高考调研 高考理科数学总复习选修4-4-1

2．(课本习题改编)将极坐标(2，3π2 )化为直角坐标为(
)
A．(0，2)
B．(0，－2)
C．(2，0)
D．(－2，0)
答案 B
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3．极坐标方程 ρ＝cosθ 化为直角坐标方程为________． 答案 (x－12)2＋y2＝14 解析 由 ρ＝cosθ，得 ρ2＝ρcosθ，∴x2＋y2＝x.
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(4)过极点，作倾斜角为 α 的直线的极坐标方程可表示为 θ＝ α 或 θ＝π ＋α.
(5)圆心在极轴上的点(a，0)处，且过极点 O 的圆的极坐标方 程为 ρ＝2asinθ .
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)×
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π (2)ρ＝3，θ＝－ 4 ，故
x＝ρcosθ＝32
2，y＝－3
2
2 .
从而点 P 的直角坐标为(322，－322)．
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π (3)方法一：A 和 C 点的极坐标都适合方程 θ＝ 4 (ρ∈R)，所 以 A，C 两点都在直线上．B 点的极坐标不适合方程，但 B 点与 π (3， 4 )表示同一个点，所以 B 点也在直线上． 方法二：三个点的直角坐标分别为 A( 2， 2)，B(322，322)， C(－ 2，－ 2)，直线方程的直角坐标方程为 y＝x，显然三点都 在直线上．
系数得 λ＝1，μ＝4，xy′ ′＝ ＝4x， ·y，直线 x－2y＝2 图像上所有点的横
坐标不变，纵坐标扩大到原来的 4 倍可得到直线 2x′－y′＝4.
【答案】
x′＝x， y′＝4y
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(2)双曲线 C：x2－6y42 ＝1 经过 φ：x2′y′＝＝3yx，变换后所得曲线 C′的焦点坐标为________．
课前自助餐
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极坐标系 在平面内取一个定点 O，叫做极点，自极点 O 引一条射线 Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧 度)及其正方向(通常取逆时针方向)，就建立了极坐标系．
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点的极坐标 对于极坐标系所在平面内的任一点 M，若设|OM|＝ρ (ρ ≥ 0)，以极轴 Ox 为始边，射线 OM 为终边的角为 θ，则点 M 可用 有序数对(ρ，θ )表示．
(4)求直线 θ＝π4 (ρ∈R)和 ρ＝2 的交点的极坐标．
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【解析】 由极坐标与直角坐标表示同一点的坐标，那么它 们之间可以互化，则yx＝＝ρρcsionsθθ，或tρa＝nθ＝x2＋yx. y2，
(1)x＝1，y＝－ 3，∴ρ＝2，tanθ＝－ 3，θ＝5π3 .故极 坐标为(2，5π3 )．
tanθ
＝yx（x≠0）.
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常用简单曲线的极坐标方程
曲线形状(特征) 过极点且与极轴成 α 角的直线 过(a，0)且垂直于极轴的直线 过(b，π2 )且平行于极轴的直线 过(ρ0，θ 0)且与极轴成 α 角的直线
圆心在极点，半径为|r|的圆 圆心在(a，0)，半径为|a|的圆 圆心在(a，π2 )，半径为|a|的圆 圆心在(ρ0，θ 0)，半径为 r 的圆
极坐标方程 θ＝α(ρ∈R) ρcosθ ＝a ρsinθ ＝b
ρsin(α－θ)＝ρ0sin(α－θ0) ρ＝r
ρ＝2acosθ ρ＝2asinθ
ρ2－2ρ0ρ cos(θ－θ0)＋ρ02－r2＝0
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求曲线的极坐标方程的基本步骤 第一步建立适当的极坐标系； 第二步在曲线上任取一点 P(ρ，θ )； 第三步根据曲线上的点所满足的条件写出等式； 第四步用极坐标 ρ，θ 表示上述等式，并化简得极坐标方程； 第五步证明所得的方程是曲线的极坐标方程．
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1．判断下面结论是否正确(打“√”或“×”)． (1)点 P 在曲线 C 上，则点 P 的极坐标一定满足曲线 C 的极 坐标方程． (2)tanθ ＝1 与 θ＝π4 表示同一条曲线． (3)点 P 的直角坐标为(－ 2， 2)，那么它的极坐标为(2，3π4 )．
(5)因为 ρ2cos2θ＝4，所以 ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝4，即 x2－y2 ＝4.
