抛物线(教师版)

抛物线
1．抛物线定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离
的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的．2．抛物线的标准方程与几何性质
1．若点P 到直线x ＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P 的轨迹为( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线
解析：依题意知，点P 到直线x ＝－2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P 的轨迹是抛物线．
2．抛物线y 2＝－8x 的焦点坐标是( ) A ．(2,0) B ．(－2,0) C ．(4,0) D ．(－4,0) 解析：由p ＝4，∴p
2＝2，∴F (－2,0)．
3．直线l 过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，且与抛物线交于A 、B 两点，若线段AB 的长是8，AB 的中点到y 轴的距离是2，则此抛物线的方程是( ) A ．y 2＝12x B ．y 2＝8x C ．y 2＝6x D ．y 2＝4x
解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义可得x 1＋x 2＋p ＝8，又AB 中点到y 轴的距离为2，∴x 1＋x 2＝4，∴p ＝4.
4．连结抛物线x 2＝4y 的焦点F 与点M (1,0)所得的线段与抛物线交于点A ，设点O 为坐标原点，则△OAM 的面积为__________．
解析：线段FM 所在直线方程x ＋y ＝1与抛物线交于A (x 0，y 0)，则⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋y ＝1
x 2
＝4y ⇒y 0＝3
－22或y 0＝3＋22(舍去)．∴S △OAM ＝12×1×(3－22)＝3
2
－ 2.
5．(2012·洛阳模拟)过点M (1,0)作直线与抛物线y 2＝4x 交于A 、B 两点，则1|AM |＋1
|BM |＝__________.
解析：设直线方程为y ＝k (x －1)，代入y 2＝4x ，得 k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 2＋4
k 2，x 1x 2＝1， ∴1|AM |＋1|BM |＝1x 1＋1＋1
x 2＋1＝x 1＋x 2＋2x 1x 2＋x 1＋x 2＋1
＝1.
热点之一 抛物线的定义及应用
[例1] 定长为3的线段AB 的两个端点在抛物线y 2＝x 上移动，AB 的中点为M ，则当点M 的坐标为__________时，到y 轴的距离最短，最短距离为__________．
[解析] 由条件，得抛物线的焦点坐标为F (14，0)，准线方程为x ＝－1
4，从点A (y 21，y 1)，B (y 22，y 2)，M 引准线的垂线，其垂足分别为A 1，B 1，M 1，则MM 1＝12(AA 1＋BB 1)＝12(AF ＋BF )≥12AB ＝32，
∴当MM 1＝32，即AB 过F 点时，M 到y 轴的距离最短，此时点M 的横坐标为5
4，
从而得方程组⎩⎪⎨⎪
⎧
y 21－y 22
2
＋y 1－y 22
＝3，
y 21＋y 222
＝54，
∴y 1y 2＝－14，(y 1＋y 2)2＝2.于是点M 的纵坐标为±22，从而所求的M 的坐标为(54，22)或(5
4，－22)，最短距离为32.
变式 (2012·安徽八校联考)已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 到准线的距离为d ，且点P 在y 轴上的射影是M ，点A (7
2，4)，则|PA |＋|PM |的最
小值是 ( ) A.72
B ．4 C.9
2
D ．5
[解析] 如图，设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，则F (1
2，0)，又点A (7
2，4)在抛物线的外侧，抛物线的准线方程为x
＝－12，则|PM |＝d －12.
又|PA |＋d ＝|PA |＋|PF |≥|AF |＝5(当且仅当A 、P 、F 三点共线时取等号)． 所以|PA |＋|PM |≥9
2，故选C.
热点之二 抛物线的标准方程及几何性质 [例2] 根据下列条件求抛物线的标准方程
(1)抛物线的焦点是双曲线16x 2－9y 2＝144的左顶点；
(2)抛物线焦点在x 轴上，直线y ＝－3与抛物线交于点A ，|AF |＝5. [解] (1)双曲线方程化为x 29－y 2
16＝1，左顶点为(－3,0)， 由题意设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)且－p
2＝－3， ∴p ＝6，∴方程为y 2＝－12x .
(2)设所求焦点在x 轴上的抛物线方程为 y 2＝±2px (p >0)，A (m ，－3)， 由抛物线定义得5＝|AF |＝|m |＋p
2，
又(－3)2＝±2pm ，∴p ＝1或p ＝9，
故所求抛物线方程为y 2＝±2x 或y 2＝±18x .
