2021年九年级中考数学 三轮查漏补缺：反比例函数及其应用(含答案)

2021中考数学 三轮查漏补缺：反比例函数及其
应用
一、选择题 1. （2019·上海）下列函数中，函数值y 随自变量x 的值增大而增大的是( )
A ．y ＝3x
B ．y ＝－3x
C ．y ＝3x
D ．y ＝－3
x
2. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数y=kx+b 与y=的图象相交于点A (2，3)，B (-6，-1)，则不等式kx+b>的解集为( )
A .x<-6
B .-6<x<0或x>2
C .x>2
D .x<-6或0<x<2
3. 如图，过反比例函数y ＝
k
x (k ＞0)的图象上一点A 作AB ⊥x 轴于点B ，
连接AO ，
若S △AOB ＝2，则k 的值为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
4. 如图，一次函数y 1＝ax ＋b
与反比例函数y 2＝k
x 的图象如图所示，当y 1＜y 2时，
则x 的取值范围是( )
A. x ＜2
B. x ＞5
C. 2＜x ＜5
D. 0＜x ＜2或x ＞5
5. （2020·内江）如图，点
A 是反比例函数k
y x
=
图象上的一点，过点A 作AC x ⊥轴，垂足为点C ，D 为AC 的中点，若AOD ∆的面积为1，则k 的值为（ ）
A.
43 B. 8
3 C. 3 D.
4 6. （2020·黔西南州）如图，在菱形ABOC 中，AB ＝2，∠A ＝60°，菱形的一个
顶点C 在反比例函数y ＝k
x
（k ≠0）的图象上，则反比例函数的解析式为（ ）
A ．y ＝33
x
- B ．y ＝3x
-
C ．y ＝3x
-
D ．y ＝
3x
7. 反比例函数
y ＝1－6t
x 的图象与直线y ＝－x ＋2有两个交点，且两交点横坐标的
积为负数，则t 的取值范围是( )
A. t ＜16
B. t ＞16
C. t ≤16
D. t ≥16
8. （2020·乐山）如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝－x 与双曲线y ＝k
x 交于A 、B 两点，P 是以点C (2,2)为圆心，半径长1的圆上一动点，连接AP ，Q 为AP 的中点．若线段OQ 长度的最大值为2，则k 的值为（ ）
A ．－12
B ．－32
C ．－2
D ．－14
二、填空题
9. 若反比例函数y=-的图象有一支位于第四象限，则常数a 的取值范围
是 .
10. 如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，平行四边形OABC 的顶点A
在反比例函数y=(x>0)的图象上，顶点B 在反比例函数y=(x>0)的图象上，点C 在x 轴的正半轴上，则平行四边形OABC 的面积是 .
11. 已知反比例函数
y ＝k
x (k ≠0)的图象如图所示，则k 的值可能是________(写一个
即可)．
12. 双曲线
y ＝m －1
x 在每个象限内，函数值y 随x 的增大而增大，则m 的取值范
围是________．
13. 如图，平行于
x 轴的直线与函数y=(k 1>0，x>0)，y=(k 2>0，x>0)的图象分
别相交于A ，B 两点，点A 在点B 的右侧，C 为x 轴上的一个动点.若△ABC 的面积为4，则k 1-k 2的值为 .
14. 如图，点
A 在函数y ＝4
x (x >0)的图象上，且OA ＝4，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，
则△ABO 的周长为________．
15. 如图，直线
l ⊥x 轴于点P ，且与反比例函数y 1＝k 1x (x ＞0)及y 2＝k 2
x (x ＞0)的图
象分别交于点A ，B ，连接OA ，OB ，已知△OAB 的面积为2，则k 1－k 2＝__________．
16. 如图，在平面直角坐标系中，过点
M (－3，2)分别作x 轴、y 轴的垂线，与反
比例函数y ＝4
x 的图象交于A 、B 两点，则四边形MAOB 的面积为________．
三、解答题
17. 如图，双曲线y=经过点P (2，1)，且与直线y=kx -4(k<0)有两个不同的交点. (1)求m 的值; (2)求k 的取值范围.