(6)因为 ρ＝2－c1osθ，所以 2ρ－ρcosθ＝1，因此 2 x2＋y2－ x＝1，化简得 3x2＋4y2－2x－1＝0.
【答案】 (1)ρsin2 θ ＝4cosθ (2) ρ 2 －2ρcosθ －1＝0 (3)y＝ 3x (4)y2＝－4(x－1) (5)x2－y2＝4 (6)3x2＋4y2－2x－ 1＝0
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授人以渔
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题型一 平面直角坐标系下图形的变换 在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸 缩变换xy′′＝＝23xy，后的图形的方程． (1)2x＋3y＝0； (2)x2＋y2＝1.
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思考题 2 (1)若点 P 的直角坐标为(1，－ 3)，则点 P 的 极坐标为________；
(2)若点 P 的极坐标为(3，－π4 )，则点 P 的直角坐标为 ________；
(3)判断点 A(2，π4 )，B(3，9π4 )，C(－2，π4 )是否在直线 θ ＝π4 (ρ∈R)上；
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★状元笔记★ 直角坐标方程与极坐标方程互化的方法
(1)直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式 x＝ρcosθ及 y＝ρsinθ直接代入并化简即可．
(2)极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形，构造形如 ρcos θ，ρsinθ，ρ2 的形式，进行整体代换．其中方程的两边同乘 以(或同除以)ρ 及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程进 行变形时，方程必须保持同解，因此应注意对变形过程的检验．
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4．在极坐标系中，过点(2，π2 )且与极轴平行的直线方程是
()
A．ρ ＝0
B．θ ＝π2
C．ρ cosθ ＝2
D．ρ sinθ ＝2
答案 D
π 解析 极坐标为(2， 2 )的点的直角坐标为(0，2)，过该点且与
极轴平行的直线的方程为 y＝2，其极坐标方程为 ρsinθ＝2，故选
π 当 x＝0 时，y＝0.显然(0，0)在 y＝ 3x 上，故 θ＝ 3 (ρ∈R) 的直角坐标方程为 y＝ 3x. (4)因为 ρcos22θ＝1，所以 ρ·1＋c2osθ＝1，而 ρ＋ρcosθ＝2， 所以 x2＋y2＋x＝2.代简得 y2＝－4(x－1)．
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(2)将 x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入 y2＋x2－2x－1＝0，得(ρsin θ)2＋(ρcosθ)2－2ρcosθ－1＝0，化简得 ρ2－2ρcosθ－1＝0.
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(3)当 x≠0 时，由于 tanθ＝yx，故 tanπ3 ＝yx＝ 3，化简得 y ＝ 3x(x≠0)；
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选考部分 选修系列4
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选修4－4 坐标系与参数方程 第1课时 坐 标 系
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…2018 考纲下载… 1．了解在平面直角坐标系下的伸缩变换． 2．理解极坐标的概念，能进行极坐标和直角坐标的互化． 3．能在极坐标系中给出简单图形(直线、过极点或圆心在极 点的圆)的方程．
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(2)伸缩变换． 一般地，由ky＝x＝y′x′，所确定的伸缩变换，是按伸缩系数为 k 向着 x 轴的伸缩变换(当 k>1 时，表示伸长；当 0<k<1 时，表示 压缩)，即曲线上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的 k 倍(这 里，P(x，y)是变换前的点，P′(x′，y′)是变换后的点)．
π 1)，其对应的极坐标为(1，－ 2 )．
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6．(2017·北京，理)在极坐标系中，点 A 在圆 ρ2－2ρcosθ － 4ρsinθ ＋4＝0 上，点 P 的坐标为(1，0)，则|AP|的最小值为 ________．
答案 1 解析 将圆的极坐标方程化为直角坐标方程为 x2＋y2－2x－4y ＋4＝0，即(x－1)2＋(y－2)2＝1，圆心为(1，2)，半径 r＝1.因为点 P(1，0)到圆心的距离 d＝ （1－1）2＋（0－2）2＝2>1，所以点 P 在圆外，所以|AP|的最小值为 d－r＝2－1＝1.
