简单的逻辑联结词全称量词与存在量词 提高练习

简单的逻辑联结词 全称量词与存在量词 提高练习
一、选择题
1．已知命题p ：∃x 0∈R ，x 20－x 0＋1≥0；命题q ：若a <b ，则1a >1b
，则下列为真命题的是 ( ) A ．p ∧q B ．p ∧(¬q ) C ．(¬p )∧q D ．(¬p )∧(¬q )
解析：因为x 2－x ＋1＝x 2－x ＋14＋34＝(x －12)2＋34≥34，所以命题p 为真；∵－2<2，－12＜12
， ∴命题q 为假，所以p ∧(¬q )为真，选B.
答案：B
2．命题“∀x ∈[0，＋∞)，x 3＋x ≥0”的否定是 ( )
A ．∀x ∈(－∞，0)，x 3＋x <0
B ．∀x ∈(－∞，0)，x 3＋x ≥0
C ．∃x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0<0
D ．∃x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0≥0
解析：根据全称命题与特称命题的关系可知，命题“∀x ∈[0，＋∞)，x 3＋x ≥0”的否定为“∃x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0
<0”，故选C. 答案：C
3．已知命题p ：∀x >0，ln(x ＋1)>0；命题q ：若a ＞b ，则a 2>b 2，下列命题为真命题的是 ( )
A ．p ∧q
B ．p ∧(¬q )
C ．(¬p )∧q
D ．(¬p )∧(¬q )
解析：由x >0时x ＋1>1，ln(x ＋1)>0成立，知p 是真命题，
由2>1，22>12；－1>－2，(－1)2<(－2)2，可知q 是假命题，即p ，¬q 均是真命题，故选B. 答案：B
4．已知命题：p ：“∀x ∈[1，2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”，若命题“¬p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围是 ( )
A ．a ≤－1或a ＝1
B ．a ≤－1或1≤a ≥2
C ．a ≥1
D ．a >1
解析：∀x ∈[1，2]，x 2－a ≥0，即∀x ∈[1，2]，a ≤x 2，
∵y ＝x 2在[1，2]上的最小值为1，
∴a ≤1，即命题p ：a ≤1；
∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0，
∴方程x 2＋2ax ＋2－a ＝0有解，
∴Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，解得a ≤－2或a ≥1，即命题q ：a ≤－2或a ≥1.
命题“¬p 且q ”是真命题，所以p 假q 真，
即⎩
⎪⎨⎪⎧a >1，a ≤－2或a ≥1，∴a >1，故选D. 答案：D
5．已知命题p ：“∃x 0∈R ，1x 0－1<0”的否定是“∀x ∈R ，1x －1
≥0”；命题q ：“x >2 019”的一个必要不充分条件是“x >2 018”，则下列命题为真命题的是 ( )
A ．¬q
B ．p ∧q
C ．(¬p )∧q
D ．p ∨(¬q )
解析：命题p ：“∃x 0∈R ，1x 0－1<0”的否定是“∀x ∈R ，1x －1
≥0或x ＝1”，故命题p 为假命题； 命题q ：“x >2 019”的一个必要不充分条件是“x >2 018”，故命题q 为真命题，∴只有C 选项正确． 答案：C
6．已知直线a ，b 及平面α，β，a ⊂α，b ⊂β.命题p ：若α⊥β，则a ，b 一定不平行；命题q ：α∥β是a ，b 没有公共点的充分不必要条件，则下列命题是真命题的是 ( )
A ．p ∧q
B ．p ∧(¬q )
C ．(¬p )∧q
D ．(¬p )∧(¬q )
解析：α⊥β，则a ，b 可能都平行于交线，即a ，b 可能平行，p 是假命题；若α∥β，则a ，b 一定没有公共点，若a ，b 没有公共点，则α，β可能平行，也可能相交，α∥β是a ，b 没有公共点的充分不必要条件，q 是真命题，∴(¬p )∧q 是真命题，故选C.
答案：C
7．已知命题p ：∃x 0∈R ，log 3x 0≥0，则 ( )
A ．¬p ：∃x 0∈R ，log 3x 0<0
B ．¬p ：∀x ∈R ，log 3x <0
C ．¬p ：∃x 0∈R ，log 3x 0≤0
D ．¬p ：∀x ∈R ，log 3x ≤0
解析：由含有一个量词的命题的否定可知，特称命题的否定是全称命题，故应选B.
