甘肃省白银市2013年高考数学模拟试题 理 新人教A版

2013年高考模拟试卷理科
数 学
注意事项:
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号,写在本试卷上无效。

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷
一、选择题：（本大题共60分，每小题5分，每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
（1）已知集合{|}A x R 3x 20=∈+>，{|()()}B x R x 1x 30=∈+->, 则=B A ( )
A.)1,(--∞
B.
)
32,1(-- C.
)
3,32
(- D. ),3(+∞ （2）在复平面内,点(2,1)对应的复数为Z,则Z 的共轭复数是
（ ）
A 2i 5+
B 2i 5-
C 52i +
D 52i -
（3）执行右图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） A. 64 B .16 C.8 D. 2
（4) 函数
x
x x f )21
(ln )(+= 的零点个数为 （ ） A 0 B 1 C 2 D 3
（5）从5位男数学教师和4位女数学教师中选出3位教师派到3个班担任班主任（每班1
位班主任），要求这3位班主任中男女教师都有，则不同的选派方案共有（ ） A ．210 B ．420 C.630 D ．840
（6）已知函数x
x f 21)(-=,数列}{n a 的前n 项和为n S ,)(x f 的图象经过点(n,Sn),则{an}
的通项公式为 （ ）
A an=-2n
B an=2n
C an=-2n-1
D an=2n-1
（7）右图是一个多面体的三视图，则其全面积为(
3.A
623.
+B 43.+C 63.+D
（8）函数f(x) =cosx-sinx, 把y=f(x)的图象上所有的点向右平移0()ϕϕ>个单位后，恰好得到函数y=f’(x)的图象，则ϕ的值可以为（ ）
A ．2π
B ．23π
C ．π
D ．43π
（9）已知图①中的图象对应的函数为y ＝f(x)，则图②的图象对应的函数为( )．
A ．y ＝f(|x|)
B ．y ＝|f(x)|
C ．y ＝f(－|x|)
D ．y ＝－f(|x|)
(10) 已知F1 、F2分别是双曲线122
22=-b y a x （a>0,b>0）的左、右焦点，P 为双曲线上的一
点，若︒
=∠9021PF F ,且21PF F ∆的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是（ ）
A ．2
B ． 3
C ． 4
D ． 5
（11）已知偶函数f ( x )对任意的x ∈R 满足 f ( 2 + x ) = f ( 2 – x )，且当-2≤x≤0时， f ( x ) = log2( 1 – x )，则f ( 2013 )的值是( )．
A ．2013
B ．2
C ．1
D ．0
（12）已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为 ( )
A 26
B 36
C 23
D 22
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-24题为选考题，考生根据要求作答。

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

(13) 已知在等差数列{an}中，a2+ a5=6, a3=2,则S4=_______
(14) 已知)3,3(b = ，且1|a |=，10|b a 2|=+，则向量
a,b 夹角为_________.
(15)．若,x y 满足约束条件：
02323x x y x y ≥⎧⎪
+≥⎨⎪+≤⎩
；则x y -的最小值为
_____
(16). 假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的5袋牛奶的编号: ________________ （下面摘取了随机数表第7行至第9行）．
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分） 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且bsinA=
3acosB ．
（Ⅰ）求角B 的大小；
（Ⅱ）若b=3，sinC=2sinA ，求△ABC 的面积。

18.（本小题满分12分）
（某品牌的汽车4S 店，对最近100位采用分期付款的购车者进行统计，统计结果如下表所示：已知分3期付款的频率为0.2，4S 店经销一辆该品牌的汽车，顾客分1期付款，其利润为1万元，分2期或3期付款其利润为1.5万元；分4期或5期付款，其利润为2万元，用η表示经销一辆汽车的利润。

（Ⅰ）求上表中的a,b 值；
（Ⅱ）若以频率作为概率，求事件A ：“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有1位采用3期付款”的频率P （A ）；
（Ⅲ）求η的分布列及数学期望E η。

（19）（本小题满分12分） 如图，在三棱锥S-ABC 中，侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形，∠BAC=900，O 为BC 中点． （Ⅰ）证明：SO ⊥平面ABC ；
（Ⅱ）求二面角A-SC-B 的余弦值． 20.（本小题满分12
分）
已知抛物线L ：x2=2py 和点M （2，2），若抛物线L 上存在不同两点A 、B 满足0
=+BM AM
（Ⅰ）求实数
p 的取值范围;
（Ⅱ）当p=2时，抛物线L 上是否存在异于A ，B 的点C ，使得经过A ，B ，C 三点的圆和抛物线L 在点C 处有相同的切线，若存在，求出点C 的坐标，若不存在，请说明理由。

