2018年陕西中考数学专题复习辅助圆问题

辅助圆问题
★1.已知点A 、B 、C 均在半径为R 的⊙O 上． 问题探究
(1)如图①，当∠A ＝45°，R ＝1时，求∠BOC 的度数和BC 的长度； (2)如图②，当∠A 为锐角时，求证：BC ＝2R ·sin A ；
问题解决
(3)若定长线段BC 的两个端点分别在∠MAN 的两边AM 、
AN 上滑动，且点B 、C 均与点A 不重合．如图③，当∠MAN ＝60°，BC ＝2时，分别作BP ⊥AM ，CP ⊥AN ，交点为P ，试着探究线段BC 在整个滑动过程中，P 、A 两点之间的距离是否为定值，若是，求出P A 的长度；若不是，请说明理由．
第1题图
(1)解：∵点A 、B 、C 均在⊙O 上， ∴∠BOC ＝2∠A ＝2×2×45°45°＝90°， 又∵OB ＝OC ＝1， ∴BC ＝ 2 ；
(2)证明：如解图①，作直径CE ，连接EB ， 则∠E ＝∠A ，CE ＝2R ，
∴∠EBC ＝90°， ∴sin A ＝sin E ＝BC EC ＝BC
2R ，
∴BC ＝2R ·sin A;
第1题解图① 第1题解图②
(3)解：如解图②，连接AP ，取AP 的中点K ，连接BK 、CK ， 在Rt △APC 中，CK ＝1
2AP ＝AK ＝PK ， 同理可得：BK ＝AK ＝PK ， ∴CK ＝BK ＝AK ＝PK ，
∴点A 、B 、P 、C 都在以K 为圆心，以AK 长为半径的⊙K 上， 由(2)可知sin 60°＝BC
AP ，
∴AP ＝
2sin60°＝43
3
为定值， 故线段BC 在整个滑动过程中，P 、A 两点之间的距离是定值，P A 的长度为
433.
★2.问题探究
(1)如图①，已知四边形ABCD 中，AB ＝a ，BC ＝b ，∠B ＝∠D ＝90°，求：
①对角线BD 长度的最大值； ②四边形ABCD 的最大面积； (用含有a ，b 的代数式表示) 问题解决
(2)如图②，四边形ABCD 是某市规划用地示意图，经测量得到如下数据：AB ＝20 cm ，BC ＝30 cm ，∠B ＝120°，∠A ＋∠C ＝195°，请你用所学到的知识探索出它的最大面积，并说明理由．(结果保留根号)
第2题图
解：(1)①∵∠B ＝∠D ＝90°，
∴四边形ABCD 是圆内接四边形，AC 为圆的直径， 则BD 的最大值为AC ， 此时BD ＝AC ＝a 2＋b 2； ②如解图，连接AC ，
则AC 2＝AB 2＋BC 2＝a 2＋b 2＝AD 2＋CD 2， S △ACD ＝12AD ·CD ≤14(AD 2＋CD 2
)＝14(a 2＋b 2)．
又∵S △ABC ＝12AB ·BC ＝12
ab ，
∴四边形ABCD 的最大面积为14(a 2＋b 2)＋12ab ＝1
4(a ＋b )2；
(2)如解图，连接AC ，延长CB ，过点A 作AE ⊥CB 交CB 的延长线于
点E ，
第2题解图
∵AB ＝20，∠ABE ＝180°－∠ABC ＝60°，
∴在Rt △ABE 中，AE ＝AB ·sin 60°＝103，EB ＝AB ·cos 60°＝10，S △ABC ＝1
2AE ·BC ＝150 3. ∵BC ＝30，
∴EC ＝EB ＋BC ＝40，AC ＝AE 2＋EC 2＝1019， ∵∠ABC ＝120°，∠BAD ＋∠BCD ＝195°， ∴∠D ＝45°，
则△ACD 中，D 为定角，对边AC 为定边，
∴点A 、C 、D 在同一个圆上，作AC 、CD 中垂线，交点即为圆心O ，当点D 与AC 的距离最大时，
△ACD 的面积最大，AC 的中垂线交⊙O 于点D ′，交AC 于点F ，FD ′即为所求最大值， 连接OA 、OC ，∠AOC ＝2∠AD ′C ＝90°，OA ＝OC ， ∴△AOF 为等腰直角三角形，
AO ＝OD ′＝2·2·((AC 2)＝538，OF ＝AF ＝AC
2＝519， D ′F ＝OD ′＋OF ＝538＋519，
S△ACD′ ＝1
2AC·D′F
＝1
2×1019×
19×(5(538＋519)
＝475＋4752，
∴S最大＝S△ABC＋S△ACD′＝1503＋475＋475 2.