答案：B
8．若命题p ：∀a ∈R ，方程ax ＋1＝0有解；命题q ：∃m <0使直线x ＋my ＝0与直线2x ＋y ＋1＝0平行，则下列命题为真命题的是 ( )
A ．p ∧q
B ．p ∨q
C ．(¬p )∨q
D ．(¬p )∧q
解析：命题p ：当a ＝0时，方程ax ＋1＝0无解，
所以命题p 为假命题；
命题q ：若直线x ＋my ＝0与直线2x ＋y ＋1＝0平行，
则m ＝12
，所以命题q 为假命题． A ．p ∧q 假；B.p ∨q 假；C.(¬p )∨q 真；D.(¬p )∧q 假．故选C.
答案：C
9．设命题p ：函数f (x )＝lg ⎝
⎛⎭⎫ax 2－x ＋14a 的定义域为R ；命题q ：不等式3x －9x <a 对一切正实数均成立．如果命题“p 或q ”为真命题，且“p 且q ”为假命题，则实数a 的取值范围是 ( )
A ．(1，＋∞)
B ．[0，1]
C ．[0，＋∞)
D ．(0，1]
解析：命题p 为真时，ax 2－x ＋14
a >0恒成立， ∴⎩
⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0，∴a >1， 命题q 为真时，9x －3x ＋a >0对一切正实数均成立，设t ＝3x ，∴t 2－t ＋a >0对于t >1恒成立，∴a ≥0. 命题“p 或q ”为真命题，且“p 且q ”为假命题，所以p ，q 一真一假，故a ∈[0，1]．
答案：B
10．命题p ：若a <b ，则∀c ∈R ，ac 2<bc 2；命题q ：∃x 0>0，使得ln x 0＝1－x 0，则下列命题中为真命题的是
( )
A ．p ∧q
B ．p ∨(¬q )
C ．(¬p )∧q
D ．(¬p )∧(¬q )
解析：对于命题p ，当c ＝0时不成立，
故命题p 为假命题；
对于命题q ，当x 0＝1时成立，故命题q 为真命题．
故(¬p )∧q 为真命题．选C.
答案：C
11．由命题“存在x 0∈R ，使e|x 0－1|－m ≤0”是假命题，得m 的取值范围是(－∞，a )，则实数a 的值是 ( )
A ．2 B.32 C ．1 D.12
解析：由题意知命题“存在x 0∈R ，使e |x 0－1|－m ≤0”是假命题，
∴对于任意的x ∈R ，e |x －
1|－m >0都成立，
即m <e |x －
1|恒成立．
又∵|x －1|≥0，∴e |x －1|≥1，
∴m <1.∴a ＝1.
故选C.
答案：C
12．下列说法正确的是( )
A ．命题“若x 3－3x ＋2＝0，则x ＝1”的否命题是“若x 3－3x ＋2＝0，则x ≠1”
B ．若a ∈R ，则“1a
<1”是“a >1”的必要不充分条件 C ．函数y ＝x 2＋9＋1x 2＋9
(x ∈R )的最小值为2 D ．命题“∃n 0∈N ，n 20>2n 0”的否定是“∀n ∈N ，n 2<2n ” 解析：选项A 中，原命题的否命题为“若x 3－3x ＋2≠0，则x ≠1”，故A 不正确．
选项B 中，由1a <1可得a <0或a >1，得“1a
<1”是“a >1”的必要不充分条件，故B 正确． 选项C 中，应用基本不等式时，等号成立的条件为x 2＋9＝1x 2＋9
，此等式显然不成立，所以函数的最小值为2不正确，即C 不正确．
选项D 中，原命题的否定为“∀n ∈N ，n 2≤2n ”，故D 不正确．
答案：B
二、填空题
13．命题“∃x 0>0，x 20＋mx 0
－2>0”的否定是________． 解析：命题“∃x 0>0，x 20＋mx 0－2>0”的否定是：
∀x >0，x 2＋mx －2≤0.
答案：∀x >0，x 2＋mx －2≤0
14．已知命题：“∃x 0∈[1，2]，使x 20＋2x 0＋a ≥0”为真命题，则a 的取值范围是________．
解析：依题意，函数f (x )＝x 2＋2x ＋a 开口向上，且对称轴为x ＝－1，在x ∈[1，2]上单调递增，故f (2)＝8＋a ≥0，即a ≥－8.
答案：{a |a ≥－8}
15．已知命题“∃x 0∈R ，使2x 20＋(a －1)x 0＋12
≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是________． 解析：由题意得Δ＝(a －1)2－4×2×12
<0 ⇒－1<a <3.
答案：(－1，3)
16．下列命题中，假命题的序号有________．
①“a ＝－1”是“函数f (x )＝x 2＋|x ＋a ＋1|(x ∈R )为偶函数”的充要条件；
②“直线l 垂直平面α内无数条直线”是“直线l 垂直平面α”的充分条件；
③若xy ＝0，则|x |＋|y |＝0；
④若p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2≤0，则¬p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0.
