四川省大竹县文星中学2014-2021学年高一12月月考数学试题 Word版含答案

大竹县文星中学2022-2021学年高一12月月考 数学试卷
(时间：120分钟 满分：150分)
一、(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个备选答案中，有且仅有一个是正确的)
1．设集合U ＝{x |0<x <10，x ∈N ＋}，若A ∩B ＝{2,3}，A ∩(∁U B )＝{1,5,7}，(∁U A )∩(∁U B )＝{9}，则集合B ＝( )
A ．{2,3,4}
B ．{2,3,4,6}
C ．{2,4,6,8}
D ．{2,3,4,6,8}
[答案] D
[解析] ∵U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}， ∵A ∩B ＝{2,3}，∴2∈B,3∈B . ∵A ∩(∁U B )＝{1,5,7}， ∴1∈A,5∈A,7∈A,1∉B,5∉B,7∉B . ∵(∁U A )∩(∁U B )＝{9}∴9∉A,9∉B ， ∴A ＝{1,2,3,5,7}，B ＝{2,3,4,6,8}．
2．若集合P ＝{x |2≤x <4}，Q ＝{x |x ≥3}，则P ∩Q 等于( ) A ．{x |3≤x <4} B ．{x |3<x <4} C ．{x |2≤x <3} D ．{x |2≤x ≤3} [答案] A
[解析] P ∩Q ＝{x |2≤x <4}∩{x |x ≥3}＝{x |3≤x <4}．
3．函数f (x )＝3x 2
1－x ＋3x ＋1的定义域是( )
A ．(－1
3，＋∞)
B ．(－1
3，1)
C ．[－1
3，1)
D ．[0,1) [答案] C
[解析] 要使函数有意义，应满足⎩
⎪⎨⎪⎧
1－x >0
3x ＋1≥0，
∴－1
3
≤x <1，故选C.
4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
1，x >00，x ＝0－1，x <0
，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
1，x ∈Q
0，x ∈∁R Q ，
则f [g (π)]的值为( ) A ．1 B ．0 C ．－1 D ．π
[答案] B
[解析] g (π)＝0，∴f [g (π)]＝f (0)＝0.
5．设(x ，y )在映射f 下的象是(2x ＋y ，x －2y )，则在f 下，象(2,1)的原象是( ) A ．(12，3
2)
B ．(1,0)
C ．(1,2)
D ．(3,2) [答案] B
[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＝2x －2y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1
y ＝0
，故选B.
6．函数g (x )＝2x ＋5x 的零点所在的一个区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(－1,0) D ．(－2，－1)
[答案] C
[解析] 本题考查函数零点存在区间的推断，只要计算函数在区间两个端点处的值是否异号即可，由于g (－1)＝2－1－5<0，g (0)＝20＝1>0，故选C.
7．由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：
已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过(1,0)，…，求证这个二次函数的图象关于直线x ＝2对称． 依据已知信息，题中二次函数图象不具有的性质是( ) A ．过点(3,0) B ．顶点(2，－2) C ．在x 轴上截线段长是2 D ．与y 轴交点是(0,3)
[答案] B
[解析] ∵二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过点(1,0)， ∴1＋b ＋c ＝0，又二次函数的图象关于直线x ＝2对称， ∴b ＝－4，∴c ＝3.
∴y ＝x 2－4x ＋3，其顶点坐标为(2，－1)，故选B.
8．已知a ＝21.2，b ＝(12)－
0.8，c ＝2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为( )
A ．c <b <a
B ．c <a <b
C ．b <c <a
D ．b <a <c
[答案] A
[解析] 本题考查基本函数的性质．a ＝21.2，b ＝(1
2)－0.8＝20.8，c ＝2log 52＝log 522＝log 54，由于21.2>20.8>1，
所以a >b >1，c ＝log 54<1，所以a ，b ，c 的大小关系为a >b >c ，故选A.
9．已知偶函数f (x )在(－∞，－2]上是增函数，则下列关系式中成立的是( ) A ．f (－7
2)<f (－3)<f (4)
B ．f (－3)<f (－7
2)<f (4)
C ．f (4)<f (－3)<f (－7
2)
D ．f (4)<f (－7
2)<f (－3)
[答案] D
[解析] ∵f (x )在(－∞，－2]上是增函数， 又－4<－7
2
<－3，
∴f (4)＝f (－4)<f (－7
2
)<f (－3)．
10．设函数y ＝x 3与y ＝22－
x 的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)
[答案] B [解析] 令f (x )＝x 3－22－x ，由题意知
x 0是函数f (x )的零点，又f (1)＝1－2＝－1<0，f (2)＝8－1＝7>0，故选
B.
