【全国百强校】湖南师大附中2021届高三月考试卷(七)教师版数学(理)试题

【全国百强校】湖南师大附中2021年高三月考试卷（七）教
师版数学（理）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合11,32A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭
，{}|10B x ax =+=，且B A ⊆，则a 的可取值组成的集合为（ ） A ．{}3,2-
B ．{}3,0,2-
C ．{}3,2-
D ．{}3,0,2-
2．已知命题0:p x R ∃∈，使00221x x
-+=；命题:q x R ∀∈，都有()
2lg 230x x ++>，
下列结论中正确的是（ ）
A ．命题“p q ⌝∧”是真命题
B ．命题“p q ∧⌝”是真命题
C ．命题“p q ∧”是真命题
D ．命题“p q ⌝∨⌝”是假命题 3．一个样本a ，3，5，7的平均数是b ，且a ， b 分别是数列{}()2*
2n n N -∈的第2
项和第4项，则这个样本的方差是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6
4．下面给出了关于复数的三种类比推理：其中类比错误的是（ ） ①复数的乘法运算法则可以类比多项式的乘法运算法则； ②由向量a 的性质2
2||a a =可以类比复数的性质2
2
||z z =； ③由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义． A ．② B ．①② C ．①③ D ．③
5．设M 是ABC ∆边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，若AN AB AC λμ=+，则λμ+的值为( ) A ．1
B ．
1
2
C ．
13
D ．
14
6．已知M 是面积为1的ABC 内的一点（不含边界），若MBC ， MCA 和MAB 的面积分别为x ， y ， z ，则
1x y
x y z
+++的最小值是（ ） A ．2 B ．3 C ．3.5 D ．4
7．与圆()2
222x y +-=相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有（ ）
A ．2条
B ．3条
C ．4条
D ．6条 8．函数()lg(||1)f x x =-的大致图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9．设ABC 的三个内角为A ， B ， C ，且tan A ， tan B ， tan C ， 2tan B 依次成等差数列，则sin2B =（ ） A ．1 B ．45-
C ．45
D ．45
± 10．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2
14
ac b =
，sin sin sin A C p B +=，且B 为锐角，则实数p 的取值范围为（ ）
A ．(
B ．2⎛ ⎝
C ．2⎛ ⎝
D ．(
11．已知圆O 的方程为2
2
9x y +=，若抛物线C 过点()1,0A -， ()1,0B ，且以圆O 的切线为准线，则抛物线C 的焦点F 的轨迹方程为（ ）
A ．()221098x y x -=≠
B ．()221098x y x +=≠
C ．()22
1098
x y y -=≠ D ．()221098
x y y +=≠
二、填空题
12．6
1x x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中，系数最大的项为第__________项．
13．已知函数()2
f x x ax b =-+-，若a ， b 都是从区间[]
0,4内任取的实数，则不
等式()10f >成立的概率是__________．
14．已知函数()3
2
f x x ax bx c =+++在开区间()1,0-上单调递减，则22a b +的取值
范围是_____.
15．设函数()x
x
x
f x a b c =+-，其中0c a >>， 0c b >>.若a ， b ， C 是ABC
的三条边长，则下列结论正确的是__________．（写出所有正确结论的序号） ①(),1x ∀∈-∞， ()0f x >；
②0x R ∃∈，使0x
a ， 0x
b ， 0x
c 不能构成一个三角形的三条边长； ③若ABC 为钝角三角形，则()01,2x ∃∈，使()00f x =； ④若ABC 为直角三角形，对于*n N ∀∈， ()20f n >恒成立.
三、解答题
16．已知等差数列{}n a 中，26a =，3627a a +=. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1
32
n
n n S T -=⋅，若对于一切正整数n ，总有n T m ≤成立，求实数m 的取值范围
17．在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，从这10件产品中任取3件，求：
（Ⅰ）取出的3件产品中一等品件数X 的分布列及期望； （Ⅱ）取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率． 18．如图所示,在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥底面ABCD ,AD AB ⊥,
//,2,1AB DC AD DC AP AB ====,点E 为棱PC 的中点.用空间向量进行以下证
明和计算:
（1）证明:BE DC ⊥;
（2）若F 为棱PC 上一点,满足BF AC ⊥,求二面角F AB P --的正弦值. 19．已知()4,0M ， ()1,0N ，曲线C 上的任意一点P 满足： 6MN MP PN ⋅=. （1）求点P 的轨迹方程；
（2）过点()1,0N 的直线与曲线C 交于A ， B 两点，交y 轴于H 点，设1HA AN λ=，
2HB BN λ=，试问12λλ+是否为定值？如果是定值，请求出这个定值，如果不是定值，请说明理由.
