2021-2022学年河南省高三上学期第五次联考数学试卷(理科)(含答案解析)

2021-2022学年河南省高三上学期第五次联考数学试卷(理科)
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.
已知集合A ={x|x 2−9x −22≤0}，B ={x|x =3n ,n ∈N}，则A ∩B =( )
A. {9}
B. {1,3}
C. {3,9}
D. {1,3,9}
2.
若(z −1)i =i −2，则z =( )
A. 2+2i
B. 2−2i
C. 2i
D. −2i
3.
已知点A(−1,2)，B(1,0)，C(1,−2)，D(4,2)，则向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 夹角的余弦值为( )
A. −7√2
10
B. 7√2
10
C. −√2
10
D. √210
4.
将函数f(x)=sin(2x +π
3)+2sin 2(x +π
6)的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数g(x)的图象，其图象关于直线x =π
12对称，则φ的最小值为( )
A. π
4
B. π
3
C. π
8
D. π
6
5.
已知f(x +1)是定义在R 上且周期为2的函数，当x ∈[−1,1)时，f(x)={−2x 2+4,−1≤x <0
sinπx,0≤x <1，
则f(3)⋅f(−10
3)=( )
A. √3
B. −√3
C. −√32
D. √32
6.
如图，在三棱锥P −ABC 中，PA =PB =CA =CB =5，AB =PC =2，点D ，E 分别为AB ，PC 的中点，则异面直线PD ，BE 所成角的余弦值为( )
A. 23
24
B. 11
12
C. 3
4
D. 5
6
7.
2021年1月18号，国家航天局探月与航天工程中心表示，中国首辆火星车全球征名活动已经完成了初次评审．评审委员会遴选出弘毅、麒麟、哪吒、赤兔、祝融、求索、风火轮、追梦、天行、星火10个名称，将其作为中国首辆火星车的命名范围．某同学为了研究这些初选名称的涵
义，计划从中选3个名称依次进行分析，其中有1个是祝融，其余2个从剩下的9个名称中随机选取，则祝融不是第3个被分析的情况有( )
A. 144种
B. 336种
C. 672种
D. 1008种
8.
下列说法正确的为( )
A. 某高中为了解在校学生对参加某项社会实践活动的意向，
拟采用分层抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为60的样本．已知该校高一、高二、高三年级学生数之比为5：4：3，则应从高三年级中抽取14名学生
B. 10件产品中有8件正品，2件次品，若从这10件产品中任取2件，则恰好取到1件次品的概率
为1
3
C. 若随机变量X 服从正态分布N(2,σ2)，P(X <5)=0.86，则P(X ≤−1)=0.14
D. 设某校男生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据
(x i ,y i )(i =1,2,⋯,n)，用最小二乘法建立的回归方程为y ˆ
=0.85x −82，若该校某男生的身高为
170cm ，则可断定其体重为62.5kg 9.
