2019-2020学年江西省南昌市第二中学高二下学期期末考试数学试题(文)

江西省南昌市第二中学2019-2020学年
高二下学期期末考试（文）
一、选择题（每小题5分，共12小题，共60分）
1.已知集合}1,0,1{-=A ,}2,0{=B ，则A
B = A.}2,1,0{ B.}1{ C.}0{ D.}1,0{
2.设命题p ：22<x ，命题q ：12<x ，则p 是q 成立的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3.函数()sin 22f x x x =+的最小正周期是
A.π
B.π2
C.2π
D. π4 4.命题“01
,0>->∀x x x ”的否定是 A.01
,0≤-<∃x x x B ．10,0≤≤>∃x x C.01,0≤-<∀x x x D ．10,0≤≤<∀x x
5.在空间中，设m ，n 为两条不同直线，α，β为两个不同平面，则下列命题正确的是 A ．若//m α且//αβ，则//m β
B ．若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥
C ．若m α⊥且//αβ，则m β⊥
D ．若m 不垂直于α，且n ⊂α，则m 必不垂直于n
6.在ABC ∆中，若22AB BC AB AC -=⋅，则ABC ∆是
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等边三角形 7. 已知2ln ,2,7.0log 1.02===c b a ，则
A.a c b <<
B.b c a <<
C.c a b <<
D.c b a << 8.函数2sin(π)()x f x x =的图像大致为
9.已知函数1()log (1)2
x a f x a x =++(0a >且1a ≠)，则 A.()f x 图像关于原点对称
B.()f x 图像关于y 轴对称
C.()f x 在R 上单调递增
D.()f x 在R 上单调递减
10.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
A.π32
+ B.π3+
C.3π32
+ D.3π3+
11.函数π
()cos()3f x x ω=-(0ω>)在[0,π]上的值域为1[,1]2
，则ω的取值范围是 A.12
[,]33 B.2
(0,]3 C.2
[,1]3 D.1
[,1]3
12.已知函数22,0()e ,0
x x x f x x ⎧<⎪=⎨≥⎪⎩，若12()()f x f x =(12x x ≠)，则12x x +的最大值为 A.2-
B.2ln 22-
C.3ln 22-
D.ln21-
二、填空题（每小题5分，共4小题，共20分）
13. 已知向量,a b 的夹角为π4
，且(1,0)a =，2b =，则2a b += .
14. 已知sin 2+=αα，则tan =α .
15. 若曲线ln y x x =在1x =处的切线l 与直线:10l'x ay -+=垂直，则,l l '与x 轴围成的
三角形的面积为 .
16. 已知圆锥的顶点为P ，母线PA 与底面所成的角为30︒，底面圆心O 到PA 的距离为1，
则该圆锥外接球的表面积为 ．
三、解答题（共70分）
17.(本小题满分10分）
已知平面上三点A ，B ，C 的坐标依次为()1,2-，()3,2，(),1k .
（1）若ABC ∆为直角三角形，且角A 为直角，求实数k 的值；
（2）在（1）的条件下，设AE AB λ=，AD AC μ=，若//BC ED ，证明：λμ=.
18.(本小题满分12分） 已知函数)0(12cos 2sin 3)(>--=ωωωx x x f 的最小正周期是π.
（1）求函数()f x 单调递增区间；
（2）求()f x 在3 8
8ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值和最小值.
设()f x 是(),-∞+∞上的奇函数，()()2f x f x +=-，当01x ≤≤时，()f x x =. （1）求()f π的值；
（2）当44x -≤≤时，求()f x 的图象与x 轴所围成图形的面积.
20.(本小题满分12分）
ABC ∆中，三内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，AC 边上的高为h ，已知
(sin cos )cos c A A a C -=．
(1)求h
b 的值； (2)若π4B =
，且ABC ∆的面积为12，求ABC ∆的周长．
如图，在三棱锥P ABC -中，PB AC ⊥，1AB AC ==，PB =PC =，45PBA ∠=︒.