11．设a ＝60.5，b ＝0.56，c ＝log 60.5，则a ，b ，c 的大小关系为( )
A ．a >b >c
B ．b >a >c
C ．c >b >a
D ．a >c >b
[答案] A
[解析] a ＝60.5>60＝1，b ＝0.56<0,50＝1， 又0.56>0，∴0<0.56<1， c ＝log 60.5<log 61＝0，∴a >b >c .
12．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
a ，a －
b ≤1
b ，a －b >1，设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －1)，x ∈R .若函数y ＝
f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )
A ．(－1,1]∪(2，＋∞)
B ．(－2，－1]∪(1,2]
C ．(－∞，－2)∪(1,2]
D ．[－2，－1]
[答案] B
[解析] 依题意可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2－2，－1≤x ≤2
x －1，x <－1或x >2
作出其示意图如图所示．
由数形结合知，
实数c 需有1<c ≤2或－2<c ≤－1.
二、填空题(本大题共4个小题，每空4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知函数f (x ＋1)＝3x ＋4，则f (x )的解析式为________________． [答案] f (x )＝3x ＋1
[解析] 设x ＋1＝t ，∴x ＝t －1， ∴f (t )＝3(t －1)＋4＝3t ＋1，∴f (x )＝3x ＋1. 14．3log 925＋log 2－1(
2＋1)的值为__________．
[答案] 4
[解析] 3 log 925＋log
2－1(2＋1)＝3 log 35＋log
2－1(
2－1)－1＝5－1＝4.
15．定义域为R 的函数y ＝f (x )的值域是[a ，b ]，则函数y ＝f (x ＋a )的值域是________． [答案] [a ，b ]
[解析] 函数f (x ＋a )的图象只是由f (x )的图象向左或向右平移得到，函数值y 没有变化．
16．对于定义域在R 上的函数f (x )，若实数x 0满足f (x 0)＝x 0，则称x 0是函数f (x )的一个不动点．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1没有不动点，则实数a 的取值范围是__________．
[答案] (－1,3)
[解析] 由题意，得方程x 2＋ax ＋1＝x ，即 x 2＋(a －1)x ＋1＝0无实根， ∴Δ＝(a －1)2－4＝a 2－2a －3＜0， ∴－1＜a ＜3.
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log 2(x －1)的定义域为集合A ，函数g (x )＝(1
2)x (－1≤x ≤0)的值域
为集合B .
(1)求A ∩B ；
(2)若C ＝{x |a ≤x ≤2a －1}，且C ⊆B ，求实数a 的取值范围． [解析] (1)要使函数f (x )有意义，应满足log 2(x －1)≥0， ∴x －1≥1，∴x ≥2. ∴A ＝{x |x ≥2}．
∴g (x )＝(1
2)x (－1≤x ≤0)是减函数，
∴当x ＝－1时，g (x )取最大值2， 当x ＝0时，g (x )取最小值1， ∴B ＝{x |1≤x ≤2}，∴A ∩B ＝{2}． (2)∵C ⊆B ，
①当C ＝∅时满足题意，即a >2a －1，解得a <1；
②当C ≠∅时，则有⎩⎨⎧
a ≥12a －1≤2
，解得1≤a ≤3
2.
综上实数a 的取值范围是(－∞，3
2
]．
18．(本小题满分12分)设a ，b ，c 为正数，且满足a 2＋b 2＝c 2.
(1)求证：log 2(1＋b ＋c a )＋log 2(1＋a －c
b
)＝1；
(2)若log 4(1＋b ＋c a )＝1，log 8(a ＋b －c )＝2
3，求a ，b ，c 的值．
[解析] (1)log 2(1＋b ＋c a )＋log 2(1＋a －c
b )
＝log 2a ＋b ＋c a ＋log 2a ＋b －c
b
＝log 2(a ＋b )2－c 2
ab
＝log 2(a 2＋b 2－c 2)＋2ab ab
＝log 22＝1.
(2)由log 4(1＋b ＋c a )＝1，log 8(a ＋b ＋c )＝2
3，
得1＋b ＋c
a ＝4，a ＋
b －
c ＝4，又a 2＋b 2＝c 2，
整理可得⎩⎪⎨⎪
⎧
b ＋
c ＝3a a ＋b －c ＝4
a 2
＋b 2
＝c
2
，
解得a ＝6，b ＝8，c ＝10.
