2.4 直线与圆锥曲线的位置关系(第二课时)课件-2024-2025学年高二上数学北师大版选择性必修

根 据 圆 锥 曲 线 方 程 的 特 点 ， 通 过 分 解 因 式 ， 作 的 差 式 中 含 有 x1 x2 ，
y1 y2 ， x1 x2 ， y1 y2 ，在弦的斜率 k 存在时，k
y1 x1
y2 x2
，中点坐标(x0，y0)
满足 x1 x2 2x0 ， y1 y2 2 y0 .这两种方法都体现了从“整体”上处理问题的
y02 x02 1
y02 y02
3 .
3
5.已知动圆过定点 M 0,4 ，且在 x 轴上截得的弦 AB 的长为 8.过此动圆圆心轨迹 C
上一个定点 Pm, 2 引它的两条弦 PS，PT，若直线 PS，PT 的倾斜角互为补角，记
C 直线 ST 的斜率为 k，则 mk ( )
A.4
B.2
C.-4
c2 a2 b2 ,
所以| PF | PF1 2a 4 2 ，所以| PF | 4 2 PF1 ，所以
| PF | | PA| 4 2 | PA| PF1 4 2 AF1 7 2 ，当且仅当点 P 在线段 AF1 上时等
号成立，所以| PF | | PA | 的最小值为 7 2 .故选 C.
如果直线 l 与圆锥曲线 C 相交于不同的两点 A x1, y1 ， B x2, y2 ，怎样求线段 AB 的长度(弦长)？
如果直线 l 的斜率存在，设其斜率为 k，则直线 l 的方程为 y=kx+m，将其代入
圆锥曲线方程，得出关于 x 的一元二次方程，根据根与系数的关系，可得 x1+x2，x1x2，
思考交流
某同学给出了例 2 的如下解决方法： 解：考虑到直线 l 与椭圆 C 的两个交点 A，B 是关于中心 O 对称的，所以
AB 2 OA 2 xA2 yA2 . 因为点 A 在椭圆 C 上，所以 xA2
2
y
2 A
4 ， 整理， 得 xA2
4
2
y
2 A
.
将其代入上式，消去 xA 可得 AB 4 2yA2 .
对于圆锥曲线中的定值问题，简而言之就是计算，其步骤为： （1）引入变量（直线的斜率、点的坐标等）; （2）利用直线与圆锥曲线的位置关系，建立变量之间的关系； （3）用变量表示所求定值的量，并作恒等变形得到定值．除利用上述方法 推证外，还可以利用图形的特殊位置求出定值（先用定值探路），再作一般 化证明．
y k x 1
设 M x1, y1 ， N x2, y2 ，显然 0 ，
所以 x1
x2
8k 2 3 4k 2
2
6 3 4k 2
， x1x2
4k 2 12 3 4k 2
1
3
15 4k
2
，
故
x1x2
5 2
x1
x2
4
.
由题意可得
A1(2, 0)
，
A2 (2, 0) ，则直线
由两点间的距离公式，得
AB
x1 x2 2
y1 y2 2
x1 x2 2 kx1 m kx2 m 2
1 k 2 x1 x2 2 4x1 x2
如果直线 l 的斜率不存在，则设直线方程为 x=m，直接代入圆锥曲线方程求得交点 坐标，再利用两点间距离公式求得|AB|．
如果直线 l 的斜率 k≠0，如何用 y1 ， y2 表述弦长公式?
c a
1 2
.又
A2
2, 0
，则 a
2
，所以 c
1
，所以b
22 11
3，
所以椭圆 C 的标准方程为 x2 y2 1 . 43
（2）由（1）得 F(1,0) ，所以直线 l 的方程为 y k(x 1)(k 0) ，
x2
由
4
y2 3
1
，可得
3 4k2
x2 8k 2x 4k 2 12 0 ，
例3
已知椭圆
C
:
x a
2 2
y2 b2
1
a
b
0
的右顶点为
A2
2,
0
，离心率为
1 2
.
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）设椭圆的左焦点和左顶点分别为 F 和 A1 ，过点 F 的直线与 C 交于 M，N 两点，
直线 MA1 与 NA2 交于点 P，证明：点 P 在定直线上.
解：
（1）依题意可得：e
A1M
的方程为
y
y1 x1
x
2
2
，
直线
A2 N
的方程为
y
y2 x 2
x2 2
.