（21）（本小题满分12分）
已知函数f(x) =x2-ax-aln(x-1) (a ∈R). （Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；
（Ⅱ）试说明是否存在实数a(a≥1)，使y= f(x)的图象与直线无公共点。

请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清楚题号。

D F
E C
B
A
o
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，∠BAC 的平分线AD 交⊙O 于D ，AC DE ⊥交AC 延长线于点E ，OE 交AD 于点F . （Ⅰ）求证：DE 是⊙O 的切线；
（Ⅱ）若53=
AB AC ，求DF AF
的值.
23.(本小题满分10分)选修4—4；坐标系与参数方程
已知直线⎩⎨
⎧=+=ααsin cos 1:1t y t x C （t 为参数），1:2=ρC .
（Ⅰ）当
3π
α=
时，求1C 与2C 的交点坐标；
（Ⅱ）以坐标原点O 为圆心的圆与1C 的相切，切点为A ，P 为OA 中点，当α变化时，求P 点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线. 24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 设函数|||1|)(a x x x f -+-=. （Ⅰ）若1-=a 时,解不等式3)(≥x f ； （Ⅱ）如果,2)(,≥∈∀x f R x ,求a 的取值范围。

2013年高考模拟试卷理科答案 数 学 注意事项:
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效。

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷
一、选择题：（本大题共60分，每小题5分，每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
（1）已知集合A={x ∈R|3x+2＞0}， B={x ∈R|（x+1）(x-3)＞0}
则A ∩B= （ ）
A （-∞，-1）
B （-1，-23）
C （-2
3,3） D (3,+∞)
【答案】D.
（2）在复平面内，点（2,1）对应的复数为Z,则Z 的共轭复数为 （ ）
A 2i 5+
B 2i 5-
C 52i +
D 52i -
【答案】C.【解析】因为55(2i)2i
2i (2i)(2i)+==-+-+.2+i 的共轭复数是2-i.故 选C.
（3）．执行如右图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） A. 64 B .16 C.8 D. 2 【答案】C.【解析】0=k ，11=⇒=k s ，
21=⇒=k s ，
22=⇒=k s ，8=s ，选C.
（4)函数
x
x x f )21
(ln )(+= 的零点个数为 （ ） A ．0 B.1 C.2 D.3
【答案】B.【解析】函数f(x)的定义域为(0,+∞) ,画出函数f1(x)=lnx,和f2(x)=-(21
)x 的图像可
知它们在 (0,+∞)上只有一个交点，故选B.
（5）从5位男数学教师和4位女数学教师中选出3位教师派到3个班担任班主任（每班1位班主任），要求这3位班主任中男女教师都有，则不同的选派方案共有（ ）
A ．210
B ．420 C.630 D ．840 【答案】B.【解析】
333954()
A A A -+= 420，故选
B ．
（6）已知函数x
x f 21)(-=,数列}{n a 的前n 项和为n S ,)(x f 的图象经过点(n,Sn),则{an}
的通项公式为 （ ）
A.an=-2n
B.an=2n
C.an=-2n-1
D.an=2n-1 【答案】C.【解析】∵函数f(x)=1-2x 经过点(n,Sn),∴Sn=1-2n,∴数列{an}是首项为-1,公比为2的等比数列，∴{an}的通项公式为an=-2n-1 故选C.
（7）如右图是一个多面体的三视图，则其全面积为( )
A.
3 B.6
23+ C.
43+ D. 63+
【答案】D.【解析】由几何体的三视图可得，此几何体是正三棱柱，其全面积为S ＝3×(2)2＋2×1
2×(2)2×sin60°＝6＋ 3.故选D. （8）函数
x x x f sin cos )(-=, 把)(x f y =
的图象上所有的点向右平移)0(>ϕϕ
个单位后，恰好得到函数
)(/
x f y =的图象，则ϕ的值可以为（ ） A ．2π B ．23π C ．π D ．43π
【答案】B.
（9） 已知图①中的图象对应的函数为y ＝f(x)，则图②的图象对应的函数为( )．
A ．y ＝f(|x|)
B ．y ＝|f(x)|
C ．y ＝f(－|x|)
D ．y ＝－f(|x|) 【答案】C.
(10) 已知F1 、F2分别是双曲线122
2
2=-b y a x （a>0,b>0）的左、右焦点，P 为双曲线上的一
点，若︒
=∠9021PF F ,且21PF F ∆的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是（ ）
A ．2
B ． 3
C ． 4
D ． 5
【答案】D.【解析】设|PF1|=m, |PF2|=n ，⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=-m
c n c n m a
n m 22)2(2222不妨设P 在第一象限，则由已
知得 5a2-6ac+c2=0e2-6e+5=0，解得e=5或e=1（舍去），选D ．
（11）已知偶函数)(x f 对任意的x ∈R 满足，)2()2(x f x f -=+，且当20x -≤≤时，
)1(log )(2x x f -=，则)2013(f 的值是( )．
A ．2013
B ．2
C ．1
D ．0
【答案】 C.【解
析
】
120134)(=）（质，即得，再利用其偶函数的性的周期为由题意可得f x f 选C
（12）已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为 ( )
（A ）26 （B ）36 （C ）23 （D ）2
2
【答案】A.
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-24题为选考题，考生根据要求作答。