已知3a =5b =√15，则下列选项错误的是( )
A. a +b =2ab
B. ab >1
C. log 2a +log 2b >0
D. (a −1
2)2+(b −1
2)2<1
2
10. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n =√1+1
n 2+1(n+1)2，则( )
A. a n =
n 2+n+2n(n+1)
B. S n =n 2
+n−1
n+1
C. a n ≤3
2
D. 满足S n ≤2021的n 的最大值为2021
11. 已知定义在R 上的函数f(x)满足1
2f(x)+f′(x)>0，且有f(1)=1
2，则2f(x)>e
1−x
2
的解集为( )
A. (−∞,2)
B. (1,+∞)
C. (−∞,1)
D. (2,+∞)
12. 我国南北朝时期的著作《孙子算经》中对同余问题有了较深的研究．设a ，b ，m 为正整数，若a
和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为a ≡b(mod m).下列说法正确的是( )
A. 若|a −2b|=km ，k ∈N ∗，则a ≡b(mod m)
B. 227≡65(mod 7)
C. 若a ≡(m +2)(mod m)，b ≡(m +3)(mod m)，m >6，则ab ≡(m +5)(mod m)
D. 若a ≡b(modm)，n ∈N ∗，则a n ≡b n (mod m)
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 抛物线y =−6x 2的焦点坐标为______．
14. 已知α为第四象限角，且cosα=√5
5
，则
√2sin(α−π
4)
cos 2α−sin 2α=______．
15. 已知双曲线C ：x 2a
2−
y 2b 2
=1(a >0,b >0)，
过左焦点F 且斜率为1
4的直线交C 的一条渐近线于点A ，且A 在第一象限，若|OA|=|OF|(O 为坐标原点)，则C 的渐近线方程为______．
16. 如图所示的四边形ABCD 是边长为√2的正方形，对角线AC ，BD 相交于点O ，将△BDA 沿BD 折起
到△BDA′的位置，使平面A′BD ⊥平面BCD.给出以下5个结论： ①A′C ⊥BD ；
②△A′BC 和△A′CD 都是等边三角形； ③平面A′BC ⊥平面A′CD ； ④V A′−BCD =1
3；
⑤三棱锥A′−BCD 表面的四个三角形中，面积最大的是△A′BC 和△A′CD ． 其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知√3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2S △ABC ，b +c =8． (1)求角A 的大小； (2)求a 的最小值．
18. 如图，某市有南、北两条城市主干道，在出行高峰期，北干道有N 1，N 2，N 3，N 4四个交通易堵
塞路段，它们被堵塞的概率都是1
3，南干道有S 1，S 2两个交通易堵塞路段，它们被堵塞的概率分别为1
2，2
3.某人在高峰期驾车从城西开往城东，假设以上各路段是否被堵塞互不影响．
(1)求北干道的N1，N2，N3，N4四个易堵塞路段至少有一个被堵塞的概率；
(2)若南干道被堵塞路段的个数为X，求X的分布列及数学期望E(X)；
(3)若按照“平均被堵塞路段少的路线是较好的高峰期出行路线”的标准，则从城西开往城东较好的
高峰期出行路线是哪一条？请说明理由．
19.如图所示的四棱锥P−ABCD的底面ABCD是一个等腰梯形，AD//BC，且AD=2AB=2BC=4，
PO是△PAD的中线，点E是棱PD的中点．
(1)证明：CE//平面PAB．
(2)若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD，PO=AO，求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值．
20.已知椭圆E：x2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)的离心率为1
2
，且椭圆E经过点(1,3
2
)，过左焦点F作两条互相
垂直的弦AB和CD．
(1)求椭圆E的方程；
(2)当四边形ACBD的面积取得最小值时，求弦AB所在直线的方程．
21.已知函数f(x)=(x−1)e x+x．
(1)判断f(x)的单调性；
(2)当x∈[0,+∞)时，f(x)≥(x+1)ln(x+1)−ax2−1恒成立，求实数a的取值范围．
22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =
4t
1+t 2
y =1−t 2
1+t
2
(t 为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcosθ−ρsinθ−4=0． (1)求C 和l 的直角坐标方程；
(2)若P 为曲线C 上任意一点，直线l 与x 轴、y 轴的交点分别为A ，B ，求△PAB 面积的最大值．
23. 已知函数f(x)=|x +2|−|ax −2|． (1)当a =1时，求不等式f(x)>2的解集； (2)当x ∈(0,2)时，f(x)>x ，求实数a 的取值范围．
参考答案及解析
1.答案：D
解析：∵集合A ={x|x 2−9x −22≤0}={x|−2≤x ≤11}， B ={x|x =3n ,n ∈N}={1,3,9,27,⋅⋅⋅}， ∴A ∩B ={1,3,9}． 故选：D ．
求出集合A ，B ，利用交集定义能求出A ∩B ．