(1)求证：平面PAB ⊥平面PAC ；
(2)若,E F 分别是棱,PB BC 的中点，G 为棱PC 上的点，求三棱锥A EFG -的体积.
22.(本小题满分12分）
已知函数()(ln )f x a x x =-(R a ∈).
(1)试讨论函数()f x 的单调性；
(2)若对任意(0,)x ∈+∞，不等式1()1f x x x
<
+-恒成立，求实数a 的取值范围.
参考答案
一、选择题（每小题5分，共60分）
1.C
2.B
3.A
4.B
5.C
6.B
7.B
8.A
9.C
10.C
11.A
12.C
.
. 15 1 . 16.64π3
． 17.(本小题满分10分）已知平面上三点A ，B ，C 的坐标依次为()1,2-，()3,2，(),1k . （1）若ABC ∆为直角三角形，且角A 为直角，求实数k 的值；
（2）在（1）的条件下，设AE AB λ=，AD AC μ=，若//BC ED ，证明：λμ=.
【答案】（1）5k =-（2）证明见解析
解：（1）因为A ，B ，C 的坐标依次为()1,2-，()3,2，(),1k . 所以)3,1(),4,2(-==k ，……………………2分
因为ABC ∆为直角三角形，且角A 为直角，
所以AB AC ⊥，
所以()()2,41,32100AB AC k k ⋅=⋅-=+=，
所以5k =- ………………5分
（2）()()()6,32,48,1BC AC AB =-=--=--
DE AE AD AB AC λμ=-=-
()()()2,46,326,43λλμμλμλμ=--=+-，…………………………7分
因为//BC ED ，所以//BC DE ，
所以()()84326λμλμ--=-+，
整理得λμ=.………………………………10分
18.(本小题满分12分） 已知函数)0(12cos 2sin 3)(>--=ωωωx x x f 的最小正周期是π.
（1）求函数()f x 单调递增区间；
（2）求()f x 在3 8
8ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值和最小值.
（1）)(x f 2cos212sin 216x x x πωωω⎛⎫=--=-- ⎪⎝
⎭，………………………………3分 最小正周期是22ππω=，所以1ω=，从而()2sin 216f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝
⎭， 令222262k x k π
π
π
ππ-+≤-≤+，解得()63k x k k Z π
π
ππ-+≤≤+∈，
所以函数()f x 的单调递增区间为Z k k k ∈++-],3,6[ππ
ππ
…………6分
（2）当3 88x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，72 61212x πππ⎛⎫⎡⎤-∈ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦，，……………………8分
2sin 2 26x π⎤⎛⎫-∈⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦
，，……………………………………10分
所以()f x 在3 8
8ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值和最小值分别为11-.………………12分
19.(本小题满分12分）
设()f x 是(),-∞+∞上的奇函数，()()2f x f x +=-，当01x ≤≤时，()f x x =. （1）求()f π的值；
（2）当44x -≤≤时，求()f x 的图象与x 轴所围成图形的面积.
【答案】（1）4π-（2）4
【解析】
解：（1）由()()2f x f x +=-得，
()()()()4222f x f x f x f x +=++=-+=⎡⎤⎣⎦，
所以()f x 是以4为周期的周期函数，……………………4分
所以()()()()1444f f f f ππππ=-⨯+=-=--()44ππ=--=-.………6分 （2）由()f x 是奇函数且()()2f x f x +=-，
得()()()1211f x f x f x -+=--=--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，
即()()11f x f x +=-.
