2022年浙江省中考数学复习课件：第21课 三角函数及其应用

∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠BAD＝90°，AC＝BD，AO＝OC，BO＝DO，∴AO＝BO，∴△AOB 是等边三
角形，∴AB＝AO＝BO，
∵AB＝2，∴BO＝2，∴BD＝2BO＝4，∴矩形对角线的长为 4；
(2)由勾股定理得：AD＝ BD2－AB2 ＝ 42－22 ＝2 3 ，
∵OA＝OD，OE⊥AD 于点 E，∴AE＝DE＝21
【解析】如图作 DH⊥AB 于 H，延长 DE 交 BC 于 F. 在 Rt△ADH 中，AD＝130 米， DH∶AH＝1∶2.4， ∴DH＝50(米)，易得四边形 DHBF 是矩形， ∴BF＝DH＝50(米)， 在 Rt△EFB 中，∠BEF＝45°，∴EF＝BF＝50 米， 在 Rt△EFC 中，FC＝EF·tan 60°， ∴CF＝50× 3 ≈86.6(米)，∴BC＝BF＋CF＝136.6(米).
3 ＝1， 3
∴AC＝2DC＝2，
∵E，F 分别为 AB，BC 的中点，
∴EF＝12 AC＝1.
跟踪训练 1．(2021·重庆 A 卷)如图，三角形纸片 ABC 中，点 D，E，F 分别在边 AB，AC， BC 上，BF＝4，CF＝6，将这张纸片沿直线 DE 翻折，点 A 与点 F 重合．若 DE ∥BC，AF＝EF，求四边形 ADFE 的面积．
∴△ADE 是等腰直角三角形，
∴AD＝
2 AE＝
3 2 ×4
6 ＝3 2 3 (km)；
(2)由(1)得：△ADE 是等腰直角三角形，
∴AD＝ 2 AE＝3 2 3 (km)，∠ADE＝45°， ∵∠CDB＝135°，∴∠ADB＝135°－45°＝90°，
∴AB＝ AD2＋BD2 ＝
3
2
32＋322
2.(2021·包头)某工程队准备从 A 到 B 修建一条隧道，测量员在直线 AB 的同一侧 选定 C，D 两个观测点，如图．测得 AC 长为32 2 km，CD 长为34 ( 2 ＋ 6 )km， BD 长为32 km，∠ACD＝60°，∠CDB＝135°(A，B，C，D 在同一水平面内). (1)求 A，D 两点之间的距离； (2)求隧道 AB 的长度．
∴EF＝ BE2－BF2 ＝ 52－42 ＝3， ∵AE 平分∠BAC，EF⊥AB，∠ACE＝90°， ∴EC＝EF＝3， 由(1)得：四边形 AECD 是平行四边形， ∴AD＝EC＝3. 反思：构造直角三角形，利用三角函数转化为线段的比例．
【走进重高】
1
1．(2021·杭州)计算：sin 30°＝__2__．
2．(2021·北京)如图，在四边形 ABCD 中，∠ACB＝∠CAD＝90°，点 E 在 BC 上， AE∥DC，EF⊥AB，垂足为 F. (1)求证：四边形 AECD 是平行四边形； (2)若 AE 平分∠BAC，BE＝5，cos B＝54 ，求 BF 和 AD 的长．
【解析】(1)∵∠ACB＝∠CAD＝90°， ∴AD∥CE， ∵AE∥DC，∴四边形 AECD 是平行四边形； (2)∵EF⊥AB，∴∠BFE＝90°， ∵cos B＝54 ＝BBFE ， ∴BF＝45 BE＝45 ×5＝4，
在 Rt△EFC 中，EF＝ CF2－CE2 ＝ 13－4 ＝3，
∴tan
∠FBD＝FBEE
＝3 BC＋CE
＝130
.
