12C
二、填空题： 13____10___ 14____-99__ 15____30____ 16_____9_____
三.解答题：
17（本小题满分12分）
解: (1)2()22cos 12(cos 21)1f x x x x x =
--=-+-
2cos 222sin(2)26
x x x π
=--=--， 所以的最小正周期,最小值为.
(2)因为()2sin(2)20,6
f C C π=--=所以. 又ππ11π(0,π),2(,),666
C C ∈-
∈-所以，得. 因为，由正弦定理得，
由余弦定理得，22222222cos 423c a b ab C a a a a =+-=+-=， 又，所以.
18.解：（1）如图，取中点，连接，则平面即为所求的平面. 显然，以下只需证明平面；
∵2,//BC AD AD BC =，∴且，
∴四边形为平行四边形，∴. 又平面，平面，∴平面. ∵平面，平面，∴. 又平面，平面，∴平面， 又平面平面 ∴平面平面. 又平面，∴平面，即平面.
（2）过点作并交于，∵平面，∴，即两两垂直，以为原点，以所在直线分别为轴， 建立如图所示空间直角坐标系.在等腰梯形中，
∵0
60,24ABG BC AD ∠===，∴，
则
))
1,0,B
C
-.∵，
∴，∴()()
0,4,0,3,3,1BC BE ==-. 设平面的法向量，
由0
n BC n BE ⎧=⎪⎨=⎪
⎩，得4030y y z =⎧⎪⎨++=⎪⎩，取，可得平面的一个法向量.
设直线和平面所成角为， 又∵，
∴
3sin cos ,26
n EF
θ==
=
， 故直线和平面所成角的正弦值为. 19.解：（1）由题意可知,， ∴
当时， 即该演员上春晚12次时的粉丝数约为122万人.
(2)经计算可知
,这五个“即时均值”分别为:5、5、7、10、10 ∴的可能取值有10、12、15、17、20
∴
20.解：（1）由题设知，，，又， 解得. 故所求椭圆的方程是. （2r =，化简得()222111210r k k r --+-=，
对于直线，同理有()
222221210r k k r --+-=，
于是是方程()
2221210r k k r --+-=的两实根，故.
考虑到时，是椭圆的下顶点，趋近于椭圆的上顶点，故若过定点，则猜想定点在轴上.
由122
11
4
y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()22
114180k x k x ++=，于是有22
112222221122841841,,,41414141k k k k B D k k k k ⎛⎫⎛⎫--+--+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭.
直线的斜率为，直线的方程为21121221141841341k k k k y x k k ⎛⎫
-++--=- ⎪+-+⎝⎭
，
令，得()22112112221114182055
413413
341k k k k k y k k k -+++=+==-
+-+-+，故直线过定点. 21.解：（Ⅰ）'2
4(
4ln )(31)3(4)ln ()(31)
x a
x x x a x
x f x x +++-+=+ 由题设，∴ ∴. （Ⅱ），，，即
设1
()4ln (32)g x x m x x
=
--
-，即，. 2'
22
4134()(3)mx x m
g x m x x x -+-=-+=，
①若，，这与题设矛盾
②若，当'()0x g x ∈>，单调递增，，与题设矛盾.
③若，当，单调递减，，即不等式成立 综上所述， .
22.解：（1）圆的普通方程为：，
直线的直角坐标方程为：， 圆心（1,1）到直线的距离为22
1
2
32<=
-=
d ， 所以直线与相交.
（2）上有且只有一点到直线的距离等于，即圆心到直线的距离为， 过圆心与平行的直线方程式为：， 联立方程组⎩⎨
⎧=-+-=-+2
)1()1(022
2
y x y x 解得
故所求点为（2,0）和（0,2）
23.解：（1）当时，
12121x x x x -+-≥-+-=
（2）当时，
21,01 ()1
1,1
x x
g x
x x
x
-<<
⎧
⎪
=⎨
-+≥
⎪⎩
可知在上单调递增，在单调递减….。