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

(13). 已知在等差数列{an}中，a2+ a5=6, a3=2,则S4=_______.
【答案】4.【解析】由题意得
{
1122
256a d a d +=+=，∴a1=-2,d=2. ∴S4=4 .
(14). 已知)3,3(b = ，且1|a |=，10|b a 2|=+，则向量b a ,夹角为_________.
【答案】34π
.【解析】：∵10|b a 2|=+，∴4a2+4a·b+b2=10,又1|a |=，b
=32。

则向
量b a ,夹角为34π
(15)．若,x y 满足约束条件：
02323x x y x y ≥⎧⎪
+≥⎨⎪+≤⎩
；则x y -的最小值为
_____.
【答案】-3.【解析】约束条件对应ABC ∆边际及内的区域：3
(0,3),(0,),(1,1)
2A B C
则[3,0]t x y =-∈-,则最小值为-3.
(16). 假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60
袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的5袋牛奶的编号： _____________________ （下面摘取了随机数表第7行至第
9行）．
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 【答案】：785，667，199，507，175．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. （本小题满分12分）
在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且.cos 3sin B a A b =
（Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）若A C b sin 2sin ,3==，求ABC ∆的面积. 【答案】 解：（Ⅰ）由bsinA=3acosB 及正弦定理得sinBsinA=3sinAcosB ，∵A 为三角形
的内角，∴sinA≠0，∴sinB=3cosB ，即tanB=3，又B 为三角形的内角，∴B=3π；
（Ⅱ）由sinC=2sinA 及正弦定理得：c=2a ①，∵b=3，cosB=21
，
∴由余弦定理b2=a2+c2-2accosB 得：9=a2+c2-ac ②，
联立①②解得：a=3，c=23．即得面积为
233=
S .
18.（本小题满分12分）
（某品牌的汽车4S 店，对最近100位采用分期付款的购车者进行统计，统计结果如下表所示：已知分3期付款的频率为0.2，4S 店经销一辆该品牌的汽车，顾客分1期付款，其利润为1万元，分2期或3期付款其利润为1.5万元；分4期或5期付款，其利润为2万元，用
η表示经销一辆汽车的利润。

（Ⅰ）求上表中的a,b 值；
（Ⅱ）若以频率作为概率，求事件A ：“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有1位采用3期付 款”的频率P （A ）； （Ⅲ）求η的分布列及数学期望E η。