故知函数()y f x =的图象关于直线1x =对称.…………………………8分
又当01x ≤≤时，()f x x =，且()f x 的图象关于原点成中心对称，则()f x 的图象如下图所示.当44x -≤≤时，()f x 的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则
1442142OAB S S ∆⎛⎫==⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭
. ………………………………12分
20.(本小题满分12分）
ABC ∆中，三内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，AC 边上的高为h ，已知
(sin cos )cos c A A a C -=．
(Ⅰ)求h
b 的值； (Ⅱ)若π4B =
，且ABC ∆的面积为12，求ABC ∆的周长． 解:(Ⅰ)由(sin cos )cos c A A a C -=及正弦定理得sin (sin cos )sin cos C A A A C -=………1分 即sin sin sin cos cos sin sin()A C A C A C A C =+=+………3分
πA C B +=-，sin sin sin A C B ∴=………4分
由正弦定理得sin a C b =，h b ∴=，即
1b h =………6分 (Ⅱ)1122ABC S b h ∆=⋅⋅=，21122
b ∴=，1b ∴=………7分
π
4B =，11sin 242
ABC S ac B ac ∆∴===，ac ∴=分
由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得221a c =+………9分
21()(2a c ac ∴=+-+，2()3a c ∴+=+1a c ∴+………11分
ABC ∴∆的周长为2+分
21.(本小题满分12分）
如图，在三棱锥P ABC -中，PB AC ⊥，1AB AC ==，PB =，PC =，45PBA ∠=︒.
(Ⅰ)求证：平面PAB ⊥平面PAC ；
(Ⅱ)若,E F 分别是棱,PB BC 的中点，G 为棱PC 上的点，求三棱锥A EFG -的体积.
解:(Ⅰ)证明：在PAB ∆中，由余弦定理得
2222cos PA PB AB PB AB PBA =+-⋅⋅⋅∠
22121cos 455=+-⋅⋅︒=，即PA =分
又1AC =，PC =
222PC PA AC ∴=+，AC PA ∴⊥………3分 又AC PB ⊥，PA PB P =，⊆PB PA ,平面PAB ，
AC ∴⊥平面PAB ………4分
⊆AC 平面PAC ，∴平面PAB ⊥平面PAC ………6分
(Ⅱ)11sin 1sin 45122PAB S PB AB PBA ∆=⋅⋅⋅∠=⋅⋅︒=，
11111333P ABC PAB V S AC -∆∴=⋅⋅=⋅⋅=
………8分 ,E F 分别是棱,PB BC 的中点，//EF PC ∴，14
EFG PBC S S ∆∆∴=………10分 1114412
A EFG A PBC P ABC V V V ---∴===………12分 22.(本小题满分12分）
已知函数()(ln )f x a x x =-(R a ∈).
(Ⅰ)试讨论函数()f x 的单调性；
(Ⅱ)若对任意(0,)x ∈+∞，不等式1()1f x x x
<
+-恒成立，求实数a 的取值范围. 解:(Ⅰ)令()ln g x x x =-，则11g ()1x x x x -'=-=………1分 当01x <<时，10x x -<，g ()0x '<；当1x >时，10x x
->，g ()0x '>， ∴①当0a >时，函数()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增………3分 ②当0a <时，函数()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减………4分 ③当0a =时，函数()0f x =(0x >)，不具有单调性………5分
(Ⅱ)法一:对任意(0,)x ∈+∞，不等式1()1f x x x
<+-恒成立， 1(1)111
f ∴<+-，即1a <………7分
令1()(ln )1h x a x x x x =---+，则22
11(1)[(1)1]()(1)1x a x h x a x x x ---'=-+-=…9分 1a <，0x >，(1)10a x ∴--<，()001h x x '∴>⇔<<；()01h x x '<⇔>， ()h x ∴在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减………11分
∴对任意(0,)x ∈+∞，()(1)10h x h a ≤=-<，即1()1f x x x
<
+-恒成立， 故实数a 的取值范围是(,1)-∞………12分 法二:依题意得1(ln )10a x x x x
---+<(*)恒成立， 令1()(ln )1h x a x x x x =---+，则2211(1)[(1)1]()(1)1x a x h x a x x x
---'=-+-=…7分 当1a ≤时，0x >，(1)10a x ∴--<，()001h x x '>⇔<<；()01h x x '<⇔>， ()h x ∴在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，
()(1)1h x h a ∴≤=-，要使(*)恒成立，则10a -<，即1a <………9分
当1a >时，(1)10h a =->，(*)不恒成立………11分
故实数a 的取值范围是(,1)-∞………12分。