等比数列的前n项和

11.等比数列公比不为 1, 若a1 1, 且an2 an1 an 0, 求S5
提高练习
1.等比数列中 , Sn1 , Sn , Sn2成等差, 求公比q
2.一个等比数列的首项为 1，项数是偶数，其奇数 项的和为 85， 偶数项的和为 170 ，求此数列的公比和项 数.
分组求和法
等比数列前n项和公式
q≠1时， 当 Sn n a1 (1 q ) a1 an q 1 q 1 q
① ②
当 q＝1时，
na1
q1 q1
思考： 什么时候用公式①, 什么时候用公式②?
例1 判断正误：
1 (1 2 ) 1 2 2 2 2 × 1 2
2.分组求和法 把数列的每一项分成若 干部分，并分别把具有 共同特征的部分放在一 起 是其转化为等差或等比 数列求和（等差 等比）（等比 等比）
3.裂项相消法 把数列的通项拆成两项 之差，求和时按照所拆 写出所有项，正负相消 剩下首尾若干项 .
4.错位相减法 只适用于（等差 等比）的形式，做法唯 一：两边同时乘以公比
2.5
等比数列的前n项和
复习回顾
定义
等差数列
通项公式
前n项和公式
等比数列
an1 * q( n N ) 定义 an
通项公式
an a1q
n1
amq
n m
？
Sn a1 a2
a2 a1 1 a3 a2 2 a4 a3 3
.........
a3 an
an 为等比数列， Sn为前n项和 例2 填空：已知
a1
第 1题 第 2题 第 4题 3 8
-6
q
2 0.5
-4
n
6
5
an
96
Sn
189
第3题 -1.5
4
5
0.5 15.5 96 76.5 -96 -66
反思总结:
-2
①。 a1 , q, n, an , Sn
知三求二
②如果不能用公式直接求出某个量，就要建立方 程组来求解。
其它求和公式简介： n(n 1)(2n 1) 1.1 2 3 ... n 6
2 2 2 2
n(n 1) 2.1 2 3 ... n 2
3 3 3 3
2
1.已知函数f ( x) x 2 7 x, 数列an 的前n项和为S n , 点P(n, S n ) 在y f ( x)上(1)求数列an 的通项公式及 S n的最大值； (2)令bn 2 an , 求nbn 的前n项和Tn .
错位相减法
1 n 2.已知 an (3n 1) ( ) , 求其前 n项和. 2 2 3 n 3.求和Sn x 2x 3x ... nx ( x 0)

1.求和Sn 1 2 2 4 3 8 .... n 2
n
数列求和小结
1.公式法
直接用等差、等比数列 的求和公式求和（注意 公比含字母是一定要讨 论）
3.在等差数列an 中，a5 9, a3 a9 22 (1)求数列an 的通项公式 (2)若在数列an 的相邻两项an和an 1之间各插入一个数2n , 使之成为 新的数列bn ，Sn为数列bn 的前n项和，求S 20 . (3)若构成的新数列bn 恰好为2n项，求S2 n
能力检验
1 1 1.在等比数列 an 中, a1 8, q , an , 求S n 2 2 2.设等比数列an 的前n项和为Sn , 若S3 S6 2S9 , 求公比q.
an 中,已知Sn 189, q 2, an 96, 求a1和n. 3.在等比数列
课堂小结 这节课我们主要学到了什么？
q1
1. 一个公式： 错位相减 2. 两种方法： 解方程 类比 3. 三种数学思想： 方程 分类讨论
q1
深化理解
3 9 例.在等比数列an 中，a3 , S3 , 求a1与q. 2 2
an 中，a1 2, S3 14, 求a3与q. 变式：在等比数列
Sn an an1 an 2 a1
累
倒序相加法
加
an an 1 n 1 法
1 a1 1 2 1 1 a2 3 2 1 1 an n1 n
裂 项 相 消 法
求和的根本目的是— —消项
引入:国际象棋起源于古代印度，据传，国王要奖赏国 际象棋的发明者，问他有什么要求，发明者说：“请在 棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，在第2 个格子里放上2颗麦粒，在第3个格子里 放上4颗麦粒，在第4个格子里放上8颗麦 粒，依次类推，每个格子里放的麦粒数 都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直 到第64个格子.”国王能满足他的要求吗？
分组求和法
1 1 1 1 练习：求数列 1 ,2 ,3 ， ... ，n n 的前 n项和. 2 4 8 2
裂项相消法
1 1 1 例.求数列1 ... 的值. 1 2 1 2 3 1 2 3 ... n
变式：已知数列bn 的前n项和Sn n 2n 1,
链接高考
an 2为等比数列； (1)求证：
2.已知数列an 的前n项和为S n , 满足S n 2an 2n
bn (2)若数列bn 满足bn log2 (an 2),Tn为数列 an 2 1 3 的前n项和，求证： Tn 2 2
4.求1 a a a 的和
2 n 1
5.数列 1,1 2,1 2 2 ,..., 1 2 2 ... 2 ,... 的前n项和.
2 2
n1
基础训练
6.已知等比数列的前 n项和为S n 4 a, 则a的值为（）
n
A. 4
B. 1
C.0
2
1 求数列 的前n项和Tn bnbn 1
常见裂项形式：
1 1 1 1 n( n 2) 2 ( n n 2 ) 1 1 1 1 ( 2n 1)(2n 1) 2 ( 2n 1 2n 1 ) 1 n 1 n n n 1 n 2 1 1 n n 1 n n 1 ( 2 1)(2 1) 2 1 2 1 n 1 l n (n 1) l n n l n n
n 2 3 n
（ 5 1-1 ） 5 5 5 ... 5( n项) 0 11
n
×
n

1 2 4 8 ( 2 )
n 1
1 1 (1 n ) 1 1 1 1 3 3 ④ 2 3 n 1 3 3 3 3 1 3
1 （1 - 2 ） 1- 2 ×
D.1
an 中，已知Sn 48, S2n 60, 求S3n 7.在等比数列
an 中, 首项a1 3, 前3项和为21 8.正项等比数列 ，求公比
S2 9.等比数列中， 8a2 a5 0, 求 S5 10.等比数列中 , q 0,已知a2 1, an2 an1 2an求其前2013 项的和 .