【答案】解：（Ⅰ）由0.220100a
a ==得,402010100a
b ++++=,10b ∴=…2分
（Ⅱ）记分期付款的期数为ξ，依题意得
402
(1)0.4,(2)0.2100100P P ξξ==
====
(3)0.2P ξ==
10(4)0.1,100P ξ==
=10
(5)0.1100P ξ===…………5分
则“购买该品牌汽车的3位顾客中至多有1位采用3期付款”的概率；
31
23()0.80.2(10.2)0.896
P A C =+⨯⨯-=…………7分
（Ⅲ）η的可能取值为1，1.5，2（单位：万元）
(1)(1)0.4P P ηξ====…………8分 ( 1.5)(2)(3)0.4
P P P ηξξ===+==
(2)(4)(5)0.10.10.2P P P ηξξ===+==+=…………10分
η
1 1.5
2 P 0.4
0.4
0.2
η∴的数学期望（万元）10.4 1.50.420.2 1.4E η=⨯+⨯+⨯=（万元）……12分
19.（本小题满分12分）
如图，在三棱锥S ABC -中，侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形，90BAC ∠=°，O 为BC 中点． （Ⅰ）证明：SO ⊥平面ABC ； （Ⅱ）求二面角A SC B --的余弦值．
【答案】解:（Ⅰ）由题设AB AC SB SC ====SA ，连结OA ，ABC △为等腰直角三角形，
所以
2
2OA OB OC SA ===
，且AO BC ⊥，又SBC △为等腰三角形，
SO BC ⊥，且
22SO SA =
，从而222OA SO SA +=．
所以SOA △为直角三角形，SO AO ⊥． 又AO
BO O =． 所以SO ⊥平面ABC ．…………………6分
（Ⅱ）解法一：取SC 中点M ，连结AM OM ，，由（Ⅰ）知SO OC SA AC ==，，
得OM SC AM SC ⊥⊥，．OMA ∠∴为二面角A SC B --的平面角．
由AO BC AO SO
SO BC O ⊥⊥=，，得AO ⊥平面SBC ．
所以AO OM ⊥，又
3
2AM SA =
，
故
26sin 33
AO AMO AM ∠=
==． 所以二面角A SC B --的余弦值为3
3………………12分
解法二：以O 为坐标原点，射线OB OA ，分别为x 轴、y 轴的正半轴，建立如图的空间直
角坐标系O xyz -． 设(1
00)B ，，，则(100)(010)(001)C A S -，，，，，，，，． SC 的中点11022M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，，111
101(101)
2222MO MA SC ⎛⎫⎛⎫=-=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，．
00MO SC MA SC ⋅=⋅=∴，．
故,MO SC MA SC MO MA ⊥⊥>，，<等于二面角A SC B --的平面角．……10分
3
cos 3
MO MA MO MA MO MA
⋅<>=
=
⋅，，
所以二面角A SC B --的余弦值为3
3．………12分
20（本小题满分12分）
已知抛物线L ：x2=2py 和点M （2，2），若抛物线L 上存在不同两点A 、B 满足0
=+BM AM
（Ⅰ）求实数p 的取值范围;
（Ⅱ）当p=2时，抛物线L 上是否存在异于A ，B 的点C ，使得经过A ，B ，C 三点的圆和抛物线L 在点C 处有相同的切线，若存在，求出点C 的坐标，若不存在，请说明理由。

【答案】解: （Ⅰ）
,),2,(),2,212
22211x x p x
x B p x x A <且（不妨设0
=+BM AM .
8,4.0)22,2()22,22
221212
22211p x x x x p x x p x x =+=+∴=--+--∴ （
时取等号）得当且仅当根据基本不等式b a b a b a =+≥+()2(
2
22
.
88),(2)(212212
2
21>≠+>+p x x x x x x 即
）。

，的取值范围为（即∞+>∴1,1p p
（Ⅱ）当p=2时,由（Ⅰ）求得A,B 的坐标为(0,0)\(4,4).
假设抛物线L 上存在点C )
4,0)(4,2
≠≠t t t t （,使得经过A,B,C 三点的圆和抛物线L 在点C 处
有相同的切线.
设经过A,B,C 三点的圆的方程为
,02
2=++++F Ey Dx y x ⎪⎩⎪⎨⎧
--=++-=++=.161641632
440242t t F E t tD F E D F ，则
.)
4()4()4()4(,22
222222⎪⎩
⎪
⎨⎧-+-=+-+-=+∴⎩⎨⎧==t b a b a b a b a NC NB NB NA .832484,81244223⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+-=⎪⎩
⎪⎨⎧+=+=+t t b t
t a t t tb a b a 解得
）。

，存在，其坐标为（故满足题设的点且即代入上式，得将即垂直，且该切线与而处的切线的斜率为在点抛物线12.2,40.0)2)(4(,0828
324,84.04122,124,0,2
232232'
---=∴≠≠=+-=--++=+-==--+-=⋅--
∴≠=
==C t t t t t t t t t t t b t t a t t bt a t t a t b NC t t
y k C L t
x
21.（本小题满分12分） 已知函数
()()()2ln 1.
f x x ax a x a R =---∈
（Ⅰ）求函数
()
f x 的单调区间；
（Ⅱ）试说明是否存在实数a ()1a ≥，使()y f x =
的图象与直线1ln
y =+
【答案】解：（Ⅰ）函数
()()
2ln 1f x x ax a x =---的定义域是
()1,+∞.
()'
2222,
211
a x x a f x x a x x +⎛
⎫- ⎪⎝⎭=--=--分
①若0,a ≤则()'
22221,021a x x a f x x +⎛
⎫- ⎪+⎝⎭≤=>-在
()1,+∞
上恒成立， 0a ∴≤时，()f x 的增区间为()
1,4+∞分。