18. 如图，▱ABCD
中，顶点A 的坐标是(0，2)，AD ∥x 轴，BC 交y 轴于点E ，
顶点C 的纵坐标是-4，▱ABCD 的面积是24.反比例函数y=的图象经过点B 和D ，求:
(1)反比例函数的表达式; (2)AB 所在直线的函数表达式.
19. 如图，直线y 1＝－x ＋4，y 2＝
34x ＋b 都与双曲线y ＝k x 交于点A (1，m )．这两条
直线分别与x 轴交于B ，C 两点． (1)求y 与x 之间的函数关系式；
(2)直接写出当x >0时，不等式34x ＋b >k
x 的解集；
(3)若点P 在x 轴上，连接AP ，且AP 把△ABC 的面积分成1∶3两部分，求此时点P 的坐标．
20. 如图，已知在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点
A (2，5)在反比例函数y
＝k
x 的图象上，一次函数y ＝x ＋b 的图象经过点A ，且与反比例函数图象的另一交点为B .
(1)求k 和b 的值；
(2)设反比例函数值为y 1，一次函数值为y 2，求y 1>y 2时x 的取值范围．
21. 在面积都相等的所有矩形中，当其中一个矩形的一边长为1时，它的另一边长为3.
(1)设矩形的相邻两边长分别为x，y.
①求y关于x的函数表达式；
②当y≥3时，求x的取值范围；
(2)圆圆说其中有一个矩形的周长为6，方方说有一个矩形的周长为10.你认为圆圆和方方的说法对吗？为什么？
22. 如图，一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=的图象相交于A，B两点，其中点A的坐标为(-1，4)，点B的坐标为(4，n).
(1)根据图象，直接写出满足k1x+b>的x的取值范围;
(2)求这两个函数的表达式;
(3)点P在线段AB上，且S△AOP∶S△BOP=1∶2，求点P的坐标.
23. 如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝m
x(x>0)的图象交于A(2，－
1)，B(1
2，n)两点，直线y＝2与y轴交于点C.
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)求△ABC的面积．
24. 如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点P(-1，2)，AB⊥x轴于点E，正比例函数y=mx的图象与反比例函数y=的图象相交于A，P两点.
(1)求m，n的值与点A的坐标;
(2)求证:△CPD∽△AEO;
(3)求sin∠CDB的值.
2021中考数学三轮查漏补缺：反比例函数及其
应用-答案
一、选择题
1. 【答案】A
【解析】A、该函数图象是直线，位于第一、三象限，y随x的增大而增大，故本选项正确．B、该函数图象是直线，位于第二、四象限，y随x的增大而减小，故本选项错误．
C、该函数图象是双曲线，位于第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小，故本选项错误．
D、该函数图象是双曲线，位于第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，故本选项错误．
2. 【答案】B[解析]观察函数图象，发现:当-6<x<0或x>2时，一次函数图象在反比例函数图象的上方，
∴当kx+b>时，x的取值范围是-6<x<0或x>2.
3. 【答案】C【解析】∵点A在反比例函数y＝k
x的图象上，且AB⊥x轴于点B，
设点A坐标为(x，y)，∴k＝xy，∵点A在第一象限，∴x、y都是正数，∴S
△AOB
＝12OB ·AB ＝12xy ，∵S △AOB ＝2，∴k ＝xy ＝4.
4. 【答案】D 【解析】根据图象得：当y 1＜y 2时，x 的取值范围是0＜x ＜2或x ＞
5.