本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.答案：A
解析：∵(z −1)i =i −2， ∴z −1=
i−2i
=1+2i ，
∴z =1+2i +1=2+2i ． 故选：A ．
根据已知条件，结合复数的乘除法法则，即可求解． 本题主要考查复数的乘除法法则，属于基础题．
3.答案：C
解析：∵点A(−1,2)、B(1,0)、C(1,−2)、D(4,2)， ∴AB
⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,4)， 则向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 夹角余弦值为AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗
|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√2×5=−√210， 故选：C ．
由题意利用两个向量坐标形式的运算法则，求得向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，再利用两个向量的夹角公式，求出向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD
⃗⃗⃗⃗⃗ 夹角的余弦值． 本题主要考查两个向量坐标形式的运算法则，两个向量的夹角公式，属于基础题．
4.答案：C
解析：f(x)=sin(2x +π
3)+2sin 2(x +π
6)=sin(2x +π
3)−cos(2x +π
3)+1=√2sin(2x +π
3−π
4)+1=√2sin(2x +π
12)+1，
函数f(x)的图象向左平移φ个单位长度，得到g(x)=√2sin(2x +2φ+π
12)+1，
当x =π12时，f(π12)=√2sin(2×π12+2φ+π
12)=±√2， 即2×π
12+2φ+π
12=kπ+π
2， 整理得2φ=kπ+π
4(k ∈Z)， 所以当k =0时，φ的最小值为π
8． 故选：C ．
首先利用三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用平移变换的应用和正弦型函数的性质的应用求出φ的最小值．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，函数的图象的平移变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
5.答案：A
解析：∵f(x +1)是定义在R 上且周期为2的函数， 当x ∈[−1,1)时，f(x)={−2x 2+4,−1≤x <0
sinπx,0≤x <1，
则f(3)⋅f(−10
3)=f(−1)⋅f(2
3)=(−2+4)×sin
2π3
=2×
√3
2
=√3，
故选：A ．
由题意结合函数的周期性和分段函数的解析式整理计算即可求得最终结果．
本题考查了函数的周期性，分段函数的解析式及其应用等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．
6.答案：A
解析：在三棱锥P −ABC 中，PA =PB =CA =CB =5，AB =PC =2，点D ，E 分别为AB ，PC 的中点，
取CD 中点F ，连接EF ，则EF//PD ，且EF =1
2PD =1
2√52−12=√6，
∴∠EFC 是异面直线PD ，BE 所成角(或所成角的补角)， BE =√52−12=2√6，BF =√BD 2+(CD
2)2=√1+(
√25−12
)2
=√7，
∴cos∠BEF =
EF 2+BE 2−BF 2
2×EF×BE
=2×
√6×2√
6
=23
24， 则异面直线PD ，BE 所成角的余弦值为23
24． 故选：A ．
取CD 中点F ，连接EF ，则EF//PD ，∠EFC 是异面直线PD ，BE 所成角(或所成角的补角)，利用余弦定理能求出异面直线PD ，BE 所成角的余弦值．
本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
7.答案：A
解析：其余2个从剩下的9个名称中随机选取，共有C 92
=36种， 则祝融不是第3个被分析的情况有36×C 21A 22=144种，
故选：A ．
其余2个从剩下的9个名称中随机选取，共有C 92=36种，然后再给祝融选择一个位置，其他再排列即
可求解．
本题考查了排列组合的简单计数问题，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
8.答案：C
解析：对于A ：已知该校高一、高二、高三年级学生之比为5：4：3，则设高一，高二，高三的人数为5x ，4x ，3x ，
所以5x +4x +3x =60，解得x =5， 高二中抽取的人数为20，故A 错误；
对于B ：10件产品中有8件正品，2件次品，若从这10件产品中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为P =
C 21C 81C 10
2=16
45，故B 错误；
对于C ：随机变量X 服从正态分布N(2,σ2)，P(X <5)=0.86，P(X ≤−1)=1−P(X <5)=0.14，故P(X ≤−1)=0.14.故C 正确；
对于D ：回归方程为y ̂
=0.85x −82，若该学校某姓身高为170cm ，则y =0.85×170−82=62.5，但只能是估计其体重为62.5kg ，不能断定，故D 错误． 故选：C ．。