北京四中八年级下册数学三角形的中位线 巩固练习

【巩固练习】
一.选择题
1.已知△ABC 的各边长度分别为3cm ，4cm ，5cm ，则连结各边中点的三角形的周长为（ ）
A ．2cm
B ．7cm
C ．5cm
D ．6cm
2. 如图，点D 、E 、F 分别为△ABC 三边的中点，若△DEF 的周长为10，则△ABC 的周长为（ ）
A ．5
B ．10
C ．20
D ．40
3. 如图所示，在口ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 是边BC 的中点，AB ＝4，则OE 的长是
( )．
A ．2
B ．2
C ．1
D ．12
4．如图，D 是△ABC 内一点，BD ⊥CD ，AD ＝6，BD ＝4，CD ＝3，E 、F 、G 、H 分别是AB 、AC 、CD 、BD 的中点，则四边形EFGH 的周长是（ ）
A ．7
B ．9
C ．10
D ．11
5. 如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，M ，N 分别是AB ，AC 的中点，D ，E 为BC 上的点，连接DN 、EM ，若AB ＝5cm ，BC ＝8cm ，DE ＝4cm ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A ．12cm
B ．1.52cm
C ．22cm
D ．32cm
6. 如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，点E 、F 、G 分别是BD 、AC 、DC 的中点.已知两底的差是6，两腰的和是12，则△EFG 的周长是（ ）
A.8
B.9
C.10
D.12
二.填空题
7. 顺次连接一个四边形各边中点得到的四边形是_________________.
8. 如图, E 、F 分别是口ABCD 的两边AB 、CD 的中点, AF 交DE 于P, BF 交CE 于Q,则PQ 与AB 的关系是 .
9. 如图，E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 各边的中点，对角线AC 、BD 的长分别为7和9，则四边形EFGH 的周长是______.
10.如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝6，BC ＝8，AE 平分∠BAC 交BC 于点E ，点D 为AB 的中点，连接DE ，则△BDE 的周长是________.
11. 如图所示，DE 为△ABC 的中位线，点F 在DE 上，且∠AFB＝90°，若AB ＝5，BC ＝8，
则EF 的长为______.
12.如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，过点O 作EF∥BC 交AB 于E ，交AC 于F ，过点O 作OD⊥AC 于D ．下列三个结论：
①∠BOC＝90°＋12
∠A； ②设OD ＝m ，AE ＋AF ＝n ，则AEF S mn △；
③EF 不能成为△ABC 的中位线．
其中正确的结论是_______.
三.解答题
13.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，M、N、P、Q分别为AD、BC、BD、AC的中点．
求证：MN和PQ互相平分．
14.已知：在△ABC中，BC＞AC，动点D绕△ABC的顶点A逆时针旋转，且AD＝BC，连接DC．过
AB、DC的中点E、F作直线，直线EF与直线AD、BC分别相交于点M、N．
（1）如图1，当点D旋转到BC的延长线上时，点N恰好与点F重合，取AC的中点H，连接HE、HF，根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论∠AMF＝∠BNE（不需证明）；
（2）当点D旋转到图2或图3中的位置时，∠AMF与∠BNE有何数量关系？请分别写出猜想，并任选一种情况证明．
15. 在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D为AC的中点．
（1）如图1，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，过点F作FH⊥FC，交直线AB于点H．判断FH与FC的数量关系并加以证
明；
（2）如图2，若E为线段DC的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明．
【答案与解析】
一.选择题
1.【答案】D ；
【解析】由中点和中位线定义可得新三角形的各边长为原三角形各边长的一半，即可求其
周长．
2.【答案】C ；
【解析】根据中位线定理可得BC ＝2DF ，AC ＝2DE ，AB ＝2EF ，继而结合△DEF 的周长为10，
可得出△ABC 的周长．
3.【答案】A ；
【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AO ＝OC ．又∵BE ＝EC ，∴OE 是△ABC 的中位线，
∴OE ＝12AB ＝2． 4.【答案】D ；
【解析】EF ＝HG ＝12BC ，EH ＝FG ＝12
AD ，所以四边形EFGH 是平行四边形，由勾股定理BC ＝5，所以周长等于3＋3＋5＝11.