设直线 A1M 与 A2 N 的交点坐标为 P x0, y0 ，
则
y1 x1
2 x0
2
y2 x2
2
x0
2 ，
故
x0 x0
2 2
y2 x1 y1 x2
2 2
k x1 2 x2 k x2 2 x1
方法二：利用直根线与与双系曲数线、的抛关物系线相可交得于两x1点，交x2点的中b点22坐a标2ak也m2用k 2同，样再的方根法据可以中得点到坐． 标公式求
得 x0 x1 x2
a2km b2 a2k2
，最后根据直线方程求得
y0
kx0
m．
直线与双曲线、抛物线相交于两点，交点的中点坐标也用同样的方法可以得到．
3.已知抛物线 y2 8x 上一点 P 到准线的距离为 d1 ，到直线l : 4x 3y 12 0 的距离
D 为 d2 ，则 d1 d2 的最小值为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析：由抛物线 y2 8x 知，焦点 F 2,0 ，准线方程为l : x 2 ，根据题意作图如下；
点 P 到直线 l : 4x 3y 12 0 的距离为 PA ，到准线l1 : x 2 的距离为 PB ， 由抛物线的定义知： PB PF ， 所以点 P 到直线 l : 4x 3y 12 0 和准线l1 : x 2 的距离之和为 PF PA ，
x2 2y2 4 ① 将直线和椭圆方程联立，得
y kx ②
将②代入①，得 x2 2 kx 2 4 ，
化简、整理，得 x2 2 kx 2 4 ．
③
显然，无论 k 取何值，方程③都有实数解， xA
4 2k 2
1 ， xB
由两点间的距离公式，可得
AB
xA xB 2
yA yB 2
xA xB 2 kxA kxA 2
课堂巩固
1.设 F1 ，F2 分别是椭圆
x2 9
y2 4
1 的左，右焦点，过 F1 的直线
l
交椭圆于
A，B
两点，
B 则 AF2 BF2 的最大值为( )
29
28
8
A. 3
B. 3
C. 3
D.6
解析：由椭圆的定义知
a 3， b 2 ， AF1 AF2 2a 6 ， BF1 BF2 2a 6 ，
2.4 直线与圆锥曲线的位置关系 （第二课时）
北师大版（2019）选择性必修一
学习目标
1.进一步熟悉直线与圆锥曲线的位置关系． 2.掌握弦长公式，会求解与弦长有关的问题．
学习重点
掌握弦长公式．
学习难点
会求解与弦长有关系的问题．
新课导入
我们已经学习了直线与圆锥曲线的位置关系，回忆学习过的内容，结 合图象，说明直线与圆锥曲线的位置关系及交点个数．
距为 8，点 A 的坐标为 (1,3) ，点 P 为 C 的右支上的一点，则| PF | | PA | 的最小值为
(C)
A. 4 2 2 5
B. 6 2
C.7 2
D.4 2 10
b
a
1,
解析：由题意知 2c 8, 解得 a 2 2 ，b 2 2 ，c 4 .记 C 的右焦点为 F1 ，
证明动曲线过定点的基本方法
（1）设出相关变量，如点的坐标、直线的斜率等，并以直线与圆锥曲线的 位置关系建立所设变量之间的关系． （2）用变量表示动曲线的方程，化简后即得动曲线所经过的定点． 特别地，证明动直线过定点，除按上述方法外还可以设出含变量的动直线方 程，利用条件建立变量间的关系，即可得证．
1 k 2 xA xB 2
1 k2
4 1
2k 2
④
4
2k 2
. 1
为了便于求 AB 的取值范围，将④进行变形整理得 AB
1
1．
2 4k 2 2
因为 4k 2
2
2 ，由不等式的性质可得0
1 4k 2 2
1， 2
所以 2 2 AB 4 ．
综合（1）和（2）的结果，|AB|的取值范围为 2 2, 4 ．
9
新课学习
如果直线 l : y
kx m 与椭圆C : x2 a2
y2 b2
1相交于不同的两点 A x1, y1 ，
B x2, y2 ，则 AB 中点 M x0, y0 的坐标如何求出?
直线 l : y
kx
m
与椭圆
C
:
x a
2 2
y2 b2
1 交于 A x1, y1 ， B x2, y2 两点，求 AB
在解析几何中, 代数运算是处理问题的重要方式, 因此, "如何算"？成为解析 几何中一个非常重要的问题, 反思上面例 1 的求解过程, 可否通过优化运算的 顺序, 实现运算的简化呢?