5. 【答案】 D
【解析】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用反比例函数的性质解答．先设出点A 的坐标，进而表示出点D 的坐标，利用△ADO 的面积建立方程求出2mn =，即可得出结论．
∵点A 的坐标为（m ，2n ），∴2mn k =，∵D 为AC 的中点，∴D （m ，n ），
∵AC ⊥x 轴，△ADO 的面积为1，∴()ADO 111
21222
S AD OC n n m mn =⋅=-⋅==，
∴2mn =，∴24k mn ==，因此本题选D ．
6. 【答案】B
【解析】本题考查了待定系数法、菱形的性质、点的坐标的意义．因为在菱形ABOC 中，∠A ＝60°，菱形边长为2，所以OC ＝2，∠COB ＝60°．如答图，过点C 作CD ⊥OB 于点D ，则OD ＝OC·cos ∠COB ＝2×cos 60°＝2×12
＝1，CD ＝
OC·sin ∠COB ＝2×sin 60°＝
C 在第二象限，所以点C 的坐标为（－1
．因为顶点C 在反比例函数y ═k
x
1k -，得k
＝所以反比例函数的解析式为y
＝，因此本题选B ．
7. 【答案】B 【解析】将y ＝－x ＋2代入到反比例函数y ＝
1－6t x 中，得：－x ＋2
＝1－6t x ，整理，得：x 2－2x ＋1－6t ＝0，∵反比例函数y ＝1－6t
x 的图象与直线y ＝－x ＋2有两个交点，且两交点横坐标的积为负数，∴⎩⎨⎧（－2）2－4（1－6t ）＞01－6t ＜0，解得t ＞16.
8. 【答案】A
【解析】连接BP ，得到OQ 是△ABP 的中位线，当P 、C 、B 三点共线时PB 长
度最大，PB ＝2OQ ＝4，设点B 的坐标为(x ,－x )，根据点 C (2,2)，可利用勾股定理求出点B 的坐标，代入反比例函数关系式即可求出k 的值．∵直线y ＝－x 与
双曲线y ＝k
x 的图形均关于直线y ＝x 对称，∴OA ＝OB ，∵点Q 是AP 的中点，点O 是AB 的中点，∴OQ 是△ABP 的中位线，当OQ 的长度最大时，即PB 的长度最大；∵PB ≤PC ＋BC ，当三点共线时PB 长度最大，∴当P 、C 、B 三点共线时PB ＝2OQ ＝4；∵PC ＝1，∴BC ＝3；设点B 的坐标为(x ,－x )，则BC ＝
(2－x )2＋(2＋x )2＝3，解得x ＝22或x ＝－22（舍去），故B (22,－2
2)，代入y ＝k x 中可得k ＝－12．
二、填空题
9. 【答案】a> [解析]∵反比例函数y=-=的图象有一支位于第四象限，∴
1-2a<0，解得a>.
10. 【答案】4
[解析]设A (a ，b )，B (a +m ，b )，依题意得b=，b=
，∴=
，
化简得m=4a.∵b=，∴ab=1，∴S 平行四边形OABC =mb=4ab=4×1=4.
11. 【答案】－2(答案不唯一)
【解析】根据反比例函数的图象在二、四象限，则k ＜0，如k ＝－2(答案不唯一)．
12. 【答案】m ＜1 【解析】∵在每个象限内，函数值y 随x 的增大而增大，∴双
曲线在二、四象限内，∴在函数y ＝m －1
x 中，m －1＜0，即m ＜1.
13. 【答案】8 [解析]过点B 作BE ⊥x 轴，垂足为点E ，过点A 作AF ⊥x 轴，垂足为点F ，直线AB 交y 轴于点D ，
因为△ABC 与△ABE 同底等高， 所以S △ABE =S △ABC =4， 因为四边形ABEF 为矩形， 所以S 矩形ABEF =2S △ABE =8， 因为k 1=S 矩形OF AD ，k 2=S 矩形OEBD ，
所以k 1-k 2=S 矩形OF AD -S 矩形OEBD =S 矩形ABEF =8.
14. 【答案】2
6＋4 【解析】设点A 的坐标为(x ，y)，根据反比例函数的性质得，
xy ＝4，在Rt △ABO 中，由勾股定理得，OB 2＋AB 2＝OA 2，∴x 2＋y 2＝16，∵(x ＋y)2＝x 2＋y 2＋2xy ＝16＋8＝24，又∵x ＋y>0，∴x ＋y ＝26，∴△ABC 的周长＝26＋4.