5.【答案】B ；
【解析】连接MN ，作AF⊥BC 于F ．∵AB＝AC ，∴BF＝CF ＝
12BC ＝12×8＝4，在Rt△ABF 中，AF ＝22AB BF -＝2254-＝3，∵M、N 分别是AB ，AC 的中点，∴MN 是中位线，即平分三角形的高且MN ＝8÷2＝4，∴NM＝
12BC ＝DE ，∴△MNO≌△EDO，O 也是ME ，ND 的中点，∴阴影三角形的高是
12
AF÷2＝1.5÷2＝0.75，∴S 阴影＝4×0.75÷2＝1.5．
6.【答案】B ；
【解析】连接AE ，延长交CD 于H ，可证AB ＝DH ，CH ＝两底的差，EF 是△AHC 的中位线，
EF ＝12两底的差，EG ＋FG ＝12
两腰的和，故△EFG 的周长是9.
二.填空题
7.【答案】平行四边形；
8.【答案】PQ∥AB，PQ＝1
2 AB；
【解析】P，Q分别是AF，BF的中点.
9.【答案】16；
【解析】根据三角形中位线的性质得出HG 1
2
AC，EF
1
2
AC，HE
1
2
DB，GF
1
2
BD，
进而得出HE＝GF＝1
2
BD，HG＝FE＝
1
2
AC，即可得出答案．
10.【答案】10；
【解析】∵在△ABC中，AB＝AC＝6，AE平分∠BAC，∴BE＝CE＝1
2
BC＝4，又∵D是AB
中点，∴BD＝1
2
AB＝3，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝
1
2
AC＝3，∴△BDE的
周长为BD＋DE＋BE＝3＋3＋4＝10．
11.【答案】3
2
；
【解析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出DF的长为5
2
，再利用
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，可求出DE的长为4，
进而求出EF的长.
12.【答案】①，③；
【解析】①根据三角形内角和定理求解；②根据△AEF的面积＝△AOE的面积＋△AOF的面积求解；③若此三角形为等边三角形，则EF即为中位线．
三.解答题
13.【解析】
证明：连接MP，PN，NQ，QM，
∵AM＝MD，BP＝PD，
∴PM是△ABD的中位线，
∴PM∥AB，PM＝1
2 AB；
同理NQ＝1
2
AB，NQ∥AB，
∴PM＝NQ，且PM∥NQ．
∴四边形MPNQ是平行四边形．∴MN与PQ互相平分．
14.【解析】
解：图1：∠AMF＝∠ENB；图2：∠AM F＝∠ENB；图3：∠AMF＋∠ENB＝180°．证明：如图2，取AC的中点H，连接HE、HF．
∵F是DC的中点，H是AC的中点，
∴HF∥AD，HF＝1
2 AD，
∴∠AMF＝∠HFE，
同理，HE∥CB，HE＝1
2 CB，
∴∠ENB＝∠HEF．
∵AD＝BC，
∴HF＝HE，
∴∠HEF＝∠HFE，
∴∠ENB＝∠AMF．
如图3：取AC的中点H，连接HE、HF．∵F是DC的中点，H是AC的中点，
∴HF∥AD，HF＝1
2 AD，
∴∠AMF＋∠HFE＝180°，
同理，HE∥CB，HE＝1
2 CB，
∴∠ENB＝∠HEF．
∵AD＝BC，
∴HF＝HE，
∴∠HEF＝∠HFE，
∴∠AMF＋∠ENB＝180°．
15.【解析】
解：（1）FH与FC的数量关系是：FH＝FC．证明如下：延长DF交AB于点G，
由题意，知∠EDF＝∠ACB＝90°，DE＝DF，
∴DG∥CB，
∵点D为AC的中点，
∴点G为AB的中点，且DC＝1
2 AC，
∴DG为△ABC的中位线，
∴DG＝1
2 BC．
∵AC＝BC，
∴DC＝DG，
∴DC－DE＝DG－DF，
即EC＝FG．
∵∠EDF＝90°，FH⊥FC，
∴∠1＋∠CFD＝90°，∠2＋∠CFD＝90°，∴∠1＝∠2．
∵△DEF与△ADG都是等腰直角三角形，
∴∠DEF＝∠DGA＝45°，
∴∠CEF＝∠FGH＝135°，
∴△CEF≌△FGH，
∴CF＝FH．
（2）FH与FC仍然相等．。