【步步高】高中数学 第三章 习题课空间向量的应用配套课件 苏教版选修2-1

∵AB⊂平面 ABC，∴PC⊥AB.
研一研·题型解法、解题更高效
(2)解 如图，以 C 为原点建立空间直角坐标系．
习题课
则 C(0,0,0)，A(0,2,0)，B(2,0,0)．设 P(0,0，t)， ∵PB＝AB＝2 2， ∴t＝2，P(0,0,2)．
取 AP 中点 E，连接 BE，CE. ∵AC＝PC，AB＝BP，∴CE⊥AP，BE⊥AP，
习题课
→ → FE· FD 因为 cos∠EFD＝ → → |FE||FD| 1 1 1 1 1 2 1 － ， ，－ · － ，－ ，－ 6 3 3 3 6 1 3 6 ＝ ＝ ＝ ， 1 2 6 6 3 6 ·3 所以∠EFD＝60° ，即二面角 C—PB—D 的大小为 60° .
习题课
【学习要求】 通过利用向量方法解决综合性较强的问题，进一步体会空 间向量在解决立体几何问题中的广泛作用． 【学法指导】 结合例题的解题过程，对立体几何中的三种方法(综合 法、向量法、坐标法)进行比较，进一步体会向量方法与 坐标方法相结合的优越性.
填一填·知识要点、记下疑难点
习题课
设直线 l，m 的方向向量分别为 a，b，平面 α，β 的法向量 分别为 u，v，则 线线平行 l∥m⇔a∥b⇔ a＝kb，k∈R 线面平行 线线垂直
习题课
题型二
立体几何中的探索性问题
立体几何中的探索性问题， 在命题中多以解答题的一步 出现，试题有一定的难度． 这类题型常以适合某种条件的结论“存在”、“不存 在”、“是否存在”等语句表述．解答这类问题，一般要先 对结论作出肯定的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已 知条件进行推理论证，若导致合理的结论，则存在性也随之 解决；若导致矛盾，则否定了存在性．
所以(1,1，－1)· (k，k,1－k)＝k＋k－1＋k＝3k－1＝0.
1 1 2 1 所以 k＝ ，点 F 的坐标为3，3，3. 3
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1 1 又点 E 的坐标为0，2，2， 1 1 1 → 所以FE＝－3，6，－6.
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习题课
跟踪训练 1 如图， 在三棱锥 P—ABC 中， AC＝BC ＝2，∠ACB＝90° ，AP＝BP＝AB，PC⊥AC. (1)求证：PC⊥AB； (2)求二面角 B—AP—C 的余弦值．
(1)证明 ∵AC＝BC，AP＝BP，PC＝PC， ∴△APC≌△BPC.又 PC⊥AC， ∴PC⊥BC.∵AC∩BC＝C，∴PC⊥平面 ABC.
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习题课
小结
本例的第(1)(2)两小题分别证明直线与平面平行、垂
直，本题的证法是由向量表示转到有关判定定理．第(3)小 题求二面角在利用向量法时，首先回归定义，确定二面角 的平面角．因此本题是立体几何中三种方法(综合法、向量 法、坐标法)的有机结合，解法非常灵活，要用心体会．
u＝0 l∥α⇔ a⊥u ⇔ a·
b＝0 l⊥m⇔a⊥b⇔ a·
面面平行 α∥β⇔u∥v⇔ u＝kv，k∈R
填一填·知识要点、记下疑难点
习题课
线面垂直 面面垂直
l⊥α⇔a∥u⇔
a＝ku，k∈R
v＝0 α⊥β⇔u⊥v⇔ u·
|a· b| π 线线夹角 l，m 的夹角为 θ(0≤θ≤2)，cos θ＝ |a||b|
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(1)证明
习题课
如图所示建立空间直角坐标系， 点 D 为坐标原点，
设 DC＝1.
连接 AC，AC 交 BD 于点 G，连接 EG. 1 1 依题意得 A(1,0,0)，P(0,0,1)，E0，2，2.
因为底面 ABCD 是正方形，所以点 G 是此正方形的中心， 1 1 故点 G 的坐标为2，2，0， 1 1 → → 且PA＝(1,0，－1)，EG＝2，0，－2. → → 所以PA＝2EG，即 PA∥EG. 而 EG⊂平面 EDB，且 PA⊄平面 EDB，
|a· u| π 线面夹角 l，α 的夹角为 θ(0≤θ≤2 )，sin θ＝ |a||u|
|u· v| π 面面夹角 α，β 的夹角为 θ (0≤θ≤2)，cos θ＝ |u||v|
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习题课
题型一
立体几何中的综合性问题
例 1 如图，在四棱锥 P—ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD⊥底面 ABCD，PD＝DC， 点 E 是 PC 的中点，作 EF⊥PB 交 PB 于点 F. (1)求证：PA∥平面 EDB； (2)求证：PB⊥平面 EFD； (3)求二面角 C—PB—D 的大小．
因此 PA∥平面 EDB.
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习题课
(2)证明
→ 依题意得 B(1,1,0)，PB＝(1,1，－1)． 1 1 → 又DE＝0，2，2， 1 1 → → 故PB· DE＝0＋2－2＝0.
所以 PB⊥DE.
由已知 EF⊥PB，且 EF∩DE＝E， 所以 PB⊥平面 EFD.
∴∠BEC 是二面角 B—AP—C 的平面角．
→ → ∵E(0,1 → → EC· EB 2 3 ∴cos∠BEC＝ ＝ ＝ ， → → 2· 6 3 |EC||EB| 3 ∴二面角 B—AP—C 的余弦值为 3 .
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习题课
例 2 如图，在三棱锥 P－ABC 中，AB＝AC，D 为 BC 的中点，PO⊥平面 ABC，垂足 O 落在线 段 AD 上，已知 BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD ＝2. (1)证明：AP⊥BC. (2)在线段 AP 上是否存在点 M，使得二面角 A－MC－B 为直二面角？若存在，求出 AM 的长；若不存在，请说 明理由．
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(3)解 已知 PB⊥EF，由(2)可知 PB⊥DF，
习题课
故∠EFD 是二面角 C—PB—D 的平面角． → 设点 F 的坐标为(x，y，z)，则PF＝(x，y，z－1)． → → 因为PF＝kPB，
所以(x，y，z－1)＝k(1,1，－1)＝(k，k，－k)， 即 x＝k，y＝k，z＝1－k. → → 因为PB· DF＝0，