15. 【答案】4
【解析】∵反比例函数y 1＝k 1x (x ＞0)及y 2＝k 2
x (x ＞0)的图象均在第
一象限内，
∴k 1＞0，k 2＞0，∵AP ⊥x 轴，∴S △OAP ＝12k 1，S △OBP ＝1
2k 2，∴S △OAB ＝S △OAP －S
△OBP
＝1
2(k 1－k 2)＝2，解得k 1－k 2＝4.
16. 【答案】10
【解析】如解图，设AM 与x 轴交于点C ，MB 与y 轴交于点D ，
∵点A 、B 分别在反比例函数y ＝4
x 上，根据反比例函数k 的几何意义，可得S △
ACO ＝S △OBD
＝1
2×
4＝2，∵M(－3，2)，∴S 矩形MCOD ＝3×2＝6，∴S 四边形MAOB ＝S △ACO ＋S △OBD ＋S 矩形MCOD ＝2＋2＋6＝10.
三、解答题
17. 【答案】
解:(1)把P (2，1)的坐标代入y=，得: 1=，m=2.
(2)由(1)可知反比例函数解析式为y=，
∴=kx-4，
整理得:kx2-4x-2=0，
∵双曲线与直线有两个不同的交点，∴Δ>0，
即(-4)2-4k·(-2)>0，
解得:k>-2.
又∵k<0，
∴k的取值范围为-2<k<0.
18. 【答案】
解:(1)∵AD∥x轴，AD∥BC，∴BC∥x轴.
∵顶点A的坐标是(0，2)，顶点C的纵坐标是-4，∴AE=6，
又∵▱ABCD的面积是24，
∴AD=BC=4，
则D(4，2)，
∴k=4×2=8，
∴反比例函数的表达式为y=.
(2)由题意知B的纵坐标为-4，
∴其横坐标为-2，则B(-2，-4).
设AB所在直线的表达式为y=k'x+b，
将A(0，2)，B(-2，-4)的坐标代入，
得:解得:
所以AB所在直线的函数表达式为y=3x+2.
19. 【答案】
(1)∵直线y1＝－x＋4，y2＝3
4x＋b都与双曲线y＝
k
x交于点A(1，m)，
∴将A(1，m)分别代入三个解析式，得
⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1＋4m ＝34＋b m ＝k 1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3b ＝94k ＝3
， ∴y 2＝34x ＋94，y ＝3x ；
(2)当x >0时，不等式34x ＋b >k x 的解集为x >1；
(3)将y ＝0代入y 1＝－x ＋4，得x ＝4，
∴点B 的坐标为(4，0)，
将y ＝0代入y 2＝34x ＋94，得x ＝－3，
∴点C 的坐标为(－3，0)，
∴BC ＝7，
又∵点P 在x 轴上，AP 把△ABC 的面积分成1∶3两部分，且△ACP 和△ABP 等高，
∴当PC ＝14BC 时，S △ACP S △ABP ＝13， 此时点P 的坐标为(－3＋74，0)，
即P (－54，0)；
当BP ＝14BC 时，ACP
ABP S S △△＝13， 此时点P 的坐标为(4－74，0)，即P (94，0)，
综上所述，满足条件的点P 的坐标为(－54，0)或(94，0)．
20. 【答案】
解：(1)把点A(2，5)代入反比例函数的解析式y ＝k x ，
∴k ＝xy ＝10，
把(2，5)代入一次函数的解析式y ＝x ＋b ，(2分)
∴5＝2＋b ，
∴b ＝3.(3分)
(2)由(1)知k ＝10，b ＝3，
∴反比例函数的解析式是y ＝10x ，
一次函数的解析式是y ＝x ＋3.
