贵州省铜仁地区2020年高二下数学期末质量检测试题含解析

贵州省铜仁地区2020年高二(下)数学期末质量检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）
1．已知函数()
() ()()
2
1
2
ln10 x
x x
f x
x x
⎧
-+<
⎪
=⎨
⎪+≥
⎩
，若函数()
y f x kx
=-有3个零点，则实数k的取值范围为（）A．
1
0,
2
⎛⎫
⎪
⎝⎭
B．()
1,2C．1,1
2
⎛⎫
⎪
⎝⎭
D．()
2,+∞
2．某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念,制定节能减排的目标,先调查了用电量(单位:千瓦·时)与气温(单位: )之间的关系,随机选取了4天的用电量与当天气温,并制作了以下对照表：（单位：）17 14 10 -1
（单位：千瓦时）24 34 38 64
由表中数据得线性回归方程: ,则由此估计:当某天气温为12时,当天用电量约为（）A．56千瓦时B．36千瓦时C．34千瓦时D．38千瓦时
3．已知m∈R，“函数21
x
y m
=+-有零点”是“函数log m
y x
=在(0,)
+∞上是减函数”的（）．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件
4．“0
x=”是“复数()()
21
z x x x i x R
=-+-∈为纯虚数”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．从345678910,1112
，，，，，，，，中不放回地依次取2个数，事件A=“第一次取到的数可以被3整除”,B=“第二次取到的数可以被3整除”，则()
P B|?A=( )
A．
5
9
B．
2
3
C．
1
3
D．
2
9
6．由曲线2(0)
y x x
=≥和直线0
x=，1
x=，2
y t=（01
t<<）所围成图形（阴影部分）的面积的最小值为( )．
A ．
12
B ．
23
C ．
14
D ．
13
7．已知复数()1z ai a R =+∈，若2z 为纯虚数，则||z =（ ） A ．1
B ．2
C ．2
D ．4
8．在()()6
5
11x x ---的展开式中，含3x 的项的系数是（） A ．-10
B ．5
C ．10
D ．-5
9．执行如图所示的程序框图，当输出S 的值为6-时，则输入的0S =（ ）
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
10．若复数z 满足(2)12i z i -=+，则z 的虚部为
A 5
B 5
C ．1
D ．i
11．曲线1x y xe =+在点()0,1处的切线方程是( ) A ．10x y -+= B ．210x y -+= C ．10x y --=
D ．220x y -+=
12．已知()1,0a =，(),1b x =，若3a b ⋅=，则x 的值为（ ） A 2B ．22C 31
D 3二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．63(2)x x x ⎛⎫
+
⎪⎝⎭
的展开式中2x 的系数是__________． 14．二项式18
93x x ⎛+ ⎝
的展开式的常数项为________(用数字作答).
15．已知函数2()(,)f x x ax b a b =++∈R 的值域为3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
，函数()x y e f x =的单调减区间为[,1]m -，则m =________.
16．若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b = ． 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17． (A)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的参数
方程为225425x cos y sin αα
⎧=+⎪⎨=+⎪⎩(α为参数)，P 是曲线1C 上的动点，M 为线段OP 的中点，设点M 的轨迹为
曲线2C .
(1)求2C 的坐标方程； (2)若射线6
π
θ=
与曲线1C 异于极点的交点为A ，与曲线2C 异于极点的交点为B ，求AB .
(B)设函数()()1f x x x a a R =+--∈. (1)当1a =时，求不等式()1f x ≤的解集； (2)对任意m R +∈，x R ∈不等式()4
f x m m
≤+
恒成立，求实数a 的取值范围. 18．在直角坐标系xoy 中，直线经过点()1,0P -，其倾斜角为α，以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线C 的极坐标方程为
26cos 50ρρθ-+=．
（1）若直线与曲线C 有公共点，求的取值范围：
（2）设(),M x y 为曲线C 上任意一点，求x y +的取值范围．
19．（6分）小明某天偶然发现班上男同学比女同学更喜欢做几何题，为了验证这一现象是否具有普遍性，他决定在学校开展调查研究：他在全校3000名同学中随机抽取了50名，给这50名同学同等难度的几何题和代数题各一道，让同学们自由选择其中一道题作答，选题人数如下表所示，但因不小心将部分数据损毁，只是记得女生选择几何题的频率是2
5
. 几何题 代数题 合计 男同学 22 8 30 女同学 合计
（1）根据题目信息补全上表；
（2）能否根据这个调查数据判断有97.5%的把握认为选代数题还是几何题与性别有关？ 参考数据和公式：
20()
P k k ≥
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005
0k
2.072 2.706
3.841 5.024 6.635 7.879
()
()()()()
2
2n ad bc K a b c d a c b d -=
++++，其中n a b c d =+++. 20．（6分）已知直线l 的参数方程为2
42x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为
极轴，建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ，直线l 与圆C 交于A ，B 两点． (1)求圆C 的直角坐标方程及弦AB 的长；
(2)动点P 在圆C 上(不与A ，B 重合)，试求△ABP 的面积的最大值．
21．（6分）如图，边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，
D 的点．
（1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ；
（2）当三棱锥M ABC -体积最大时，求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值．
22．（8分）设函数(
)()e 1e 1x
x
f x x a =+-+，a ∈R .