反思：在直角三角形中，根据各三角函数的比值求解．
三角函数的实际应用 例 3.(2021·泰安)如图，为了测量某建筑物 BC 的高度，小颖采用了如下的方法： 先从与建筑物底端 B 在同一水平线上的 A 点出发，沿斜坡 AD 行走 130 米至坡顶 D 处，再从 D 处沿水平方向继续前行若干米后至点 E 处，在 E 点测得该建筑物顶 端 C 的仰角为 60°，建筑物底端 B 的俯角为 45°，点 A，B，C，D，E 在同一平面 内，斜坡 AD 的坡度 i＝1∶2.4.根据小颖的测量数据，计算出建筑物 BC 的高度．(参 考数据： 3 ≈1.732)
1．三边之间的关系：___a_2_＋__b_2_＝__c_2 ． 2．两锐角之间的关系：__∠__A__＋__∠__B_＝__9_0_°_．
3．边角之间的关系：
a
sin A＝cos B＝__c__，
b
a
sin B＝cos A＝__c__，tan A＝__b__，
b
tan B＝__a__．
四、解直角三角形的应用 1．仰角和俯角：如图 1，在同一铅垂面内视线和水平线间的夹角，视线在水平
A．35
B．54
C．37
D．34
2．如图，矩形 ABCD 的对角线交于点 O.已知 AB＝m，∠BAC＝∠α，则下列
结论错误的是(C )
A．∠BDC＝∠α
B．BC＝m·tan α
C．AO＝2smin α
D．BD＝coms α
反思：在直角三角形中，利用三角函数概念写出对应线段比．
解直角三角形
例 2.(2021·宜昌)如图，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则 cos ∠ABC 的值为
2 ≈1.41， 3 ≈1.73).
【解析】在 Rt△MCB 中，∠MCB＝60°，CB＝30 m， tan∠MCB＝MCBB ， ∴MB＝CB·tan ∠MCB＝30× 3 ≈51.9(m)， ∵山坡 DF 的坡度 i＝1∶1.25，EF＝50 m，∴DE＝40(m)， ∵ND＝85 DE，∴ND＝25(m)， ∴两个通信基站顶端 M 与顶端 N 的高度差＝40＋25－51.9＝13.1(m).
三角函数的数学应用 例 4.(2021·宁波)如图，在△ABC 中，∠B＝45°，∠C＝60°，AD⊥BC 于点 D，BD ＝ 3 .若 E，F 分别为 AB，BC 的中点，求 EF 的长．
【解析】∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵∠B＝45°，BD＝ 3 ，∴AD＝BD＝ 3 ，
∵∠C＝60°，∴DC＝tanAD60° ＝
(B )
A．
2 3
B．
2 2
C．34
D．23 2
跟踪训练 1．(2021·金华)已知：如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，∠BOC ＝120°，AB＝2. (1)求矩形对角线的长． (2)过 O 作 OE⊥AD 于点 E，连结 BE.记∠ABE＝α，求 tan α 的值．
【解析】(1)∵∠BOC＝120°，∴∠AOB＝60°，
AD＝
3
，∴tan α＝AAEB
＝
3 2
.
2．(2021·上海)如图，已知△ABD 中，AC⊥BD，BC＝8，CD＝4，cos ∠ABC＝45 ， BF 为 AD 边上的中线． (1)求 AC 的长； (2)求 tan ∠FBD 的值．
【解析】(1)∵AC⊥BD，∴cos ∠ABC＝BACB ＝45 ， ∵BC＝8，∴AB＝10， 在 Rt△ACB 中，由勾股定理得， AC＝ AB2－BC2 ＝ 102－82 ＝6， 即 AC 的长为 6；
第21课 三角函数及其应用
【学前检测】
1．(2021·天津)tan 30°的值等于(A )
A．
3 3
B．
2 2
C．1 D．2
2．(2020·杭州)如图，在△ABC 中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C 所对的边分别
为 a，b，c，则( B )
A．c＝b sin B C．a＝b tan B
B．b＝c sin B D．b＝c tan B
∠A的对边
a
(1)sin A＝ 斜边 ＝___c___．
∠A的邻边
b
(2)cos A＝
＝___c____．
斜边
∠A的对边
a
(3)tan A＝∠A的邻边 ＝___b___．
锐角 A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的_锐___角__三__角__函__数___．
二、特殊角的三角函数值
三、直角三角形中的边角关系
线__上__方___的叫做仰角，在水平线__下__方___的叫做俯角．
2．坡度(坡比)和坡角：如图 2，通常把坡面的铅直高度 h 和__水__平__宽__度__l__之比
h
叫做坡度(或叫做坡比)，用字母__i__表示，即 i＝___l __；坡面与__水__平__面___的
h
夹角叫做坡角，记作 α.所以 i＝___l ____＝tan α.