解方程x ＋3＝10x ，(4分)
∴x 2＋3x －10＝0，(5分)
解得x 1＝2(舍去)，x 2＝－5，
∴点B 坐标是(－5，－2)，
∵反比例函数的值大于一次函数值，即反比例函数的图象在一次函数图象上方时，x 的取值范围，
∴根据图象可得不等式的解集是x ＜－5或0＜x ＜2.(6分)
21. 【答案】
【思维教练】(1)①由题干条件知矩形的面积相等，可得矩形的长×宽等于定值，所以y 关于x 的函数表达式是反比例函数；②将y 的值带入反比例函数解析式中，求出x 的求值范围即可；(2)设长为x ，用含长的代数式表示出宽，得出关于面积的分式方程，化为一元二次方程，再根据根的判别式即可判断圆圆和方方说法的正误．
解：(1)①由题意得，1×3＝xy ，
∴y ＝3x (x>0)；(2分)
②∵由已知y≥3，
∴3x ≥3，∴0<x≤1，
∴x 的取值范围是0<x≤1；(4分)
(2)圆圆的说法不对，方方的说法对．
理由：∵圆圆的说矩形的周长为6，∴x ＋y ＝3，
∴x ＋3x ＝3，化简得，x 2－3x ＋3＝0，
∴Δ＝(－3)2－4×1×3＝－3<0，方程没有实数根，
所以圆圆的说法不对；(6分)
方方的说矩形的周长为10，∴x ＋y ＝5，∴x ＋3x ＝5，
化简得，x 2－5x ＋3＝0，(8分)
∴Δ＝(－5)2－4×1×3＝13>0，
∴x ＝5±132，
∵x>0，
∴x ＝5＋132，y ＝5－132，
所以方方的说法对．(10分)
22. 【答案】
解:(1)x<-1或0<x<4.
(2)把A (-1，4)的坐标代入y=，得k 2=-4.∴y=-.∵点B (4，n )在反比例函数y=-的图象上，∴n=-1.∴B (4，-1).
把A (-1，4)，B (4，-1)的坐标代入y=k 1x +b ，
得解得∴y=-x+3.
(3)设直线AB与y轴交于点C，
∵点C在直线y=-x+3上，∴C(0，3).
S△AOB =OC·(|x A|+|x B|)=×3×(1+4)=7.5，
又∵S△AOP∶S△BOP=1∶2，
∴S△AOP =×7.5=2.5，S△BOP=5.
又S△AOC =×3×1=1.5，1.5<2.5，
∴点P在第一象限.∴S△COP=2.5-1.5=1.
又OC=3，∴×3×x P=1，解得x P =.
把x P =代入y=-x+3，得y P =.
∴P.
23. 【答案】
解：(1)∵点A(2，－1)在反比例函数y＝m
x的图象上，
∴－1＝m
2，即m＝－2.(1分)
∴反比例函数的解析式为y＝－2
x.(2分)
∵点B(1
2，n)在反比例函数y＝－
2
x的图象上，
∴n＝－2
1
2
＝－4，即点B的坐标为(
1
2，－4)．
将点A(2，－1)和点B(1
2，－4)分别代入y＝kx＋b，得
⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋b ＝－112
k ＋b ＝－4，解得⎩⎨⎧k ＝2b ＝－5， ∴一次函数的解析式为y ＝2x －5.(5分)
(2)如解图，设直线AB 交y 轴于点D.
令y ＝2x －5中x ＝0，得y ＝－5，即点D 的坐标是(0，－5)， ∴OD ＝5.(7分)
∵直线y ＝2与y 轴交于点C ，
∴C 点的坐标是(0，2)，(8分)
∴CD ＝OC ＋OD ＝7.
∴S △ABC ＝S △ACD －S △BCD ＝12×7×2－12×7×12＝7－74＝214.(10分)
24. 【答案】
解:(1)将点P (-1，2)的坐标代入y=mx ，
得:2=-m ，解得m=-2，
∴正比例函数解析式为y=-2x ;
将点P (-1，2)的坐标代入y=
，
得:2=-(n -3)，解得:n=1，
∴反比例函数解析式为y=-.
解方程组 得
∴点A 的坐标为(1，-2).
(2)证明:∵四边形ABCD 是菱形，
∴AC ⊥BD ，AB ∥CD ，
∴∠CPD=90°，∠DCP=∠BAP ，
即∠DCP=∠OAE.
∵AB ⊥x 轴，
∴∠AEO=∠CPD=90°，
∴△CPD∽△AEO.
(3)∵点A的坐标为(1，-2)，
∴AE=2，OE=1，AO==.∵△CPD∽△AEO，∴∠CDP=∠AOE，∴sin∠CDB=sin∠AOE===.。