20．设函数()ln a
f x x ex
=+
. （1）求函数()f x 的单调区间；
（2）若2a =，证明：对任意的实数0x >，都有()x
f x e ->.
224x y +='{
'3x x y y
λ==0λ>x
45
λ ()2,0A P 222cos :sin C p θ
θ
+=
P A
22．（1）若不等式1x m -<成立的充分不必要条件为11
32
x <<，求实数m 的取值范围.
（2）关于x 的不等式35x x a -+-<的解集不是空集，求实数a 的取值范围.
参考答案
1．D 【解析】
因为B A ⊆，则可得：11,,32B φ⎧⎫⎧⎫=-⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭
当13B ⎧⎫
=-⎨⎬⎩⎭
时，11033a a -+=⇒=,
当12B ⎧⎫
=⎨⎬⎩⎭时
1
1022
a a +=⇒=- 当B φ=时，0a =, 综合可得：{}3,0,2-;选D
点晴：本题考查的是根据集合及集合间的关系求参数a 的取值问题. 因为B A ⊆，则可得：
11,,32B φ⎧⎫⎧⎫=-⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭,分13B ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，12B ⎧⎫
=⎨⎬⎩⎭
和B φ=三种情况讨论，分别得a 的取值，再
取并集即可，此类题比较基础，但容易丢掉B φ=这一种情况，计算的时候要小心，不能马虎大意. 2．A
【解析】由判断:222x x p -+≥=,故命题p 错误； 命题()
()2
2
:lg 23lg 12lg20q x x x ⎡⎤++=++≥>⎣⎦
，命题q 正确，
故选A. 3．C
【解析】∵样本a ，3，5，7的平均数是b , 且a ， b 分别是数列{}()2*
2n n N -∈的第2
项和第4项， ∴22
422
1,24a b --====,
()()()()2222
211434547454S ⎡⎤∴=
-+-+-+-=⎣
⎦,故选：C 4．A
【解析】
试题分析：对于复数的加减法运算法则判断出①对；对于②向量a 的性质2
2
||a a =，但2
||
z 是实数，但2z 不一定是实数，如z i =，就不成立，故错；对于③复数加法的几何意义判断出③对，故选：A ． 考点：类比推理． 5．B 【分析】
设BM tBC =，通过12AN AM =，再利用向量的加减运算可得122
t t AN AB AC -=+，结合条件即可得解. 【详解】 设BM tBC =， 则有
()()
11111122222222
t t t
AN AM AB BM AB tBC AB AC AB AB AC -=
=+=+=+-=+.
又AN AB AC λμ=+，
所以12
2t t λμ-⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
，有11222t t λμ-+=+=. 故选B. 【点睛】
本题考查了向量共线及向量运算知识，利用向量共线及向量运算知识，用基底向量向量来表示所求向量，利用平面向量表示法唯一来解决问题. 6．B 【
解
析
】
由
已
知
可
得
1x y z ++=，
113x y x y z x y z x y x y z x y z x y z
+++++∴
+=+=++≥+++,故选B. 7．B
【解析】直线过原点时，设方程为y kx =,利用点到直线的距离等于半径可求得1k =±,即
直线方程为y x =±;②直线不过原点时，设其方程为 1x y
a a
+=，同理可求得4a =,直线方程为4x y +=.所以共3条，故选B. 8．B 【分析】
先判断奇偶性,再利用单调性进行判断， 【详解】
由题()f x 是偶函数，其定义域是(,1)(1,)-∞-+∞，且()f x 在(1,)+∞上是增函数，
选B . 【点睛】
此题主要考查对数函数的图象及其性质，是一道基础题； 9．C
【解析】由条件可得31
tan tan ,tan tan 22
C B A B =
= ， 所以 ABC 为锐角三角形，
又 ()25
tan tan tan 12tan tan tan 31tan tan 21tan 2
B
B C A B C B B C B +=-+=-=-=-⋅-得 tan 2B =，
所以2222sin cos 2tan 4
sin22sin cos sin cos 1tan 5
B B B B B B B B B ====
++ 故选：C . 10．B 【解析】
sin sin sin A C p B += ,a c pb ∴+=，
由余弦定理 ,
2222222211
2cos ()22cos cos 22
b a
c ac B a c ac ac B p b b b B =+-=+--=--即
231cos 22p B =+，0cos 1B <<,得23
(,2)2
p ∈
由题意知 0p >
，2
p ∈,选B. 点晴:本题考查的是正余弦定理及函数与方程思想的综合应用.解决本题的关键是
sin sin sin A C p B +=由和正弦定理得a c pb +=，再由余弦
2222222112cos cos 22b a c ac B p b b b B =+-=--，解得231
cos 22p B =+结合
0cos 1B <<，求得23(,2)2p ∈，又由题意知 0p > ，可得p ∈.