（I ）求函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）若方程()0f x =在(0,)+∞上有解，证明：>2a .
参考答案
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．C 【解析】
【分析】
求导计算0x =处导数，画出函数()f x 和y kx =的图像，根据图像得到答案. 【详解】
当0x ≥时，()()ln 1f x x =+，则()1
'1
f x x =
+，()'01f =； 当0x <时，()2
12f x x x =-+，则()1'22f x x =-+，当0x →时，()1'2
f x →；
画出()f x 和y kx =函数图像，如图所示：函数有3个交点，根据图像知1
12
k <<. 故选：C .
【点睛】
本题考查了根据函数零点个数求参数，意在考查学生的计算能力和应用能力，画出函数图像是解题的关键. 2．B 【解析】 【分析】
计算出和的值，将点的坐标代入回归直线方程，得出的值，再将
代入可得出的值，即为
所求结果。

【详解】 由题意可得
，
，
由于回归直线过样本的中心点，则
，得，
回归直线方程为，当
时，
（千瓦时），故选：B.
【点睛】
本题考查回归直线方程的应用，解题的关键在于利用回归直线过样本中心点这一结论，考查计算能
力，属于中等题。

3．B 【解析】
试题分析：由题意得，由函数有零点可得，
，而由函数
在
上为减
函数可得
，因此是必要不充分条件，故选B ．
考点：1.指数函数的单调性；2.对数函数的单调性；3.充分必要条件. 4．C 【解析】
分析：首先求得复数z 为纯虚数时x 是值，然后确定充分性和必要性即可. 详解：复数()()2
1z x x x i x R =-+-∈为纯虚数，则：
2010x x x ⎧-=⎨
-≠⎩
，即：01
1x x x ==⎧⎨≠⎩或，据此可知0x =， 则“0x =”是“复数()()2
1z x x x i x R =-+-∈为纯虚数”的充要条件
本题选择C 选项.
点睛：本题主要考查充分必要条件的判断，已知复数类型求参数的方法，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 5．C 【解析】
分析：先求()P AB ，()P A ，再根据()
(|)()
P AB P B A P A =
得结果. 详解：因为214421101022
(),()155
C C P AB P A C C ==
==， 所以2()1
15(|)2()
35
P AB P B A P A =
==, 选C.
