2016届高考数学一轮复习 题组层级快练88(含解析)

题组层级快练(八十八)
1．如图，已知点A，D在直线BC上的射影分别为B，C，点E为线段AD的中点，则BE与CE的大小关系为( )
A．BE>CE B．BE<CE
C．BE＝CE D．无法确定
答案 C
解析过点E作EF⊥BC于F，则AB∥EF∥CD.
因为E为AD的中点，所以F为BC的中点．
所以EF是BC的中垂线，则BE＝CE.
2．如图，E是▱ABCD的边AB延长线上的一点，且DC∶BE＝3∶2，则AD∶BF＝( )
A．5∶3 B．5∶2
C．3∶2 D．2∶1
答案 B
解析由题可得△BEF∽△CDF，
∴DC
BE
＝
DF
EF
＝
3
2
，∴
AD
BF
＝
DE
EF
＝
DF
EF
＋1＝
5
2
.
3．如图所示，在▱ABCD中，BC＝24，E，F为BD的三等分点，则BM－DN＝( )
A．6 B．3
C．2 D．4
答案 A
解析∵E，F为BD的三等分点，四边形ABCD为平行四边形，∴M为BC的中点．连CF交AD于P，则P为AD的中点，由△BCF∽△DPF及M为BC中点知，N为DP的中点，∴BM－DN＝12－6＝6，故选A.
4.如右图，DE∥BC，DF∥AC，AD＝4 cm，BD＝8 cm，DE＝5 cm，则线段BF的长为( )
A ．5 cm
B ．8 cm
C ．9 cm
D ．10 cm
答案 D
解析 ∵DE ∥BC ，DF ∥AC ， ∴四边形DECF 是平行四边形． ∴FC ＝DE ＝5 cm.∵DF ∥AC ，∴BF FC ＝BD
DA
.
即
BF 5
＝8
4
，∴BF ＝10 cm. 5．在Rt △ABC 中，∠CAB ＝90°，AD ⊥BC 于D ，AB ∶AC ＝3∶2，则CD ∶BD ＝( ) A ．3∶2 B ．2∶3 C ．9∶4 D ．4∶9
答案 D
解析 由△ABD ∽△CBA ，得AB 2
＝BD ·BC . 由△ADC ∽△BAC ，得AC 2
＝DC ·BC .
∴CD ·BC BD ·BC ＝AC 2AB 2＝49
，即CD ∶BD ＝4∶9. 6.(2014·梅州联考)如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝12，AD ＝10，将此矩形折叠使点B 落在AD 边的中点E 处，则折痕FG 的长为( )
A ．13 B.635 C.656
D.212
答案 C
解析 过A 作AH ∥FG 交DG 于H ， 则四边形AFGH 为平行四边形． ∴AH ＝FG .
∵折叠后B 点与E 点重合，折痕为FG ， ∴B 与E 关于FG 对称． ∴BE ⊥FG ，∴BE ⊥AH .
∴∠ABE ＝∠DAH ，∴Rt △ABE ∽Rt △DAH . ∴
BE AB ＝AH AD
. ∵AB ＝12，AD ＝10，AE ＝1
2AD ＝5，
∴BE ＝122
＋52
＝13. ∴FG ＝AH ＝
BE ·AD AB ＝65
6
. 7.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥CD ，若BC ＝3，DE ＝2，DF ＝1，则AB 的长为________．
答案 9
2
解析
AD AB ＝DE BC ＝23，DF AD ＝CE AC ＝13.∵BC ＝3，DE ＝2，DF ＝1，解得AB ＝92
. 8.如图，在Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，CD ＝6，且AD ∶BD ＝3∶2，则斜边AB 上的中线CE 的长为________．
答案
56
2
解析 ∵CD 2
＝BD ·AD ， 设BD ＝2k ，则AD ＝3k ，
∴36＝6k 2
，∴k ＝6，∴AB ＝5k ＝5 6. ∴CE ＝12AB ＝562
.
9.(2015·广东梅州联考)如图，在△ABC 中，BC ＝4，∠BAC ＝120°，AD ⊥BC ，过B 作CA 的垂线，交
CA 的延长线于E ，交DA 的延长线于F ，则AF ＝________.
答案
43
3
解析 设AE ＝x ，
∵∠BAC ＝120°，∴∠EAB ＝60°.
又
AE BE ＝x 3x ＝13
， 在Rt △AEF 与Rt △BEC 中，
∠F ＝90°－∠EAF ＝90°－∠DAC ＝∠C ， ∴△AEF ∽△BEC ，∴AF BC ＝AE BE
. ∴AF ＝4×
1
3
＝43
3.
