曲线论基本定理

一．一般结果
曲线论基本定理说明，无逗留点曲线的曲率 > 0 和挠率 分别作为弧长 s 的函数而共同确定了不计位置意义下的 唯一一条曲线；因而，函数组 (s) > 0 , (s) 通常 称为曲线的内在方程或自然方程． 一般而言，从内在方程出发而去确定参数方程往往是比 较困难的，因为通常要归结为求解曲线论基本方程的通 解或特解． 当然，对于已知内在方程的曲线，有时就可以采取反验 的方法确定其参数方程全体． 例1 已知曲线 C 具有常值曲率 0 > 0 和常值挠率 0 0 ，试确定其参数方程．
二．平面曲线的相对曲率

平面曲线在非逗留点处的挠率恒为零，故而按照曲线 论基本定理，有更为简单的内在方程． 一个不容忽视的事实是，在逗留点及其附近并没有找 到能够确定空间曲线的一般的完全不变量系统．当然， z 处处为逗留点的曲线只能是直线． 观察第一章图1-5以及相关例题可见， 空间曲线在逗留点附近有可能具有相 当任意的“自由度”——允许单侧相 差围绕逗留点处切线的旋转； 而图2-10所示的平面曲线在孤立逗留 点附近只有有限的“自由度”——允 许单侧相差关于逗留点处切线的反 射．
r r
二．平面曲线的相对曲率
定义1 给定二阶连续可微的弧长 s 参数化平面曲线 C: r r(s) (x(s), y(s)) x(s)i + y(s)j ，其中 {i, j, k} 为 E3 的单位正交右手系的基向量，称 x 轴的正向 i 到 C 的单位切向 T 的有向夹角 为 C 的有向切线方向角， 简称切向角，即对 有 N T N ,N (6.10) T(s) = (x(s), y(s)) C = (cos(s), sin(s)) . 从局部来看，C 的切向 j 角函数 在 C 的任一点 N T i 的附近总可取到可微的 图 2 -1 1 单值支，这只要注意到

一．一般结果
引理1 给定单位正交右手标架 {r0; T0, N0, B0} ，在曲线 论基本定理条件下任取一点 s0I ，则联立方程组 (6.1)(6.2) 的满足初始条件 {r(s0); e1(s0), e2(s0), e3(s0)} {r0; T0, N0, B0} 的唯一解恰好为一条弧长 s 参数化曲线 C: r r(s) 的 Frenet标架场． 曲线论基本定理 给定区间 I (a, b) 上的连续可微函数 `(s) > 0 和连续函数`(s) ，则在 E3 中 ① 存在弧长 s 参数化曲线 C: r r(s) ，使其曲率函 数 (s) `(s) ，并且其挠率函数 (s) `(s) ； ② 上述曲线 C 在合同意义下是唯一的．
引理1 给定单位正交右手标架 {r0; T0, N0, B0} ，在曲线 论基本定理条件下任取一点 s0I ，则联立方程组 (6.1)(6.2) 的满足初始条件 {r(s0); e1(s0), e2(s0), e3(s0)} {r0; T0, N0, B0} 的唯一解恰好为一条弧长 s 参数化曲线 C: r r(s) 的 Frenet标架场． 首先证明所讨论的解函数组 {r(s); e1(s), e2(s), e3(s)} 构成 单位正交标架场． 再证明参数曲线 C: r r(s) 为一条弧长 s 参数化曲线． 进一步证明解函数组 {r(s); e1(s), e2(s), e3(s)} 是曲线 C 的Frenet标架场．
一．一般结果

引理1 给定单位正交右手标架 {r0; T0, N0, B0} ，在曲 线论基本定理条件下任取一点 s0I ，则联立方程组 (6.1)-(6.2) 的满足初始条件 {r(s0); e1(s0), e2(s0), e3(s0)} {r0; T0, N0, B0} 的唯一解恰好为一条弧长 s 参数化曲线 C: r r(s) 的 Frenet标架场． 从上述证明过程可以看到，确定曲线的过程可以表现 为确定其附属的标架场的过程；从中可以体会标架空 间在几何学中的合理运用．


二．平面曲线的相对曲率


下面将完善平面曲线的完全不变量系统． 在所在的平面上，平面曲线在每一点处有唯一的一条 法线（即过该点且垂直于切线的直线）；其连续可微 的单位法向量场可由单位切向和所在平面的定向如下 确定． T N ,N 不妨考虑右手直角坐标系 N C Oxyz 下坐标平面 xOy 之 上的弧长参数化曲线 j N T C: r r(s) ，其参数方程 i 简记为r(s) (x(s), y(s)) ； 图 2 -1 1 则其单位切向 T(s) (x(s), y(s)) ．
此时，(6.10) 式对弧长参数求导，得曲率向量

T (s) (s) ( sin(s), cos(s)) (s) ( y(s) , x(s)). 定义2 对上述平面曲线 C ，分别称 (6.12) Nr (cos ( + /2), sin ( + /2)) ( y(s), x(s)), (6.13) r (s) 为 C 的相对主法向和相对曲率． (6.11)
二．平面曲线的相对曲率
(6.10) T(s) = (x(s), y(s)) = (cos(s), sin(s)) . (6.11) T (s) (s) ( sin(s), cos(s)) (s) ( y(s) , x(s)).



