圆锥曲线公式的应用举例

例 椭 等＋ １ 有 点Ｐ尸关 ２在 圆 争＝上 两 ： 于 ，
直线 Ｙ＝ ｘ＋ｍ对称 ， ｍ 的取 值范 围． ４ 求 解 ： 弦 ＰＰ 设 ：的 中点 Ｍ 的坐 标 为 （ 。 Ｙ ） 则 ，ｏ ，
３
。２ ・ Ｐ
・
．
的中点 ， 便可 得 。 Ｐ ２・
＝一 ．
即 。 ＝ 一 Ｘ ｏ ３
，
．
＝ 一
。
Ｐ Ｐ 与直线 Ｙ＝ ｘ＋ｍ垂直 ， ｌ２ ４
３ｏ ｘ １
一 — — 一
‘
一
’ ‘
４ ｏ ｙ
４‘
①
又 （ ，ｏ 在直 线 Ｙ＝ ｘ＋ｍ上 ， Ｙ） ４
‘
． ．
新颖、 简捷 、 速 、 迅 明快 ， 确实 能 引人 人 胜 ， 对提 高 我 们 分析 问题和 解决 问题 的 能力 、 迪 思 维都 是 大 有 启
故 Ｏ 为平 分 与 Ｐ Ｐ Ｍ ：平 行 的弦 的 直 径 ， 而
，
・
则
一
‰
一 ．
为常 数 ， 因此
・
可 以求 出．
解 ： Ｆ是 ／Ａ Ｐ 的重心 ， ‘ ． Ｘ Ｐ１ ２ Ａ Ｆ与 Ｐ Ｐ 的交 点 为 Ｐ Ｐ 的中点 ，
．
．
依 意有 ＝丢． ＝ 题， 一 ，一 一 ・ ．
《 数学之友》
２１ ００年第 ｌ ６期
圆锥 曲线公 式 的应 用举 例
解 题 探 索
徐红
（ 江苏省东台中学 ，２ ２０） ２４０
在解 析几何 中人们 对 点 差 法 比较 熟 悉 ， 对应 但
的一个结 论还 没有 引起 普遍 的重 视 ， 请看 ：
２
，
０ —３×２
４ —３×０
所 以 ３ ＝ 即 ｅ＝ ． ｃ 口，
解 得 ＪＩ ２ 这 与 ｌＩ ２矛 盾 ， 假设错 误． ｂ＜ ， ／ ｂ＞ 故
因此 ， 题得 证． 命 当然这样 的结论在解 答题 里直 接应用 是要 被扣
今 年上 海卷第 ２ ３题 的第 二 问 和 我们 所 分 析 的 这个 结 论类 似． 兴趣 的 同学可 以 自 己尝 试 解 决下 有
的方程．
＋
孚 ＜
＜ ＜ ｍ
＋
．
＜ ．
解得 一
分析： 欲求 直 线 Ｐ Ｐ 的方 程 ， 只要 确 定 它 的 斜
例 ３ 求证 ： 圆 ４ ＋ ｙ 椭 ｘ ９ ＝３ 不 存 在 关 于 ６上
直线 ｌＹ＝ ｘ＋ｂ Ｉ Ｉ ２ 对 称 的两点． ： ２ （６＞ ） ／ 证 明 ：假 设 椭 圆 上 存 在 这 样 的 两 个 点 Ｐ （ ，１ ， ２ ，２ ， Ｐ Ｐ １Ｙ ） Ｐ （２ Ｙ ） 记 １ ２的 中点 Ｍ（ ｏ Ｙ ） ，ｏ ，
率 ． ＾与 ＰＰ ：上 一 个 点 的 坐 标．因右 焦 点 Ｆ 是 ＡＡ ＰＰ 的重 心 ， Ａ 故 Ｆ与 ＰＰ 的交点 Ｍ 必为 ＰＰ ２ ２
的中点 ， Ａ Ｆ ＝ 且 Ｆ： Ｍ ２：１ 由于 Ａ， ， Ｆ的坐 标 已知 ， 所 以， 点 的坐标 可 求． 因为 是 Ｐ Ｐ 又 的 中点 ，