3．方向角：指北或指南的方向线与目标方向所成的_小__于__9_0__°_的角叫做方向角．
【思维导图】
【考点剖析】 锐角三角函数的概念
例 1.已知∠α 为锐角，且 sin α＝21 ，则∠α＝(A )
A．30° B．45° C．60° D．90°
跟踪训练
1．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，则 sin B＝(A )
跟踪训练 1.(2021·重庆 A 卷)如图，相邻两个山坡上，分别有垂直于水平面的通信基站 MA 和 ND.甲在山脚点 C 处测得通信基站顶端 M 的仰角为 60°，测得点 C 距离通信基 站 MA 的水平距离 CB 为 30 m；乙在另一座山脚点 F 处测得点 F 距离通信基站 ND 的水平距离 FE 为 50 m，测得山坡 DF 的坡度 i＝1∶1.25.若 ND＝85 DE，点 C， B，E，F 在同一水平线上，求两个通信基站顶端 M 与顶端 N 的高度差(参考数据：
cos 37°≈0.8，tan 37°≈0.75)( D)
A.7.5 米 C．9 米
B．8 米 D．10 米
5．(2021·衢州)计算： 9 ＋12 0 －|－3|＋2cos 60°. 【解析】原式＝3＋1－3＋2×12 ＝2.
【知识清单】
一、三角函数的定义
锐角三角函数的概念
在 Rt△ABC 中，∠C 是直角，∠A，∠B，∠C 的对边分别是 a，b，c，如图．
＝3(km)，
即隧道 AB 的长度为 3 km.
反思：三角函数的实际应用题的一般方法： 1．只给出实物图的，先画出其平面图形，将题干中的已知量在平面图中表示出 来．若已经给出平面图形，则直接将题干中的已知量在平面图中表示出来． 2．找到与已知量和未知量相关联的三角形，弄清已知条件中各量之间的关系． 3．若三角形是直角三角形，根据边角关系进行计算．若三角形不是直角三角形， 可通过添加辅助线构造直角三角形来解决，其中作某边上的高是常用的辅助线．
【解析】(1)过 A 作 AE⊥CD 于 E，如图所示：
则∠AEC＝∠AED＝90°，
∵∠ACD＝60°，∴∠CAE＝90°－60°＝30°，
∴CE＝21 AC＝34 2 (km)，AE＝ 3 CE＝34 6 (km)，
∴DE＝CD－CE＝43 ( 2 ＋ 6 )－34 2 ＝34 6 (km)，∴AE＝DE，
【解析】∵纸片沿直线 DE 翻折，点 A 与点 F 重合，∴DE 垂直平分 AF，AD＝ DF，AE＝EF. ∵DE∥BC，∴DE 为△ABC 的中位线． ∴DE＝12 BC＝21 (BF＋CF)＝12 (4＋6)＝5. ∵AF＝EF，∴△AEF 为等边三角形． ∴∠FAC＝60°.
在 Rt△AFC 中， ∵tan ∠FAC＝CAFF ，∴AF＝tanCF60° ＝2 3 . ∴四边形 ADFE 的面积为：21 ×DE×AF ＝12 ×5×2 3 ＝5 3 .
3．(2021·玉林)如图，△ABC 底边 BC 上的高为 h1，△PQR 底边 QR 上的高为 h2，
则有( A )
A．h1＝h2 C．h1＞h2
B．h1＜2 D．以上都有可能
4．(2021·衡阳)如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯 AB 的倾斜角 为 37°，大厅两层之间的距离 BC 为 6 米，则自动扶梯 AB 的长约为(sin 37°≈0.6，
2．(2021·金华)如图是一架人字梯，已知 AB＝AC＝2 米，AC 与地面 BC 的夹角
为 α，则两梯脚之间的距离 BC 为(A )
A．4cos α 米 B．4sin α 米
C．4tan α 米 D．co4s α 米
3．(2021·云南)在△ABC 中，∠ABC＝90°.若 AC＝100，sin A＝53 ，
(2)如图， 连结 CF，过 F 点作 BD 的垂线，垂足为 E， ∵BF 为 AD 边上的中线， 即 F 为 AD 的中点，∴CF＝12 AD＝FD， 在 Rt△ACD 中，由勾股定理得， AD＝ AC2＋CD2 ＝ 62＋42 ＝2 13 ，
∵三角形 CFD 为等腰三角形，FE⊥CD，
∴CE＝21 CD＝2，