[点评] 抛物线的标准方程有四种，在求解过程中，首先要根据题目描述的几何性质判断方程形式，若只能判断对称轴，而不能判断开口方向，可设为x 2＝ay (a ≠0)或y 2＝ax (a ≠0)，然后利用待定系数法和已知条件求解． 变式
求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)过点(3，－4)；
(2)焦点在直线x ＋3y ＋15＝0上．
[解] (1)∵点(3，－4)在第四象限，∴抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)或x 2＝－2p 1y (p 1>0)．把点(3，－4)的坐标分别代入y 2＝2px 和x 2＝－2p 1y ， 得(－4)2＝2p ·3和32＝－2p 1·(－4)， 即2p ＝163，2p 1＝94.
∴所求抛物线的标准方程为y 2＝163x ，或x 2＝－9
4y . (2)令x ＝0得y ＝－5；令y ＝0得x ＝－15. ∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0)．
∴所求抛物线的标准方程为y 2＝－60x 或x 2＝－20y . 热点之三 直线与抛物线的位置关系
[例3] 已知A (8,0)，B 、C 两点分别在y 轴上和x 轴上运动，并且满足AB →·BP →
＝0，BC →
＝CP →
. (1)求动点P 的轨迹方程；
(2)若过点A 的直线l 与动点P 的轨迹交于M 、N 两点，QM →·QN →＝49，其中Q (－1,0)，求直线l 的方程．
[思路点拨] (1)设出B 、C 、P 三点的坐标，利用条件AB →·BP →＝0和BC →＝CP →
建立方程组，即可求P 点的轨迹方程．
(2)分直线l 的斜率存在和不存在两种情况． [解] (1)设B (0，b )，C (c,0)，P (x ，y )，则 AB →＝(－8，b )，BP →＝(x ，y －b )． BC →＝(c ，－b )，CP →＝(x －c ，y )． ∴AB →·BP →
＝－8x ＋b (y －b )＝0， ①
由BC →＝CP →
得⎩
⎪⎨⎪⎧
c ＝x －c ，－b ＝y .
将b ＝－y 代入①得y 2＝－4x .
∴动点P 的轨迹方程为y 2＝－4x .
(2)当直线l 的斜率不存在时，x ＝8与抛物线没有交点，不合题意． 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的斜率为k ， 则l 的方程：y ＝k (x －8)． 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则QM →＝(x 1＋1，y 1)，QN →＝(x 2＋1，y 2)． 由QM →·QN →
＝49得(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝49， 即x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＋k 2(x 1－8)(x 2－8)＝49，
∴(1＋k 2)x 1x 2＋(1－8k 2)(x 1＋x 2)＋1＋64k 2＝49， ②
将y ＝k (x －8)代入y 2＝－4x 得k 2x 2＋(4－16k 2)x ＋64k 2＝0， ∴x 1＋x 2＝16k 2－4
k 2，x 1x 2＝64.
代入②式得：64(1＋k 2
)＋(1－8k 2
)16k 2－4
k 2＋1＋64k 2＝49.
整理得k 2＝116，∴k ＝±1
4. ∴l 的方程为y ＝±1
4(x －8)，
即x －4y －8＝0或x ＋4y －8＝0. 变式
如图所示，已知点A (2,8)，B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)均在抛物线y 2＝2px (p >0)上，△ABC 的重心与此抛物线的焦点F 重合．
(1)写出该抛物线的方程及焦点F 的坐标； (2)求线段BC 的中点M 的坐标； (3)求BC 所在直线的方程．
[解] (1)由点A (2,8)在抛物线y 2＝2px 上， 有82＝2p ·2，解得p ＝16.
∴抛物线方程为y 2＝32x ，焦点F 的坐标为(8,0)． (2)由于F (8,0)是△ABC 的重心，M 是BC 的中点， ∴AF
FM ＝2，∴AF →＝2FM →
.
设点M 的坐标为(x 0，y 0)，
则(6，－8)＝2(x 0－8，y 0)，解得：x 0＝11，y 0＝－4. 故点M 的坐标为(11，－4)．
(3)由于线段BC 的中点不在x 轴上，
∴BC 所在的直线不垂直于x 轴，故设BC 所在直线的方程为y ＋4＝k (x －11)(k ≠0)．
由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＋4＝k x －，
y 2
＝32x ，
得ky 2－32y －32(11k ＋4)＝0.
∴由根与系数的关系，得y 1＋y 2＝32k ， 由(2)，得y 1＋y 22＝－4，即16
k ＝－4.