一 ．
＋
Ｙｌ
＝
１ ， １ ，
① ②
一
０
２
，
故直 线 Ｐ Ｐ ：的方程 为 ｙ＋ （ 一３ ， ６ ２＝ ）即
５ 一２ ＝０ ８ ．
２
Ｙ２ ＋百 ＝
下 面看两 例有关 对称 的问题．
① ② 注 到 ， ）Ｐ 一并 意 点 （ 是 尸
厶２
裨 益 的． 例 １ 已知 ＡＡ 。 ：的三 个 顶 点 均 在 椭 圆 ４ ＰＰ
Ｙ ｏ＝４ｘ ０＋ ｍ ．
一
②
３ ｍ．
解 ① ， 所成 的方程 组 ， ② 得 。 ＝一ｍ，ｏ Ｙ＝ 而 ｇ（ 。Ｙ ） ｘ ，ｏ 在椭 圆 的内部 ，
２
・ ．
＋ ｙ ＝８ ５ ０上 ， 点 是 椭 圆短 轴 的一个 端 点 ， 个 三 这 角形 的重心 在 椭 圆 的 右 焦 点 Ｆ上 ， 求 直 线 Ｐ Ｐ 试 ：
一ｂ ２
＝ 一
， 、
＾ —ｒ ｆ ＿丁
・ ． 。
ｊＹ —ｉ ，Ｍ —丁 ＿
４
，
一 ， ｚ
＝ 一
，
２
・
ＫＯ Ｍ
。
设 Ｐ （ ， ， ，２ 是椭 圆 ＋ ＝１上 １ １Ｙ ） Ｐ （ ：Ｙ ） 任意 两点 ， 则
２
．
＝
．
．
２
解① ， ②所成的方程组， 得 。 ９ ＝一 ｂ 而
分 点公式 ， 得
・
） ， 。＝ 一
５８ ．
《 数学之友》
２１ ０ ０年第 １ ６期
而 Ｍ（ 。Ｙ ） ｘ ，０ 在椭 圆 的内部 ，． ｘ ＋９ ＜ ６ ．４ ３ ， ．
× ＋９× ＜３ ６，
则 ＝ 号・＝篓 一， ・ （ ）ｃ一 ＝ｂ 一 ｂ ３ ２
此 式说 明 的是 ， 圆 的弦 ＰＰ 所在直 线 的斜 率 椭 ：
及弦 中点 和椭 圆 中心 ０连线 的斜率 与椭 圆半 长 、 短轴 间的关 系． 由此看来 ， 涉及到 直线 与椭 圆相交 、 凡 有关对 称 等问题 时 ， 如果 我们 有意 识地联 想这 个公 式 ， 不但 可 以避免一 些不 必要 的 中间过 程 ， 且 还 体 现 出解 法 而
亦即 ８０ ９ ＝ ． ｘ— ０ 又 Ｍ（ ０Ｙ ） ，０ 在直线 Ｙ＝ ｘ＋ｂ ， ２ 上 Ｙ ＝ ｘ ＋ｂ ｏ ２０ ．
・
． ．
①
②
４ｂ
， ，
、
Ａ
Ａ 而
。 ‘
‘
．
Ａ， Ｆ的坐标 分 别 为 （ ， ） （ ， ） 根 据 定 比 ０ ４ ，２ ０ ，
述 问题．
２
分的， 一般 在做填 空题 时可 以直接应 用． 例 如 ，０ ０年 全 国卷 第 １ ２１ ６题 ： 已知 Ｆ是 椭 圆 Ｃ
的一个 焦点 ， Ｂ是短 轴 的 一个 端点 ， 段 Ｂ 线 Ｆ的延 长
１ （ ０ ０上海 卷 ２ ） ．２１ ３ 已知椭 圆 厂 的方 程为 ＋
线 交 Ｃ于点 Ｄ， Ｂ ２Ｆ 则 Ｃ的离 心率 为 ． 且 Ｆ＝ Ｄ， 本 小题 主 要考 查 椭 圆 的方程 与 几何 性 质 、 二 第