11．D
【解析】设抛物线的焦点为(),F x y ,准线为l ，过点,,A B O 分别作
',',,AA l BB l OP l ⊥⊥⊥，其中',',A B P 分别为垂足，则l 为圆的切线， P 为切点，且
''26AA BB OP +==，因为抛物线过点,,A B ，所以','AA FA BB FB ==，所以''62FA FB AA BB AB +=+=>=，所以点F 的轨迹是以,,A B 为焦点的椭圆，且点
F 不在轴上，所以抛物线C 的焦点F 的轨迹方程为()22
1098
x y y +
=≠，选D. 点晴:本题考查的是用定义法求抛物线C 的焦点F 的轨迹方程问题，解决本题的关键是通过作',',,AA l BB l OP l ⊥⊥⊥结合圆的性质得到''26AA BB OP +==，再结合抛物线的定义得到''62FA FB AA BB AB +=+=>=，所以由椭圆的定义可得点F 的轨迹是以
,,A B 为焦点的椭圆，可得抛物线C 的焦点F 的轨迹方程.
12．3或5
【解析】6
1x x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中系数与二项式系数只有符号差异，又中间项的二项式系数最
大，中间项为第4项其系数为负，则第3，5项系数最大. 13．932
【
解
析
】
解
:
()110
f a b =-+->,即
1
a b ->,如图
()()()9
9
921,0,4,0,4,3,,==24432ABC
ABC S A B C S P S ∆∆==⨯正方形
.因此，本题正确答案是9
.32
14．9)5
∞⎡+⎢⎣，
【分析】
由函数在区间()1,0-上单调递减，得到其导函数小于等于0恒成立，即()´
10f
-≤且
()´
00f
≤代入得到一个不等式组，
可以把22a b +视为不等式组内的点与原点距离的平方，结合图像即可求解. 【详解】
由题意，()´
2320f
x x ax b =++≤在()1,0-恒成立.
只需要()()´
´10
00
f f ⎧-≤⎪⎨⎪≤⎩
即可，整理得3200a b b -+≤⎧⎨≤⎩，作出其对应的平面区域如图所示；
所以把22a b +视为平面区域内的点与原点距离的平方，
由点到直线的距离公式可得2
29d 5==，所以22
a b +的最小值为95， 则22a b +的取值范围是9)5
∞⎡+⎢⎣，. 故答案为9
)5
∞⎡+⎢⎣， 【点睛】
本题主要考查简单的线性规划问题，需要依题意写出约束条件，作出可行域，再由目标函数的几何意义即可求解，属于中档试题. 15．①②③ 【解析】①
,,a b c 是ABC 的三条边长, a b c ∴+>,0,0c a c b >>>>,
01,01a b c c
∴<
<<<, 当(]
,1x ∈-∞时，
()110x x
x x x x
x x a b a b a b c f x a b c c c c c c c c c ⎡⎤+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+->⋅+-=⋅>⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
,正确.
②令2,3,4a b c ===,则,,a b c 可以构成三角形,但222
4,9,16a b c ===却不能构成三角形,正确. ③
0,0c a c b >>>>,若ABC 为钝角三角形, 2220a b c +-<,
()()22210,20f a b c f a b c =+->=+-<,
∴根据根的存在性定理可以知道在区间()1,2上存在零点,即()1,2x ∃∈,使()0f x =,正
确. ④若
ABC 为直角三角形，由题意得222c a b =+，对于*n N ∀∈，
()()
2222222
20n
n n n n n f n a b c a b a b =+-=+-+≤,不正确.
16．（1）3n a n =;（2）32
m ≥. 【解析】
试题分析：(1)设等差数列{}n a 的公差为d ,运用等差数列的通项公式,计算即可得到; (2)由等差数列的求和公式和数列的单调性,可得n T 的最大值,再由恒成立思想,即可得到m 的范围.
试题解析：（1）设公差为d ，由题意得：
116
{2727
a d a d +=+=，解得13
{3a d ==， ∴3n a n =.