10.如图，在正方形ABCD 中，P 是BC 上的点，且BP ＝3PC ，Q 是CD 的中点，求证：△ADQ ∽△QCP .
证明 在正方形ABCD 中， ∵Q 是CD 的中点，∴AD QC
＝2. ∵
BP PC ＝3，∴BC
PC
＝4. 又∵BC ＝2DQ ，∴DQ
PC
＝2. 在△ADQ 和△QCP 中，AD QC ＝
DQ
PC
，且∠D ＝∠C ＝90°，∴△ADQ ∽△QCP .
11.如图所示，AD ，BE 是△ABC 的两条高，DF ⊥AB ，垂足为F ，直线FD 交BE 于点G ，交AC 的延长线于H ，求证：DF 2
＝GF ·HF .
证明 在△AFH 与△GFB 中， 因为∠H ＋∠BAC ＝90°， ∠GBF ＋∠BAC ＝90°， 所以∠H ＝∠GBF .
因为∠AFH ＝∠GFB ＝90°，所以△AFH ∽△GFB . 所以HF BF ＝
AF
GF
，故AF ·BF ＝GF ·HF .
因为在Rt △ABD 中，FD ⊥AB ， 由射影定理，得DF 2
＝AF ·BF .
故DF 2
＝GF ·HF .
12．如图，在△ABC 中，BC >AC ，点D 在BC 上，且DC ＝AC ，∠ACB 的平分线CF 交AD 于F ，点E 是AB 的中点，连接EF .
(1)求证：EF ∥BC ；
(2)若四边形BDFE 的面积为6，求△ABD 的面积． 答案 (1)略 (2)8
解析 (1)证明：∵CF 平分∠ACB ，∴∠ACF ＝∠DCF . 又∵DC ＝AC ，∴CF 是△ACD 的中线． ∴点F 是AD 的中点．
∵点E 是AB 的中点，∴EF ∥BD ，即EF ∥BC . (2)由(1)知，EF ∥BD ，∴△AEF ∽△ABD . ∴
S △AEF S △ABD ＝(AE AB
)2
. 又∵AE ＝1
2AB ，S △AEF ＝S △ABD －S 四边形BDFE
＝S △ABD －6，∴
S △ABD －6S △ABD ＝(12
)2
，∴S △ABD ＝8. ∴△ABD 的面积为8.
13．(2015·贵阳市高三适应性监测考试)如图，已知圆O 两弦AB 与CD 交于点E ，EF ∥AD ，EF 与CB 延长线交于点F ，FG 切圆O 于点G .
(1)求证：△BEF ∽△CEF ； (2)求证：FG ＝EF .
证明 (1)因为EF ∥AD ，所以∠FEA ＝∠DAB .
又∠DAB ＝∠BCD ，所以∠FEB ＝∠FCD . 又∠BFE ＝∠BFE ，所以△BEF ∽△ECF .
(2)由(1)得EF FC ＝FB FE
，所以EF 2
＝FC ·FB . 又因为FG 2
＝FB ·FC ，所以EF 2
＝FG 2
. 所以FG ＝EF .
14.(2015·沧州七校联考)如图，点A 为圆外一点，过点A 作圆的两条切线，切点分别为B ，C ，ADE 是圆的割线，连接CD ，BD ，BE ，CE .
(1)求证：BE ·CD ＝BD ·CE ；
(2)延长CD ，交AB 于点F ，若CE ∥AB ，证明：F 为线段AB 的中点． 证明 (1)如图，由题意可得 ∠ACD ＝∠AEC ，∠CAD ＝∠EAC ，
∴△ADC ∽△ACE ，∴CD CE ＝AC AE .
同理△ADB ∽△ABE ，BD BE ＝AB AE
.又∵AB ＝AC ， ∴
CD CE ＝BD
BE
，∴BE ·CD ＝BD ·CE . (2)如图，由切割线定理，得FB 2
＝FD ·FC . ∵CE ∥AB ，∴∠FAD ＝∠AEC .
又∵AC 切圆于C ，∴∠ACD ＝∠AEC ，∴∠FAD ＝∠FCA ，又∠F ＝∠F ， ∴△AFD ∽△CFA ，∴AF CF ＝FD AF
，即AF 2
＝FD ·FC . ∵FB 2
＝AF 2
，即FB ＝FA ，∴F 为线段AB 的中点．。