★3.问题探究
(1)如图①，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，作高AD，则△ABC 的面积为________；
(2)如图②，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P在对角线AC上，且CP＝CB，求△PBC的面积；
问题解决
(3)如图③，△ABC是一块商业用地，其中∠B＝90°，AB＝ 30米，BC＝ 40米，某开发商现准备再征一块地，把△ABC扩充为四边形
ABCD，使∠D＝ 90°，是否存在面积最大的四边形ABCD？若存在，求出四边形ABCD的最大面积；若不存在，请说明理由．
第3题图
解：(1)12；
【解法提示】如解图①，在Rt△ABD中，AB＝5，BD＝1
2
BC＝3，
∴AD ＝AB 2－BD 2＝52－32＝4，
∴S △ABC ＝12BC ·AD ＝1
2×6×6×4
4＝12.
第3题解图① 第3题解图②
(2)如解图②，过点P 作PE ⊥BC ，垂足为E ，则PE ∥AB ， ∴△CPE ∽△CAB ， ∴CP CA ＝PE
AB ，
在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝4， ∴AC ＝AB 2＋BC 2＝
32＋42＝5，
∴45＝PE 3，∴PE ＝12
5
，
∴S △PBC ＝12BC ·PE ＝12×4×125＝24
5；
(3)存在．
如解图③，作△ABC 的外接圆⊙O ，
∵∠ABC ＝90°， ∴AC 为⊙O 的直径， 又∵∠ADC ＝90°，
∴点D 在⊙O 上， 第3题解图③ 在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝30，BC ＝40，
∴AC ＝AB 2＋BC 2＝
302＋402＝50，
连接OD ，则OD ＝1
2AC ＝25，
过点D 作DN ⊥AC ，垂足为N ， ∵S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD ， 而S △ABC ＝12
AB ·BC ＝1
2
×30×30×4040＝600， ∴只要S △ACD 最大，那么S 四边形ABCD 最大， 又∵S △ACD ＝1
2AC ·DN ， 而DN ≤DO ＝25，
∴当DN ＝25时，S △ACD 最大， 即1
2×50×50×25
25＝625， ∴四边形ABCD 的最大面积为：600＋625＝1225(平方米)． ★4.问题探究
(1)如图①，在△ABC 中，AB ＝AC ，请在△ABC 外找一点M ，使得∠BMC ＝1
2
∠BAC ； (2)如图②，在矩形ABCD 中，BC ＞2＋1
2AB ，在矩形ABCD 的内部或边上找一点Q ，使得∠AQB ＝45°； 问题解决
(3)如图③，在矩形ABCD 中，AB ＝10，BC ＝10＋53，则在边CD 上是否存在一点P ，使得∠APB ＝30°，若存在，求出PC 的长；若不
存在，请说明理由．
第4题图
解：(1)如解图①，点M即为所求，且在⊙A的优弧BC上(不包含B、C两点)的点均符合要求；
第4题解图
(2)如解图②，点Q即为所求，此时AB＝AM＝BN，则在矩形ABCD 内的MN︵上的点均符合要求；
第4题解图③
(3)存在．
如解图③，作边AB的垂直平分线PN，交CD于点P，交AB于点E. 连接P A、PB，构造△P AB的外接圆⊙O，连接OA、OB，
∵AB ∥CD ，
∴⊙O 与CD 正好相切于点P ， ∵PE ⊥AB ，∴EB ＝12AB ＝1
2×10＝5，
∵BC ＝PE ＝10＋53，
∴OE ＝PE －PO ＝10＋53－OB ，
在Rt △OBE 中，OE 2＋BE 2＝OB 2，即(10＋53－OB )2＋52＝OB 2， 解得OB ＝10，
∴OA ＝OB ＝AB ＝10，即△AOB 是等边三角形， ∴∠AOB ＝2∠APB ＝60°， ∴∠APB ＝30°，
在CD 上任取一点P ′，连接AP ′、BP ′，AP ′交⊙O 于点M ，连接MB ，
∴∠APB ＝∠AMB ＝30°≥∠AP ′B ， 当点P ′与点P 重合时，∠APB ＝30°30°.