19．(本小题满分12分)2009年某个体企业受金融危机和国家政策调整的影响，经受了从亏损到盈利的过程，下面的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来的累积利润S (万元)与时间t (月)之间的关系(即前t 个月的利润总和S 与t 之间的关系，0≤t ≤12)．请依据图象供应的信息解答下列问题：
(1)求累积利润S (万元)与时间t (月)之间的函数关系式； (2)截止到第几月末公司累积利润可达到9万元？ (3)该企业第四季度所获利润是多少？ [解析]设S (t )＝at 2＋bt ＋c ，
将点(0,0)，(6,0)，(3，－3)代入得 ⎩⎪⎨⎪
⎧
36a ＋6b ＝09a ＋3b ＝－3c ＝0
，解得⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＝13
b ＝－2
c ＝0
.
∴函数关系式S (t )＝1
3t 2－2t (0≤t ≤12)．
(2)令S ＝9即1
3t 2－2t ＝9，
解得t ＝9或t ＝－3(舍)，
∴截止到9月末公司累积利润可达到9万元． (3)S (12)＝1
3×144－2×12＝24(万元)，
S (9)＝1
3
×81－2×9＝9(万元)，
∴第四季度获利S (12)－S (9)＝24－9＝15(万元)． 答：第四季度所获利润为15万元． 20．(本小题满分12分)若关于x 的方程x 2＋mx ＋m －1＝0
有一个正根和一个负根，且负根的确定值较大，
求实数m 的取值范围．
[解析] 依据题意，画出f (x )＝x 2＋mx ＋m －1的图象，如图所示．
图象的对称轴为直线x ＝－m
2
.
由于方程x 2＋mx ＋m －1＝0有一个正根和一个负根， 则函数f (x )有两个零点x 1，x 2， 由题意不妨设x 1>0，x 2<0，且|x 1|<|x 2|. 由题意，有⎩
⎪⎨⎪⎧
f (0)<0－m 2<0，故⎩⎨⎧
m －1<0
m >0.
∴ 0<m <1.
即所求的取值范围为(0,1)．
21．(本小题满分12分)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (log 2x )＝x ＋a
x ，a 为常数．
(1)求函数f (x )的表达式； (2)假如f (x )为偶函数，求a 的值；
(3)假如f (x )为偶函数，用函数单调性的定义争辩f (x )的单调性． [解析] (1)令log 2x ＝t ，则x ＝2t . ∴f (t )＝2t ＋a
2t .
∴f (x )＝2x ＋a
2x (x ∈R )．
(2)由f (－x )＝f (x )，则2－x ＋
a 2－x
＝2x ＋a 2x ，
∴(2x －2－x )(1－a )＝0对x ∈R 均成立． ∴1－a ＝0，即a ＝1. (3)当a ＝1时，f (x )＝2x ＋1
2x ，
设0≤x 1<x 2，则 f (x 1)－f (x 2)＝2x 1＋
12x 1－(2 x
2＋12
x 2) ＝(2 x 1－2 x 2)(1－1
2 x 1＋x 2)，
∵2 x 1－2 x 2<0,1－1
2 x 1＋x 2
>0，
∴f (x 1)－f (x 2)<0. 即f (x 1)<f (x 2)．
因此f (x )在区间[0，＋∞)上是增函数． 同理当x 1<x 2<0时， f (x 1)－f (x 2)>0，
∴f (x )在区间(－∞，0)上是减函数．
22．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝lg(m x －2x )(0<m <1)． (1)当m ＝1
2
时，求f (x )的定义域；
(2)试推断函数f (x )在区间(－∞，0)上的单调性并给出证明； (3)若f (x )在(－∞，－1]上恒取正值，求m 的取值范围．
[解析] (1)当m ＝12时，要使f (x )有意义，须(1
2)x －2x >0，即2－x >2x ，
可得：－x >x ，∴x <0
∴函数f (x )的定义域为{x |x <0}．
(2)设x 2<0，x 1<0，且x 2>x 1，则Δ＝x 2－x 1>0 令g (x )＝m x －2x ，
则g (x 2)－g (x 1)＝m x 2－2 x 2－m x 1＋2 x 1 ＝m x 2－m x 1＋2 x 1－2 x 2 ∵0<m <1，x 1<x 2<0， ∴m x 2－m x 1<0,2 x 1－2 x 2<0 g (x 2)－g (x 1)<0，∴g (x 2)<g (x 1) ∴lg[g (x 2)]<lg[g (x 1)]， ∴Δy ＝lg(g (x 2))－lg(g (x 1))<0， ∴f (x )在(－∞，0)上是减函数．
(3)由(2)知：f (x )在(－∞，0)上是减函数， ∴f (x )在(－∞，－1]上也为减函数，
∴f (x )在(－∞，－1]上的最小值为f (－1)＝lg(m －1－2－1) 所以要使f (x )在(－∞，－1]上恒取正值， 只需f (－1)＝lg(m －1－2－1)>0， 即m －1－2－1>1，∴1m >1＋12＝3
2，
∵0<m <1，∴0<m <2
3.。