解析：①若“函数f (x )＝x 2＋|x ＋a ＋1|(x ∈R )为偶函数”，则f (－x )＝f (x )，
即x 2＋|x ＋a ＋1|＝x 2＋|－x ＋a ＋1|，
即|x ＋a ＋1|＝|x －(a ＋1)|，
平方得x 2＋2(a ＋1)x ＋(a ＋1)2
＝x 2－2(a ＋1)x ＋(a ＋1)2，
即2(a ＋1)x ＝－2(a ＋1)x ，则4(a ＋1)＝0，即a ＝－1，
则“a ＝－1”是“函数f (x )＝x 2＋|x ＋a ＋1|(x ∈R )为偶函数”的充要条件，正确；
②若“直线l 垂直平面α内无数条直线”，则“直线l 垂直平面α”不一定成立，故②错误； ③当x ＝0，y ＝1时，满足xy ＝0，但|x |＋|y |＝0不成立，故③错误；
④若p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2≤0，
则¬p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0正确．
答案：②③
三、解答题
17．已知p ：∀x ∈R ，mx 2＋1>0，q ：∃x 0∈R ，x 20＋mx 0
＋1≤0. (1)写出命题p 的否定¬p ，命题q 的否定¬q ；
(2)若(¬p )∨(¬q )为真命题，求实数m 的取值范围．
解：(1)¬p ：∃x 0∈R ，mx 20
＋1≤0； ¬q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0.
(2)由题意知，¬p 真或¬q 真，
当¬p 真时，m <0，当¬q 真时，Δ＝m 2－4<0，
解得－2<m <2，
因此，当¬p ∨¬q 为真命题时，p 、q 有真则真．
当¬p 真¬q 假时，⎩
⎪⎨⎪⎧m ＜0，m ＜－2或m ＞2，解得m ＜－2. 当¬p 真¬q 真时，⎩
⎪⎨⎪⎧m ＜0，－2＜m ＜2，解得－2＜m ＜0， 当¬p 假¬q 真时，⎩
⎪⎨⎪⎧m ＞0，－2＜m ＜2，解得0＜m ＜2. 综上所述，m 的取值范围是m ＜2.
18．已知命题p ：∀x ∈[1，2]，x 2－a ≥0，命题q ：∃x 0∈R ，使得x 20＋(a －1)x 0＋1<0，若p ∨q 若为真，p ∧q 为假，求实数a 的取值范围．
解：∵∀x ∈[1，2]，x 2－a ≥0，
∴a ≤x 2在[1，2]上恒成立，
又当x ∈[1，2]时，x 2≥1，
∴a ≤1.
故命题p 为真时，a ≤1.
∵∃x 0∈R ，使得x 20＋(a －1)x 0＋1＜0，
∴△＝(a －1)2－4＞0，
解得a ＜－1或a ＞3，
故命题q 为真时，a ＜－1或a ＞3.
由p ∨q 为真，p ∧q 为假，知p 、q 一真一假，
当p 真q 假时，⎩
⎪⎨⎪⎧a ≤1，－1≤a ≤3，解得－1≤a ≤1； 当p 假q 真时，⎩
⎪⎨⎪⎧a ＞1，a ＜－1或a ＞3，解得a ＞3. 综上可知，a 的取值范围是－1≤a ≤1或a ＞3.
19．设命题p ：∀x ∈R ，x 2－4x ＋a 2>0；命题q ：关于x 的一元二次方程x 2＋(a ＋1)x ＋a －1＝0的一根大于零，另一根小于零；命题r ：关于a 的不等式a 2－2a ＋1－m 2≥0(m >0)的解集．
(1)若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数a 的取值范围；
(2)若¬r 是¬p 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．
解：对于命题p ：Δ＝16－4a 2<0，
解得a >2或a <－2，
对于命题q ：只需a －1<0，解得a <1，
对于命题r ：关于a 的不等式的解集为
(－∞，1－m ]∪[1＋m ，＋∞)．
(1)若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，
则p ，q 一真一假，
当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧a >2或a <－2，a ≥1，
解得a >2； 当p 假q 真时，⎩
⎪⎨⎪⎧－2≤a ≤2，a <1，解得－2≤a <1. 综上可知，实数a 的取值范围是{a |－2≤a <1或a >2}．
(2)若¬r 是¬p 的必要不充分条件，
则¬p ⇒¬r ，所以r ⇒p ，
所以{a |a ≤1－m 或a ≥1＋m }{a |a <－2或a >2}，
所以⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m >2，
解得m >3. 综上，实数m 的取值范围是(3，＋∞)。