（2）∵()()3
312312
n S n n n =+++⋯+=+， ∴()12
n n
n n T +=
，
∴()()()()()11
112112222n n n n
n n n n n n n T T +++++++--=
-=，
∴当3n ≥时，1n n T T +>，且123312
T T T =<==， ∴n T 的最大值是
32，故32
m ≥. 17．（1分布列见解析， X 的数学期望910EX =（2）31
120
【详解】
解：（1）由于从10件产品中任取3件的结果为3
10C ，从10件产品中任取3件，其中恰有k 件
一等品的结果为337k k
C C -⋅，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k 件一等品的概率为
337
3
10
(),0,1,2,3k k
C C P X k k C -⋅===，所以随机变量X 的分布列是
X 的数学期望721719012324404012010
EX =⨯
+⨯+⨯+⨯= （2）设“取出的3件产品中一等品的件数多于二等品件数”为事件A ， “恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件1A , “恰好取出2件一等品”为事件2A , “恰好取出3件一等品”为事件3A , 由于事件123,,,A A A 彼此互斥，且1
23A A A A =,
而1
23313
103
()40
C C P A C ⋅==
27()(2)40P A P X ===
, 31()(3)120P A P X ===, 所以取出的3件产品中一等品的件数多于二等品件的数的概率为31
120
18．（1）答案见解析 （2） 10
【分析】
（1）建立空间直角坐标系，求得(0,1,1)BE =，(2,0,0)DC =，证明0BE DC ⋅=后即可得证；
（2）由题意先求出113,,222BF ⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭，再求出平面FAB 的一个法向量()10,3,1n =-、平面ABP 的法向量2(0,1,0)n =，求出12cos ,n n 之后即可得解. 【详解】
依题意,以点A 为原点建立空间直角坐标系(如图),
可得(1,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,0,2)B C D P ，由E 为棱PC 的中点,得(1,1,1)E .
（1）向量(0,1,1)BE =，(2,0,0)DC =， 故0BE DC ⋅=, 所以BE DC ⊥.
（2）向量(1,2,0)BC =,(2,2,2)CP =--，(2,2,0)AC =，(1,0,0)AB =， 由点F 在棱PC 上,设CF CP λ=，0
1λ，则()21,22,2BF λλλ=-+-+，
由BF AC ⊥,得0BF AC ⋅=， 因此，2(12)2(22)0λλ-+-=，
解得34λ=
,即113,,222BF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
. 设1(,,)n x y z =为平面FAB 的法向量,
则1100n AB n BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即0113
02
22x x y z =⎧⎪
⎨-++=⎪⎩ ， 不妨令1z =,可得()10,3,1n =-为平面FAB 的一个法向量， 取平面ABP 的法向量2(0,1,0)n =,
则121212
10c os ,n n n n n n ⋅=
⋅==
-
.
1210
sin ,10
n n =
所以二面角F AB P --的正弦值为10
. 【点睛】
本题考查了空间向量的应用，考查了计算能力，属于中档题.
19．（1）22143x y +=;（2）83
-. 【解析】试题分析：（Ⅰ）求出向量的坐标，利用条件化简，即可求点P 的轨迹方程； （Ⅱ）分类讨论，利用1HA AN λ=， 2HB BN λ=，结合韦达定理，即可得出结论． 试题解析：（1）设(),P x y ，则()3,0MN =-， ()4,MP x y =-
， ()1,PN x y =--， ∵6MN MP PN ⋅=，∴()340x y -⨯-+⨯=
化简得， 22
143
x y +=为所求点P 的轨迹方程. （2）设()11,A x y ， ()22,B x y .
①当直线l 与x 轴不重合时，设直线l 的方程为()10x my m =+≠， 则10,H m ⎛⎫-
⎪⎝⎭，从而111,HA x y m ⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭， ()111,AN x y =--，由1HA AN λ=得 ()111111,1,x y x y m λ⎛
⎫+=-- ⎪⎝
⎭， 111
1y y m λ+=-， 1111my λ-=+， 同理由2HB BN λ=得2
2
1
1my λ-=+
， ∴()12
121
21211122y y my my m y y λλ⎛⎫+-+=++=+⋅
⎪⎝⎭.① 由2
2
1
{143
x my x y =++=，得()2243690m y my ++-=. ∴122643m y y m +=-
+， 12
2
9
43y y m -⋅=+， 代入①式得()1212121282233y y m y y λλ+-+=+
⋅=+=，∴128
3
λλ+=-. ②当直线l 与x 轴重合时， ()2,0A -， ()2,0B ， ()0,0H . 由1HA AN λ=， 2HB BN λ=，得123λ=-， 22λ=-，∴128
3
λλ+=-， 综上， 12λλ+为定值8
3
-.