点睛：本题考查条件概率，考查基本求解能力. 6．C 【解析】 【分析】
利用定积分求出阴影部分区域面积关于t 的函数，再利用导数求出该函数的最小值，可得出结果． 【详解】
设阴影部分区域的面积为()f t ， 则()()()1
2
2
22233213200
11413333t
t t
t
f t t
x dx x t dx t x x x t x t t ⎛⎫⎛⎫
=
-+-=-+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰， ()()242221f t t t t t '∴=-=-，其中01t <<，令()0f t '=，得1
2
t =
， 当102t <<
时，()0f t '<；当1
12
t <<时，()0f t '>. 所以，函数()y f t =在1
2
t =
处取得极小值，亦即最小值，且最小值为1124
f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 因此，阴影部分区域面积的最小值为1
4
，故选C ． 【点睛】
本题考查利用定积分计算曲边多边形的面积，考查利用导数求函数的最值，在利用定积分思想求曲边多边形的面积时，要确定被积函数和被积区间，结合定积分公式进行计算，考查计算能力，属于中等题． 7．B 【解析】 【分析】
计算2z ，根据纯虚数的概念，可得2a ，然后根据复数的模的计算，可得结果. 【详解】
2212i z a a =-+为纯虚数，
2210,1a a ∴-==，
||z ∴==
故选：B 【点睛】
本题考查复数中纯虚数的理解以及复数的模的计算，审清题干，细心计算，属基础题. 8．A 【解析】 【分析】
根据()()65
511(1)()x x x x ---=--，把5
(1)x -按二项式定理展开，可得含3x 的项的系数，得到答案．
【详解】
由题意，在()()65
511(1)()x x x x ---=--的展开中3x 为223
5()10xC x x --=-，
所以含3x 的项的系数10-，
本题主要考查了二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 9．B 【解析】 【详解】
分析：根据循环结构的特征，依次算出每个循环单元的值，同时判定是否要继续返回循环体，即可求得S 的值．
详解:01,i S S ==
02,2S S i =-= 024,3S S i =--= 0248,4S S i =---=
因为当4i < 不成立时，输出S ，且输出-6S = 所以06248S -=--- 所以08S = 所以选B
点睛：本题考查了循环结构在程序框图中的应用，按照要求逐步运算即可，属于简单题． 10．A 【解析】
12
2i z i
+=
=
===-．
【考点】复数的运算与复数的定义． 11．A 【解析】 【分析】
求出函数的导数，求出切线方程的斜率，即可得到切线方程． 【详解】
曲线1x
y xe =+，解得y′=e x +xe x ，所以在点(2,1)处切线的斜率为1． 曲线1x y xe =+在点（2，1）处的切线方程是：y ﹣1=x ． 即x ﹣y +1=2．
本题考查曲线的切线方程的求法，考查计算能力 12．D 【解析】
此题考查向量的数量积
解：因为(1,0),(,1),3a b x a b ==⋅=，所以101x x ⨯+⨯==选D. 答案：D
二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．243 【解析】
分析：先得到二项式(
6
2的展开式的通项，然后根据组合的方式可得到所求项的系数．
详解：二项式(
6
2-
展开式的通项为()662
1
6
6
2
2
,0,1,2,
,6r r
r r
r
r r T
C C x r --+===，
∴展开式中2x 的系数为0642
663212243C C ⨯⨯+⨯⨯=.
点睛：对于非二项式的问题，解题时可转化为二项式的问题处理，对于无法转化为二项式的问题，可根据组合的方式“凑”出所求的项或其系数，此时要注意考虑问题的全面性，防止漏掉部分情况． 14．18564 【解析】
由已知得到展开式的通项为：318183632(9)3
1818r r r r
r r C x C x ---=，
令r=12,得到常数项为0
1231856418
C
=；
故答案为：18564.
点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略
(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r ＋1项，再由特定项的特点求出r 值即可.
(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r ＋1项，由特定项得出r 值，最后求出其参数. 15．2- 【解析】 【分析】
由2
()(,)f x x ax b a b =++∈R 的值域为3[4，)+∞，可得2
43
44
b a -=，由单调递减区间为[m ，1]-，结合
函数的单调性与导数的关系可求． 【详解】
由2()(,)f x x ax b a b =++∈R 的值域为3[4
，)+∞，
可得24344
b a -=，
243b a ∴-=，
2
2
3()()4
x
x
a y e f x e x ax +==++，
22
43
[(2)]4
x
a a y e x a x ++∴'=+++，
由单调递减区间为[m ，1]-，可知1x =-及x m =是22
43
[(2)]04
x
a a e x a x +++++=的根，
且1m <-， 把1x =-代入可得，23
14
a +=，解可得，1a =或1a =-，
当1a =时，可得2m =-，
当1a =-时，代入可得0m =不符合题意， 故2m =-， 故答案为：2-． 【点睛】
本题考查二次函数的性质及函数的导数与单调性的关系的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力． 16．1ln2- 【解析】
试题分析：对函数ln 2y x =+求导得1y x '=
，对ln(1)y x =+求导得11
y x '=+，设直线y kx b =+与曲线ln 2y x =+相切于点111(,)P x y ，与曲线ln(1)y x =+相切于点222(,)P
x y ，则1122ln 2,ln(1)y x y x =+=+，由点111(,)P x y 在切线上得
()111
1
ln 2()y x x x x -+=-，由点222(,)P x y 在切线上得2221
ln(1)()1
y x x x x -+=
-+，这两条直线表示同一条直线，所以，
解得111
11
,2,ln 211ln 22x k b x x =
∴===+-=-.