∴k ＝－4，故BC 所在的直线方程为：4x ＋y －40＝0. [考题] (2011·浙江卷)已知抛物线C 1：x 2＝y ，圆C 2：x 2＋(y －4)2＝1的圆心为点M .
(1)求点M 到抛物线C 1的准线的距离；
(2)已知点P 是抛物线C 1上一点(异于原点)，过点P 作圆C 2的两条切线，交抛物线C 1于A ，B 两点，若过M ，P 两点的直线l 垂直于AB ，求直线l 的方程．
[解] (1)由题意可知，抛物线的准线方程为：y ＝－14，所以圆心M (0,4)到准线的距离是17
4.
(2)设P (x 0，x 20)，A (x 1，x 21)，B (x 2，x 2
2)，由题意得x 0≠0，x 0≠±1，x 1≠x 2. 设过点P 的圆C 2的切线方程为y －x 20＝k (x －x 0)，
即y ＝kx －kx 0＋x 20. ①
则|kx 0＋4－x 20|
1＋k 2
＝1，
即(x 20－1)k 2＋2x 0(4－x 20)k ＋(x 20－4)2
－1＝0.
设PA ，PB 的斜率为k 1，k 2(k 1≠k 2)，则k 1，k 2是上述方程的两根，
所以k 1＋k 2＝
2x 0
x 20－x 20－1
，k 1k 2＝
x 20－
2
－1x 20－1
.
将①代入y ＝x 2，得x 2－kx ＋kx 0－x 20＝0，
由于x 0是此方程的根，故x 1＝k 1－x 0，x 2＝k 2－x 0，
所以k AB ＝x 21－x 2
2
x 1－x 2
＝x 1＋x 2＝k 1＋k 2－2x 0
设PA ，PB 的斜率为k 1，k 2(k 1≠k 2)，则k 1，k 2是上述方程的两根， 所以k 1＋k 2＝
2x 0
x 20－x 20－1
，k 1k 2＝
x 20－
2
－1x 20－1
.
将①代入y ＝x 2，得x 2－kx ＋kx 0－x 20＝0，
由于x 0是此方程的根，故x 1＝k 1－x 0，x 2＝k 2－x 0，
所以k AB ＝x 21－x 2
2
x 1－x 2
＝x 1＋x 2＝k 1＋k 2－2x 0
＝
2x 0x 20－x 20－1－2x 0，k MP ＝x 20－4
x 0
，
由MP ⊥AB ，
得k AB ·k MP ＝(2x 0x 20－
x 2
0－1
－2x 0)·(x 20－4
x 0
)＝－1，
解得x 2
0＝
23
5
， 即点P 的坐标为(±
235，235
)， 所以直线l 的方程为y ＝±3115
115
x ＋4.
【现场体验】 1．(2011·辽宁卷)已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( ) A.34
B ．1 C.5
4
D.74
解析：
A 到准线距离|AA ′|，
B 到准线距离|BB ′|， 且|AA ′|＋|BB ′|＝3，
AB 中点M 到y 轴距离d ＝32－14＝5
4
.
2．(2011·湖北卷)将两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n ，则( ) A ．n ＝0 B ．n ＝1 C ．n ＝2 D ．n ≥3
技法点拨
1．抛物线定义的应用
涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线之间的距离，这样就可以使问题简单化． 2．抛物线的标准方程
(1)已知抛物线的标准方程，可以确定抛物线的开口方向、焦点的位置及p 的值，进一步确定抛物线的焦点坐标和准线方程．
(2)求抛物线的标准方程常采用待定系数法．利用题中已知条件确定抛物线的焦点到准线的距离p 的值．
3．直线与抛物线的位置关系
(1)设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，直线Ax ＋By ＋C ＝0，将直线方程与抛物线方程联立，消去x 得到关于y 的方程my 2＋ny ＋q ＝0，
①若m ≠0，当Δ>0时，直线与抛物线有两个公共点； 当Δ＝0时，直线与抛物线只有一个公共点； 当Δ<0时，直线与抛物线没有公共点．
②若m ＝0，直线与抛物线只有一个公共点，此时直线与抛物线的对称轴平行．
(2)对于和抛物线有两个交点的直线问题，“点差法”是常用方法．如若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是抛物线y 2＝2px 上两点，则直线AB 的斜率k AB 与y 1＋y 2可得如下等式：由y 21＝2px 1①；y 22＝2px 2②.②－①得y 22－y 21＝2p (x 2－x 1)，∴y 2－y 1x 2－x 1＝2p y 2＋y 1，∴k AB
＝2p y 2＋y 1. 抛物线焦点弦性质。