选择必修 第三章 3.3.2 抛物线的简单几何性质(第1课时) 课件(共24张PPT)

知新探究
1.焦点弦长
已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，则称AB

为抛物线的焦点弦．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知，|AF|＝x1＋ ，
2

x1+x2+p
2 + .
|BF|＝_________，故|AB|＝_____________.
y
2
A
⑷写出方程:将求出的p值代入设出的方程中,确定抛物线方程.
Байду номын сангаас
初试身手
1.求与抛物线y2＝－16x共顶点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线x－2y－4＝0上的
抛物线的标准方程．
解： ∵抛物线的顶点在原点，焦点在坐标轴上，
∴直线x－2y－4＝0与坐标轴的交点即抛物线的焦点．令x＝0，得y＝－2；
令y＝0，得x＝4，
由抛物线的定义可知，|AF|=dA=x1+1,|BF|=dB=x2+1,
于是|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2.
∵直线l的斜率为1，且过焦点F(1, 0)，
∴直线l的方程为y-0=x-1，即y=x-1． ①
将方程①代入抛物线方程y2=4x ，得 x2-6x+1=0．
∴x1+x2=6，
∴|AB|=x1+x2+2=8.
如果直线l不经过焦
点F，|AB|还等于
x1+x2+2吗？
知新探究
【例3】斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线相交与A，B两点，
求线段AB的长.
分析：线段AB的长就等于直线l与抛物线y2=4x的相交弦的长，类比椭圆、双曲线，
也可以利用相交弦的弦长公式进行求解.
解： 方法3：由抛物线的标准方程得,焦点F坐标为(1, 0)，
由此可见，只要求出A，B两点的横坐标之和x1+x2，就可以求出|AB|.
知新探究
【例3】斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线相交与A，B两点，
求线段AB的长.
解： 方法2：由题意可知,p=2, = 1，焦点F坐标为(1, 0)，准线方程为x=-1,
2
如图，设A(x1,y1),B(x2,y2)，A，B到准线的距离分别为dA,dB,
|AB|＝8. 求直线l的方程
解： 由题意得F(1,0)，
直线l的方程为y＝k(x－1)(k>0)．
设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
= −
由ቊ 2
,消去y,得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
= 4
2 2 +4
1+x2= 2 ，
4 2 +4
∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝ 2 =8,
解：
= + 2
由ቊ
，消去x得ky2－y＋2＝0，
2
=
若k＝0，直线与抛物线只有一个交点，则y＝2，符合题意；
1
若k≠0，则Δ＝1－8k＝0，所以k＝ .
8
1
综上，实数k的值为0或 .
8
知新探究
相切
相交
相离
直线与抛物线有三种位置关系：_______、_______和_______.
设直线y＝kx＋m与抛物线y2＝2px(p＞0)相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，将y＝
求线段AB的长.
分析：下面介绍另外一种方法—数形结合法
在图中，设A(x1,y1),B(x2,y2).由抛物线的定义可知，|AF|等
于点A到准线的距离|AA′|.

由p=2,
2

= 1,|AA′|=x1+ =x1+1,于是|AF|=x1+1,
2

同理|BF|=|BB′|=x2+ =x2+1,
2
于是得|AF|+|BF|=x1+x2+p=x1+x2+2.
∴抛物线的焦点坐标为(4，0)或(0，－2)．

当焦点为(4，0)时, ＝4，即p＝8，此时抛物线的标准方程为y2＝16x；
2

当焦点为(0，－2)时, ＝2，即p＝4，此时抛物线的标准方程为x2＝－8y.
2
故所求抛物线的标准方程为y2＝16x或x2＝－8y.
知新探究
【例2】若直线y＝kx＋2与y2＝x只有一个公共点，求实数k的值.

2
y=－ .

F(0,− )
2

y= .
2
F(0, )