结论
本例第一种方法称为“根与系数的关系法”，即利用根与系数的关系，得出中点的 横坐标(或纵坐标)；
第二种方法称为“点差法”，即把弦的端点坐标代入圆锥曲线方程，然后作差，
思想．
例2 已知直线l过椭圆C : x2 y2 1 的中心，且交椭圆C于A，B两点，求|AB|的取 42
值范围．
解：
（1）当直线l的斜率不存在时，直线l：x 0 ，代入椭圆方程解得 A 0, 2 ，B 0, 2 ， 所以 AB 2 2 ． （2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx． 将椭圆方程化简、整理，得 x2 2 y2 4 ．
由上述函数关系可以求出 0 AB 4 .
请对该同学的上述解法进行评价.
总结
因为点A在椭圆C上，所以 yA
2, 2 ，因此 4 yA2 2, 2 ，即2 2 AB 4 ．
总结：
在求解解析几何问题的过程中，一方面利用数形结合的思维方式，另一 方面还应该在分析图形的基础上对题目中的几何要素进行表达，这直接关 系到后续代数处理的繁简程度，最后,要对注意变量的取值范围．
A.3
B. 3
1 C. 3
D.
1 3
解析：如图， A(1,0) ， B(1, 0) ，不妨设C(x0 , y0 ) ，则 D(x0, y0 ) ，
依题意， m
y0 , n x0 1
y0 x0 1
，因点C(x0 , y0 )
在双曲线上，故有 x02
y02 3
1，
于是， mn
y0 x0 1
y0 x0 1
△ABF2 的周长为
AF2 AB BF2 AF1 AF2 BF1 BF2 12
当 AB 最小时， AF2 BF2 最大.
当 AB x 轴，即 AB 为通径时， AB 最小，此时 AB 2b2 8 ， a3
AF2
BF2
的最大值为12 8 3
28 3
.
2.已知双曲线 C : x2 y2 1(a 0 ，b 0) 的左焦点为 F，渐近线方程为 y x ，焦 a2 b2
中点 M x0, y0 的坐标．
x2 y2 联立直线与椭圆的方程组： a2 b2 1，整理：
y kx m
b2 a2k 2 x2 2a2kmx a2m2 a2b2 0 ， 方法一：求得 x1, x2 ，利用中点坐标公式，得 x0 根据直线方程求得 y0 kx0 m ．
x1 x2 ，再利用中点在直线上， 2
D.-2
解析：设动圆圆心的坐标为 x, y ， 则 (x 0)2 ( y 4)2 42 y2 . 整理得，x2 8y .
故动圆圆心的轨迹 C 的方程为 x2 8y . 因此 m2 8 2 ， m 4 .
y 解方程组 x2
5
2x 1
y2
，得
1
x1 y1
4
0
x1
，
2
y1
5 3 4 3
因此 A 0, 2 ， B
5,4 33
.
2 x 1．
（1）设线段AB的中点M的坐标为（x，y），则
05
xБайду номын сангаас
3
2
5 ，y
24 3
1．
6
2
3
所以线段AB的中点M的坐标为
5,
1 ．
63
（2） AB
0
2
5
2 42 5 5．
3
3
3
思考交流
通过计算可得 AB
11 k2
y1 y2 2 4 y1 y2
例题来了
例1 已知斜率为-2的直线经过椭圆 C : x2 5
y2 4
1的左焦点 F1 ，与椭圆相交于A，B
两点，求：
（1）线段AB的中点M的坐标；
（2）|AB|的值．
解：
由题意知椭圆C的左焦点 F1 的坐标为 1,0 ，直线AB的方程为 y
1 1
x1x2 x1x2
x1 2x2 2x1 x2
2 2
5
2 5
2
x1 x1
x2 x2
4 4
x1 2x2 2x1 x2
2 2
3x1 x2 9x1 3x2
4 12
1 3
，
解得 x0 4 ，故直线 A1M 与 A2 N 的交点在直线 x 4 上.
解圆锥曲线中定值问题的思路
且点 F 2,0 到直线 l : 4x 3y 12 0 的距离为 d 8 0 12 4 ，
5 所以 d1 d2 的最小值为 4.
4.双曲线 E : x2 y2 1 的左，右顶点分别为 A，B，曲线 E 上的一点 C 关于 x 轴的对 3
B 称点为 D，若直线 AC 的斜率为 m，直线 BD 的斜率为 n，则mn ( )