点睛:定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现. 20．（1）当0a ≤时，()'f x 在0,
上单调递增；当0a >时，()f x 的单调减区间为
0,a e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调增区间为,a e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
;（2）见解析. 【解析】
试题分析：（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a 的范围求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）问题转化为证明121ln x e x x e -+
>，先证出1x e x >+，再证明1
ln 0e x x
+≥令()1
ln (0)F x e x x x
=+>，根据函数的单调性证明即可．
试题解析：（1）定义域为0x >，()22
1'a ex a
f x x ex ex
-=-=， ①当0a ≤时，()'0f x >，()f x 在()0,+∞上单调递增， ②当0a >时，令()'0f x =，有a x =
，
所以()f x 的单调减区间为0,
a e ⎛
⎫ ⎪⎝⎭，单调增区间为,a e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
. 综合①②，当0a ≤时，()'f x 在()0,+∞上单调递增；当0a >时，()f x 的单调减区间为
0,a e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调增区间为,a e ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
. （2）要证明()x
f x e ->，即证明121
ln x e x x e
-+
>， 下面先证明：()10x
e x x >+≥，
构造函数()()()10x
h x e x x =-+≥，()'1x
h x e =-，
令()'0h x =得0x =，当0x ≥时，()'0h x ≥即()h x 在[
)0,+∞上单调递增， ∴()()()100x
h x e x h =-+≥=，
于是有1x e x >+，0x >， ∴当0x >时，1x e x ->， 从而
1
11x e x
-<
.
接下来只需证：21ln e x x x
+≥， 即证：1
ln 0e x x +
≥， 令()1ln (0)F x e x x x =+>，则()22
11
'e ex F x x x x
-=-=， 所以()F x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增，
即()10F x F e ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭
，
∵1
x e =
时，1x e x ->， ∴111
0x e x -<<，
∴121
ln x e x x e
-+>.
点晴:本题主要考查函数单调性,及不等式的证明问题.要求单调性，求导比较导方程的根的大小，解不等式可得单调区间，要证明不等式恒成立问题可转化为构造新函数证明新函数单调，只需要证明其导函数大于等于0（或者恒小于等于0即可），要证明一个不等式，我们可以先根据题意构造新函数，求其值最值即可.这类问题的通解方法就是：划归与转化之后，就可以假设相对应的函数，然后利用导数研究这个函数的单调性、极值和最值，图像与性质，进而求解得结果.
21．（1）5;（2）.
【解析】试题分析：（Ⅰ）圆2
2
4x y +=在伸缩变换'{
'3x x y y
λ==（0λ>）的作用下可得：椭
圆y 轴正半轴顶点为()0,6，所以短半轴长6b =，再由离心率为4
5
可得长半轴长为10，所以λ的值为5.
（Ⅱ）曲线C 的极坐标方程可化为2
1cos ρθ
=
-，即cos 2ρρθ-=，利用互化公式可得直
角坐标方程，设点()(),1P x y x ≥-，利用两点之间的距离公式、二次函数的单调性即可得出．
试题解析：（1）依题意变换后椭圆y 轴正半轴顶点为()0,6，所以短半轴长6b =，再由离
心率为4
5
可得长半轴长为10，所以λ的值为5. （2）曲线C 的极坐标方程可化为2
1cos ρθ
=-，即cos 2ρρθ-=，化为直角坐标方程，
得
2x =，即()241y x =+.
设点()(),1P x y x ≥-，则
PA ==≥当且仅当0x =时取等
号.
故min PA =. 22．（1）14
23
m -
≤≤;（2）()2,+∞. 【解析】试题分析：（1）先求出不等式1x m -<的解集，再由不等式1x m -<成立的充分不必要条件为
11
32
x <<，确定m 的取值范围． （2）利用绝对值不等式，结合35x x a -+-<的解集不是空集，求实数a 的取值范围． 试题解析：（1）不等式1x m -<的解集为{|11}x m x m -<<+，依题意有
11
{|
}{|11}32
x x x m x m <<⊆-<<+， 则1
13
{112m m -≤
+≥
，解得1423
m -≤≤.
（2）∵()()35352x x x x -+-≥---=， 且35x x a -+-<的解集不是空集， ∴2a >，即a 的取值范围是()2,+∞.。