2
知新探究
类比用方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，你认为应研究抛物线
y2=2px(p＞0)
的哪些几何性质? 如何研究这些性质?
1.范围
2.对称性
3.顶点
4.离心率
研究方法：
直观猜想
方程验证
知新探究
1.范围
当p>0时，由抛物线y2＝2px(p>0)方程可知，对于这条抛
∴直线AB的方程为y-0=x-1，即y=x-1． ①
将方程①代入抛物线方程y2=4x ，得 x2-6x+1=0．
设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1+x2=6，x1x2=1
∴|AB|= 1 + 2 ∙ (1 + 2 )2 −41 2
= 1 + 12 ∙ 62 − 4 × 1=8.
上例中如果直线l不经过焦点F, |AB|的长还等于x +x +2吗?
1
由上例求解过程可得|AF|=x1+1,|BF|=x2+1,
|AB|<|AF|+|BF|=x1+x2+2.
由三角形性质，得
2.一般弦长
2
F
B
O
B
设斜率为k的直线l与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝
1
选择必修
第三章 圆锥曲线的方程
3.3 抛物线
3.3.2 抛物线的简单几何性质（第1课时）
教学目标
学习目标
数学素养
1.掌握抛物线的简单几何性质.
1.数学抽象素养和直观想象素
养.
2.理解抛物线离心率的定义和取值范围、通径
及焦半径的应用.
2.直观想象素养素养和数学运
算素养.
3.初步运用抛物线的性质解决一些应用问题.
补充：
1.(多选)以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物
线的顶点在坐标原点，则其方程可以为
A.y2＝8x
B.y2＝－8x
C.x2＝8y
D.x2＝4y
2.抛物线C的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，抛物线C过点A(4,4)，过抛物线C的焦
点F作倾斜角等于45°的直线l，直线l交抛物线C于M，N两点．
【例1】已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M(2,-2 2)，
求它的标准方程．
解： ∵抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M(2,-2 2)，
y
∴可设抛物线的标准方程为 y2＝2px(p>0)，
∵点M在抛物线上，
∴(−2 2)2 = 2 × 2,
解得p=2,
因此，所求抛物线的标准方程为y2=4x.
⑴求抛物线C的方程；
⑵求线段MN的长．
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
x
O F
M
知新探究
顶点在原点，对称轴是坐标轴，并且经过点M(2,－2 2)的抛物线有几条？求出
这些抛物线的标准方程．
解： ∵顶点在原点，对称轴是坐标轴，并且经过点M(2,－2 2).
y
∴抛物线图形如图所示，
∴设所求的抛物线方程为y2＝2px或x2＝-2py(p>0)．
O
x
F
M
∴(−2 2)2 = 2 × 2或22 = −2 × (−2 2).
∴ = 2或 =
O
2
．
2
∴所求抛物线方程为 2
y
=
4或 2
= − 2.
x
F
M
知新探究
用待定系数法求抛物线标准方程的步骤
⑴定位置:根据抛物线的几何性质等条件确定焦点的位置或开口方向;
⑵设方程:根据确定的焦点位置或开口方向设出相应的方程,若不能确定,则要分
情况讨论;
⑶列方程:利用准线、焦点等条件列出关于p的方程,确定p的值;
解这个方程，得x1=3+2 2， x2=3-2 2 ，
代入方程①中，得y1=2+2 2 ， y2=2-2 2 ，
即A(3+2 2, 2+2 2 )，B(3-2 2, 2-2 2 )．
∴|AB|= (4 2)2 +(4 2)2 =8.
知新探究
【例3】斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线相交与A，B两点，
焦点

F( ,0)
2
准线

x=－ .
2
范围
顶点
对称轴
e
x≥0,y∈R
x轴
y2=-2px(p＞0)

F(− ,0)
2

x= .
2
x≤0,y∈R
(0,0)
x2=2py(p＞0)

F(0, )
2

2
y=－ .
1
y≥0,x∈R
y轴
x2=-2py(p＞0)

F(0,− )
2

y= .
2
y≤0,x∈R
知新探究
1 + 2 ∙ (1 + 2 )2 −41 2
2
2
______________________或|AB|＝________________________(k≠0)．
1 + ∙ (1 + 2 ) −41 2

l
A
x
初试身手
3.设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，
kx＋m代入y2＝2px，消去y并化简，得k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0.
①k＝0时，直线与抛物线只有1个交点；
②k≠0时，Δ＞0⇔直线与抛物线相交⇔有两个公共点；
Δ＝0⇔直线与抛物线相切⇔只有1个公共点．
Δ＜0⇔直线与抛物线相离⇔没有公共点．
知新探究
【例3】斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线相交与A，B两点，
3.顶点
抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．
在方程2 = 2 ( > 0)中，
当 = 0时， = 0
因此抛物线的顶点就是原点.
4.离心率
抛物线上的点与焦点的距离和点到准线的距离的
比


，叫做抛物线的离心率，用e表示．
由抛物线的定义可知， = 1.
知新探究
图形
方程
y2=2px(p＞0)

Δ＝16k2＋16>0，则x
解得k＝－1(舍去)或k＝1.
则直线l的方程为y=x-1.
课堂小结
1.抛物线的几何性质:
范围、对称性、顶点、离心率、焦半径
2.利用抛物线的几何性质求抛物线的标准方程、焦点坐标及解决其它问题.
作业布置
作业：P138 练习 第2,3题
P138-139 习题3.3 第5,12题.
3.数学抽象素养和数学运算素
养.
温故知新
把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
y2=2px(p＞0)
y2=-2px(p＞0)
x2=2py(p＞0)
x2=-2py(p＞0)

2
F( ,0)

2
F(− ,0)

2
x=－ .

2
x= .
物线上的任意一点M(x，y)，x≥0,y∈R,当x>0时，抛物线在y轴
的右侧，开口与x轴的正方向相同；当x的值增大时，|y|的值
也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.
2.对称性
以−代，方程2 = 2 ( > 0)不变，所以抛物线关
于轴对称．
我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.
知新探究
求线段AB的长.
分析：由抛物线的方程可以得到焦点坐标，又直线l的斜率为1，可以求出直线l的方
程；与抛物线的方程联立，可求出A，B两点的坐标，从而求出线段AB的长.
解： 方法1：由抛物线的标准方程得,焦点F坐标为(1, 0)，
∴直线l的方程为y-0=x-1，即y=x-1． ①
将方程①代入抛物线方程y2=4x ，得 x2-6x+1=0．