【考点】导数的几何意义
【名师点睛】函数f （x ）在点x 0处的导数f ′（x 0）的几何意义是曲线y ＝f （x ）在点P （x 0，y 0）处的切线的斜率．相应地，切线方程为y−y 0＝f ′（x 0）（x−x 0）．
注意：求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过点P 的切线的不同．
三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17．
(A) (1)12x y αα
⎧=+⎪⎨=⎪⎩(α为参数)，
2 (B) (1)12
x ≤；(2)53a -≤≤. 【解析】
试题分析：
A
(1)结合题意可得2C
的极坐标方程是12x y αα
⎧=+⎪⎨=⎪⎩(α为参数)，
(2)
联立极坐标方程与参数方程，结合极径的定义可得2AB =
B
(1)由题意零点分段可得不等式()1f x ≤的解集是12
x ≤； (2)由恒成立的条件得到关于实数a 的不等式组，求解不等式可得实数a 的取值范围是53a -≤≤. 试题解析：
(A)解：(1)设(),M x y ，则由条件知()2,2P x y ，由于P 点在曲线1C 上，
所以2224x y αα⎧=+⎪⎨=+⎪⎩
，即12x y αα
⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，
从而2C
的参数方程为12x y αα
⎧=+⎪⎨=+⎪⎩(α为参数)，
化为普通方程()()22
125x y -+-=即22240x y x y +--=， 将cos x ρθ=，sin y ρθ=所以曲线2C 后得到
极坐标方程为22cos 4sin 0ρρθρθ--=.
(2)曲线1C 的极坐标方程为24cos 8sin 0ρρθρθ--=， 当6π
θ=时，代入曲线1C 的极坐标方程，得24cos 8sin 066π
π
ρρρ--=，
即240ρρ--=，解得0ρ=
或4ρ=， 所以射线6π
θ=与1C 的交点A
的极径为14ρ=，
曲线2C 的极坐标方程为22cos 4sin 0ρρθρθ--=. 同理可得射线6πθ=
与2C 的交点B
的极径为12ρ=.
所以212AB ρρ=-=.
(B)解：(1)当1a =时，()()()()21,11211,21.x f x x x x x x ⎧-≤-⎪=+--=-≤≤⎨⎪≥⎩
由()1f x ≤解得12
x ≤. (2)因为()()111x x a x x a a +--≤+--=+
且44m m +
≥=. 所以只需14a +≤，解得53a -≤≤. 18．（1）5066πππ⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
，，；（2
）3⎡-+⎣． 【解析】
试题分析：（1）将极坐标方程和参数方程转化为普通方程，再利用直线与圆的位置关系进行求解；（2）利用三角换元法及三角恒等变换进行求解．
试题解析：（I ）将曲线C 的极坐标方程26cos 50ρρθ-+=化为直角坐标方程为22650x y x +-+=直线l 的参数方程为()1cos {sin x t t y t θθ=-+=为参数将1cos {sin x t y t θθ
=-+=代入22650x y x +-+=整理得28cos 120
t t θ-+=直线l 与曲线C 有公共点，264cos 480θ∴∆=-
≥cos cos [0,)θθθπθ∴≥≤∴的取值范围是5066πππ⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，， （II ）曲线C 的方程22650x y x +-+=可化为()2
234x y -+=其参数方程为()()32cos {M ,2sin x x y y θθθ=+=为参数为曲线上任意一点，
32cos 2sin 32sin 4x y x y πθθθ⎛⎫∴+=++=++∴+ ⎪⎝
⎭
的取值范围是3⎡-+⎣． 考点：1．极坐标方程、参数方程与普通方程的互化．
19．（1）见解析；（2） 有97.5%的把握认为选代数题还是几何题与性别有关
【解析】
【分析】
（1）女生中选几何题的有22085
⨯
=人，由此补全列联表即可（2）计算2k 的值，对照临界值表下结论即可
【详解】 （1）由已知女生共20人，所以女生中选几何题的有22085
⨯
=（人）， 故表格补全如下：
（2）由列联表知
22
50(221288)50 5.556 5.024*********k ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯ 故有97.5%的把握认为选代数题还是几何题与性别有关
【点睛】
本题考查独立性检验，考查能力，是基础题
20．（1）(x －2)2＋y 2＝4；（2）2＋【解析】
【分析】
（1）圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程，直线l 的参数方程代入圆C 的的直角坐标方程，利用直线参数方程的几何意义，即可求解；
（2）要求△ABP 的面积的最大值，只需求出点P 到直线l 距离的最大值，将点P 坐标设为圆方程的参数形式，利用点到直线的距离公式以及三角函数的有界性，即可求解.