. ∴在边CD 上存在一点P ，使得∠APB ＝30°，此时，点P 在边CD 的中点处，即PC ＝5. ★5.问题探究
(1)如图①，△ABC 为等腰三角形，AB ＝AC ＝a ，∠BAC ＝120°，则△ABC 的面积为________(用含a 的代数式表示)；
(2)如图②，△AOD 与△BOC 为两个等腰直角三角形，两个直角顶点O 重合，OA ＝OB ＝OC ＝OD ＝a .若△AOD 与△BOC 不重合，连接AB 、CD ，求四边形ABCD 面积的最大值；
问题解决
(3)如图③，点O为电视台所在位置，现要在距离电视台5 km的地方修建四个电视信号中转站，分别记为A、B、C、D.若要使OB与OC
90°((∠AOD与∠BOC不重合且点O、夹角为150°，OA与OD夹角为90°
A、B、C、D在同一平面内)，则符合题意的四个中转站所围成的四边形面积有无最大值？如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由．
第5题图
解：(1)3
2；
4a
【解法提示】如解图①，过点B作AC的垂线交CA的延长线于点D， 在Rt△ABD中，∠BAD＝60°，AB＝a，
则BD＝3
2a，
∴S△ABC＝12AC·BD＝12a·32a＝34a2.
第5题解图② 第5题解图①
(2)如解图②，分别过点A 、D 作BO 、CO 的垂线交BO 的延长线于点E ，交CO 于点F ，
∵△AOD 与△BOC 均为等腰直角三角形，
OA ＝OB ＝OC ＝OD ＝a ，
∴S △AOD ＝12a 2，S △BOC ＝12
a 2， 令∠AOB ＝α，∠COD ＝β，则
S △AOB ＝12a ·a sin α，S △COD ＝12
a ·a sin β， ∴S △AOB ＋S △COD ＝12
a 2(sin α＋sin β)， ∵∠AOB ＋∠COD ＝180°，
∴α＝90°，β＝90°，
即∠AOB ＝90°，∠COD ＝90°时，△AOB 与△COD 面积最大， 即此时四边形ABCD 面积最大，
此时，S △AOB ＝12a 2，S △COD ＝12
a 2， ∴S 四边形ABCD 最大＝12a 2＋12a 2＋12a 2＋12
a 2＝2a 2；
第5题解图③
(3)有最大值，理由如下：
∵OA ＝OB ＝OC ＝OD ＝5 km ，
则A 、B 、C 、D 四点在以O 为圆心，5 km 为半径的圆上， 如解图③，将△DOC 绕O 点顺时针旋转150°至△D ′OB 位置．连接AD ′，设OB 与AD ′交于点E ，
∵△AOD 与△BOC 面积是定值，
∴求S 四边形ABD ′O 最大即可．
∠AOD ′＝360°－150°－90°＝120°，
过O 作OM ⊥AD ′于点M ，过B 作BN ⊥AD ′于点N ， 在△OAM 中，∠AOM ＝60°，
∴OM ＝52，AM ＝532，AD ′＝53，
令∠MEO ＝∠NEB ＝α，
∴S 四边形ABD ′O ＝S △AOD ′＋S △ABD ′＝12AD ′·OM ＋12AD ′·BN ＝12
AD ′·[OE ·sin α＋(5－OE )·)·sin
sin α]＝12AD ′·5sin α＝12×53×3×5sin 5sin α＝25
23sin α， 当α＝90°时，sin α＝1，此时四边形ABD ′O 面积最大， ∴S 四边形ABD ′O max ＝2532，即四边形ABCD 的最大面积为12×5×5×5
5＋12×5×5×5×5×12＋2532＝75＋5034
.。