定义2 对上述平面曲线 C ，分别称 (6.12) Nr (cos ( + /2), sin ( + /2)) ( y(s), x(s)), (6.13) r (s) 为 C 的相对主法向和相对曲率． 显然，此时曲率是相对曲率的绝对值； 相对主法向在逗留点仍然有定义，并且使 {T, Nr} 与所 在平面的定向相符，即 TNr ij k ． 相对曲率是平面上刚体运动（即平移变换和旋转变换 的有限次复合）的不变量；而切向角不是（参见习 题），但可以“控制”．
一．一般结果
因此，下面将不加证明地引用关于齐次线性常微分方程 组的解的存在唯一性定理． 围绕着存在性，首先建立并考察联立的两个齐次线性常 微分方程组
(6 .1 ) dr ds e1 ；
`
0 e 1 d ` e (6 .2 ) 2 ds e 3 0
且其在逗留点两侧的单侧极限有可能不相等．

如果想象曲线在三维空间内被弧长、曲率、挠率三个 量“限定”，那么，平面曲线将被弧长、曲率“限 定”，一般固定曲面上的任意曲线也将被弧长和另外 一个几何量“限定”．
二．平面曲线的相对曲率



平面曲线在非逗留点处，有更为简单的内在方程． 在逗留点及其附近并没有找到能够确定空间曲线的一 般的完全不变量系统．处处为逗留点的曲线是直线． 空间曲线在逗留点附近有可能具有相当任意的“自由 度”；而平面曲线在孤立逗留点附近只有有限的“自 由度”． 下面将完善平面曲线的完全不变量系统，而曲面上曲 线的相关讨论将在第六章深入进行． 在所在的平面上，平面曲线在每一点处有唯一的一条 法线（即过该点且垂直于切线的直线）；其连续可微 的单位法向量场可由单位切向和所在平面的定向如下 确定．
曲线论基本定理的证明
引理1说明存在性结论①成立．以下证明唯一性结论②. 设两条曲线 C: r r(s) 和 C*: r r*(s) 同时以 s 为弧长参 数并具有相同的曲率函数 (s) *(s) > 0 和相同的挠率 函数 (s) *(s) ；要证这两条曲线合同． 任取定点 s0I ，这两条曲线在此对应点的Frenet标架 分别记为 {r(s0); T(s0), N(s0), B(s0)} 和 {r*(s0); T*(s0), N*(s0), B*(s0)} ，则两个标架之间相差的正交变换对应于 一个刚体运动 : E3E3 ． 由于弧长、曲率和挠率在刚体运动下都不变，故不妨 设 C* 在 下的像 (C*) 在点 s0 处的Frenet标架重合于 {r(s0); T(s0), N(s0), B(s0)} ． 再由引理1，可知 (C*) 与 C 重合；此即 C* 与 C 合同， 结论得证． □
二．平面曲线的(s) = (x(s), y(s)) = (cos(s), sin(s)) 对弧长参数 s 积分得到，平面曲线 C 的位置向量分量 由切向角函数 (s) 和初值 (x(s0), y(s0)) 唯一确定为
x ( s ) x ( s 0 ) + s c o s ( u )d u ，
0
s s
y ( s ) y ( s 0 ) + s s in ( u )d u ．
0

此即说明，对于固定的平面，其上曲线的弧长和相对 曲率共同构成了完全的不变量系统．
0 `
0 e 1 e ` 2 ． 0 e 3
联立方程组中所包含的未知向量函数组 {r(s); e1(s), e2(s), e3(s)} 可以理解成由12个普通未知函数而构成． 联立方程组在给定的初值条件下有满足初始条件的唯一 解（且在整个区间上延拓有定义）．
一．一般结果
§5 曲线论基本定理
一．一般结果
曲线论基本定理 给定区间 I (a, b) 上的连续可微函数 `(s) > 0 和连续函数`(s) ，则在 E3 中 ① 存在弧长 s 参数化曲线 C: r r(s) ，使其曲率函 数 (s) `(s) ，并且其挠率函数 (s) `(s) ； ② 上述曲线 C 在合同意义下是唯一的． 曲线论基本定理的考虑对象实际上是无逗留点的正则曲 线；其含义明显分为存在性和唯一性两个方面；其证明 将分成若干步骤进行． 曲线论基本定理证明的过程中在本质上需要用到适当的 微分方程组求解的存在唯一性结果． ——只要考虑到曲率、挠率和弧长微元与位置向量微 分运算的关系，并注意到Frenet公式．

r r
局部总可取之为多值函数 Arctan (y/x) 或 Arccot (x/y) 的单值支．
二．平面曲线的相对曲率

(6.10) T(s) = (x(s), y(s)) = (cos(s), sin(s)) . C 的切向角函数 在 C 的任一点的附近总可取到可微 的单值支． 在 C的可以取到可微切向角函数 的局部，利用可微 性可以获得许多方便．
O y

x
二．平面曲线的相对曲率


平面曲线在非逗留点处，有更为简单的内在方程． 在逗留点及其附近并没有找到能够确定空间曲线的一 般的完全不变量系统．处处为逗留点的曲线是直线． 空间曲线在逗留点附近有可能具有相当任意的“自由 度”；而平面曲线在孤立逗留点附近只有有限的“自 由度”．
这种行为的直观表现，就是曲线在逗留点处“迷失”了方向； 其解析表现，就是曲线的Frenet标架在逗留点处没有定义，并