【详解】
(1)由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ，所以x 2＋y 2－4x ＝0，
所以圆C 的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4.
设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2.
将直线l 的参数方程代入圆C ：
(x －2)2＋y 2＝4，并整理得t 2＋＝0，
解得t 1＝0，t 2＝－
所以直线l 被圆C 截得的弦AB 的长为|t 1－t 2|＝.
(2)由题意得，直线l 的普通方程为x －y －4＝0.
圆C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩
(θ为参数)， 可设圆C 上的动点P(2＋2cos θ，2sin θ)，
则点P 到直线l 的距离
d |2cos()
4πθ=+，
当cos()4π
θ+＝－1时，d 取得最大值，且d 的最大值为2.
所以S △ABP ＝
12×)＝2＋
即△ABP 的面积的最大值为2＋【点睛】
本题考查极坐标方程与直角坐标方程互化，考查直线参数方程几何意义的应用，以及利用圆的参数方程求最值，属于中档题.
21．（1）见解析
（2 【解析】
【分析】
（1）先证BC ⊥平面CMD,得BC CM ⊥,再证CM MD ⊥，进而完成证明．
（2）先建立空间直角坐标系，然后判断出M 的位置，求出平面MAB 和平面MCD 的法向量，进而求得平面MAB 与平面MCD 所成二面角的正弦值．
【详解】
解：（1）由题设知,平面CMD ⊥平面ABCD,交线为CD.因为BC ⊥CD,BC ⊂平面ABCD,所以BC ⊥平面CMD,故BC ⊥DM.
因为M 为CD 上异于C ，D 的点,且DC 为直径，所以 DM ⊥CM.
又 BC CM=C,所以DM ⊥平面BMC.
而DM ⊂平面AMD,故平面AMD ⊥平面BMC.
（2）以D 为坐标原点,DA 的方向为x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz.
当三棱锥M−ABC 体积最大时，M 为CD 的中点.
由题设得()()()()()0,0,0,2,0,0,2,2,0,0,2,0,0,1,1D A B C M ，
()()()2,1,1,0,2,0,2,0,0AM AB DA =-==
设(),,n x y z =是平面MAB 的法向量,则
0,0.n AM n AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩
即20,20.x y z y -++=⎧⎨=⎩ 可取()1,0,2n =. DA 是平面MCD 的法向量,因此 5cos ,n DA
n DA n DA
⋅==， 25sin ,5n DA =， 所以面MAB 与面MCD 25. 【点睛】
本题主要考查面面垂直的证明，利用线线垂直得到线面垂直，再得到面面垂直，第二问主要考查建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角，考查数形结合，将几何问题转化为代数问题进行求解，考查学生的计算能力和空间想象能力，属于中档题．
22．（I ）单调增区间(1,)a -+∞，单调递减区间(,1)a -∞-（Ⅱ）详见解析.
【解析】
【分析】
（I ）()[(1)]x
f x x a e '=--， 对a 分类讨论即可得出单调性． （Ⅱ）函数()f x 在(0,)+∞有零点，可得方程f （x ）=0有解，可得方程f （x ）=0有解，可得
1111
x x x xe x a x e e ++==+--有解，令1()1x x g x x e +=+-，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出a 的取值范围．
【详解】
（I
）()[(1)]x f x x a e '=--,
∴ 1x a >-时， ()0f x '> ，
函数()f x 在(1,)a -+∞上单调递增，
当1x a <-时,()0f x '<，函数()f x 在(,1)a -∞-上单调递减.
（Ⅱ）函数()f x 在0+∞（，）
有零点，可得方程()0f x =有解. ∴ ()1111111
x x x x x x e x xe x a x e e e -++++===+---,有解. 令1()1x x g x x e +=+-，()()()
2221(1)()111x x x x x x e e x
e x e g x e e '----+=+=-- 设函数()2,()10x x
h x e x h x e '=--=->，
所以函数()h x 在()0,+∞上单增，又2(1)30,(2)40h e h e =-<=->， ∴ 存在0x (1,2)∈
当()00,x x ∈时，()0g x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>
所以函数()g x 存在唯一最小值0x ，满足002x
e x =+， ∴ ()0
000111(2,3)x x g x x x e -+=+=+∈ 1()1
x x a g x x e +==+-有解 ()02a g x ∴>，
2a ∴>.
【点睛】
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化问题、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。