②若0,a >则21,2a +>.故当21,2a x +⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()'2220;1a x x f x x +⎛⎫- ⎪⎝⎭=≤- 当2,2a x +⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，()'2220,1a x x f x x +⎛
⎫- ⎪⎝⎭=
≥-
0a ∴>时，()f x 的减区间为()21,,2a f x +⎛⎤ ⎥⎝⎦的增区间为2,.62
a +⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭分
（Ⅱ）1a ≥时，由（Ⅰ）可知，()f x 在()1,+∞上的最小值为221ln .242a a a f a +⎛⎫
=-+- ⎪⎝⎭
依题意，研究是否存在实数a
()1a ≥，使21ln
42a a
a -+
-1ln >+8分
记
()221ln 242a a a g a f a +⎛⎫
==-+- ⎪
⎝⎭()1a ≥ 又只需研究是否
()max g
a 1>+9分
()'
1
ln (ln 21)02
g a a a =--+-<()21ln
42a a g a a ∴=-+-在[)1,+∞上单调递减， ()()max 3
1ln 2,104g a g ∴==
+分 (
)max 314
1ln 21ln 0,
44g a e --=+--=> ∴存在实数()1a a ≥使()f x
的最小值大于1+
故存在
()
1a a ≥使
()
y f x =
的图象与直线
1y =+12分
请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清
D F
E C
B
A
o
楚题号。

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，∠BAC 的平分线AD 交⊙O 于D ，AC DE ⊥交AC 延长线于点E ，OE 交AD 于点F . （Ⅰ）求证：DE 是⊙O 的切线；
（Ⅱ）若53=
AB AC ，求DF AF
的值.
【答案】证明：（Ⅰ）连接OD ，可得 DAC OAD ODA ∠=∠=∠ OD ∥AE--------------3分 又DE OD DE AE ⊥⇒
⊥
∴DE 是⊙O 的切线.------- --5分
（Ⅱ）过D 作AB DH ⊥于H ，则有CAB DOH ∠=∠
53
cos cos =
=
∠=∠∴AB AC CAB DOH .------------------6分
设x OD 5=，则x DH x OH x AB 4,3,10===
2280,8x AD x AH ==∴--------------------------8分
由ADE ∆∽ADB ∆可得x AE AB AE AD 102
⋅=⋅=
x AE 8=∴
又AEF ∆∽ODF ∆，
58
=
=DO AE DF AF --------------10分. 23.(本小题满分10分)选修4—4；坐标系与参数方程
已知直线⎩⎨
⎧=+=ααsin cos 1:1t y t x C （t 为参数），1:2=ρC .
（I ）当
3π
α=
时，求1C 与2C 的交点坐标；
(II ）以坐标原点O 为圆心的圆与1C 的相切，切点为A ，P 为OA 的中点，当α变化时，求P 点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线.
【答案】解：（I ）当
3α=
π
时，1C
的普通方程为1)y x =-，2C 的普通方程为22
1x y +=
联立方程组
2
2
1)1y y x x ⎧⎪⎨+==-⎪⎩ 解得1C 与2C 的交点为(1,0)
，1(,22-…………………………………………5分
（II ）1C 的普通方程为sin cos sin 0x y ααα--=
A 点坐标为
2
,cos (si n )n si ααα-.∴当α变化时，P 点轨迹的参数方程为 2121sin co n s s 2i x y ααα⎧
=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩（α为参数）P 点轨迹的普通方程为
2211()416x y -+=
故P 点轨迹是圆心为1(,0)
4，半径为1
4的圆. ………………………………10分
24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 设函数|||1|)(a x x x f -+-=. (I).若1-=a 时,解不等式3)(≥x f ；
（II ）如果,2)(,≥∈∀x f R x ,求a 的取值范围。

【答案】 .解：（Ⅰ）当a=－1时，f(x)=︱x －1︳+︱x+1︳.由f(x)≥3得︱x －1︳+︱x+1|≥3
由绝对值的几何意义知不等式的解集为)
,23
[]23,(+∞--∞ ……5分
（Ⅱ）若1,()2|1|a f x x ==-，不满足题设条件
若
⎪⎩⎪
⎨⎧≥+-<<-≤++-=<1),1(21
,1,12)(,1x a x x a a a
x a x x f a ，)(x f 的最小值为a -1
若
⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+-<<-≤++-=>a x a x a
x a x a x x f a ),1(21,11,12)(,1，)(x f 的最小值为1-a
所以,2)(,≥∈∀x f R x 的充要条件是2|1|≥-a ，从而a 的取值范围为
),3[]1,(+∞--∞ .
解析二: (Ⅰ)同上
(Ⅱ)利用不等式的几何性质, 所以,2)(,≥∈∀x f R x 的充要条件是2|1|≥-a ， 从而a 的取值范围为),3[]1,(+∞--∞ .。