【解析】
由伸缩变换xy′′＝＝23xy，，得到xy＝＝1213xy′′，. (*)
(1)将(*)代入 2x＋3y＝0，得到经过伸缩变换后的图形方程是
x′＋y′＝0.
因此，经过伸缩变换xy′′＝＝23xy，后， 直线 2x＋3y＝0 变成直线 x＋y＝0.
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请注意 从目前参加新课标高考的省份对本部分内容的考查来看，主 要考查极坐标方程和直角坐标方程的互化、及常见曲线的极坐标 方程与极坐标方程的简单应用，预测 2019 年高考在试题难度、 知识点考查等方面，不会有太大的变化．
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D.
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5．在极坐标系中，圆 ρ＝－2sinθ 的圆心的极坐标是( )
A．(1，π2 ) C．(1，0)
B．(1，－π2 ) D．(1，π )
答案 B 解析 由 ρ＝－2sinθ得 ρ2＝－2ρsinθ，化成直角坐标方程为 x2＋y2＝－2y，化成标准方程为 x2＋(y＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－
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思考题 1 (1)在同一平面直角坐标系中，将直线 x－2y＝
2 变成直线 2x′－y′＝4，求满足图像变换的伸缩变换． 【解析】 设变换为yx′′＝＝μλ··xy， ，λ μ>>00， ， 可将其代入第二个方
程，得 2λx－μy＝4，与 x－2y＝2 比较，将其变成 2x－4y＝4，比较
将直角坐标方程与极坐标方程互化．
(1)y2＝4x；
(2)y2＋x2－2x－1＝0；
(3)θ＝π3 (ρ∈R);
(4)ρcos22θ＝1；
(5)ρ2cos2θ ＝4;
(6)ρ＝2－c1osθ .
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【解析】 (1)将 x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入 y2＝4x，得(ρsin θ)2＝4ρcosθ.化简得 ρsin2θ＝4cosθ.
【解析】 由x2′y′＝＝3xy，得xy＝ ＝2x′y3′，代入 C 中得x′9 2－y1′62＝ 1，∴C′的方程为x92－1y62 ＝1，焦点为(5，0)和(－5，0)．
【答案】 (5，0)和(－5，0)
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题型二 极坐标与直角坐标方程的互化
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极坐标与直角坐标的互化
在平面直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，射线 Ox 的正方向
为极轴，取相同的长度单位，建立极坐标系．设点 P 的直角坐标
为(x，y)，它的极坐标为(ρ，θ
)，则相互转化公式为xy＝ ＝ρρcsionsθθ

， ，
ρ2＝x2＋y2，
(2)将(*)代入 x2＋y2＝1，得到经过伸缩变换后的图形的方程
是x′4 2＋y′9 2＝1.
因此，经过伸缩变换xy′′＝＝23xy，后，圆 x2＋y2＝1 变成椭圆x42
＋y92＝1. 【答案】
(1)x＋y＝0
(2)x42＋y92＝1
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★状元笔记★ (1)平移变换． 在平面直角坐标系中，设图形 F 上任意一点 P 的坐标为(x， y)，向量 a＝(h，k)，平移后的对应点为 P′(x′，y′)，则有(x， y)＋(h，k)＝(x′，y′)，或表示为xy＋＋kh＝＝xy′′，.