高考数学总复习 2.3函数的单调性与最值课时演练 人教

【优化指导】2013高考数学总复习 2.3函数的单调性与最值课
时演练 人教版
1．下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的是( )
A ．f (x )＝1
x
B ．f (x )＝(x －1)2
C ．f (x )＝e x
D ．f (x )＝ln(x ＋1)
3．定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈(－∞，0](x 1≠x 2)，有(x 2－x 1)[f (x 2)－f (x 1)]>0，则当n ∈N *
时，有( )
A ．f (－n )<f (n －1)<f (n ＋1)
B ．f (n －1)<f (－n )<f (n ＋1)
C ．f (n ＋1)<f (－n )<f (n －1)
D ．f (n ＋1)<f (n －1)<f (－n )
解析：x 1，x 2∈(－∞，0](x 1≠x 2)⇒(x 2－x 1)[f (x 2)－f (x 1)]>0⇔x 2>x 1时，f (x 2)>f (x 1)或x 2<x 1时，f (x 2)<f (x 1)⇔f (x )在(－∞，0]上为增函数，f (x )为偶函数⇒f (x )在[0，＋∞)为减函数，而n ＋1>n >n －1≥0，∴f (n ＋1)<f (n )<f (n －1)⇒f (n ＋1)<f (－n )<f (n －1)．
答案：C
4．设函数f (x )定义在实数集上，它的图象关于直线x ＝1对称，且当x ≥1时，f (x )＝3x
－1，则有( )
A ．f (13)<f (32)<f (23)
B ．f (23)<f (32)<f (1
3)
C ．f (23)<f (13)<f (32
)
D ．f (32)<f (23)<f (13
)
解析：由题设知，x ≤1时单调递减，x ≥1时单调递增而x ＝1为对称轴，∴f (3
2
)＝f (1
＋12)＝f (1－12)＝f (1
2
)， ∴f (13)>f (32)>f (23)．
答案：B 5．若f (x )＝
ax ＋1
x ＋2
在区间(－2，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是( ) A ．(－2，＋∞) B ．(1
2，＋∞)
C ．(－∞，－2)
D ．(－∞，1
2
)
6．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (4－x )，当x ≥2时，f (x )单调递增，如果
x 1＋x 2>4，且(x 1－2)(x 2－2)<0，则f (x 1)＋f (x 2)的值为( )
A ．恒小于0
B ．恒大于0
C ．可能为0
D ．可正可负
解析：本题考查函数性质的综合应用．可以由f (－x )＝－f (4－x )得函数图象关于点(2,0)成中心对称图形直观解答；也可直接推理，由(x 1－2)(x 2－2)<0不妨设x 1>2，
x 2<2，由条件得f (x 2)＝－f (4－x 2)，故f (x 1)＋f (x 2)＝
f (x 1)－f (4－x 2)，由x 2<2且x 1＋x 2>4⇒x 1>4－x 2>2，由于函数在[2，＋∞)上为增函数，
可得f (x 1)>f (4－x 2)，
故选B. 答案：B
7．(理用)定义在[－1,1]上的函数f (x )＝－5x ＋sin x ，如果f (1－a )＋f (1－a 2
)≥0，则实数a 的最大值为________．
解析：由题意f ′(x )＝－5＋cos x <0，则函数f (x )在[－1,1]上为减函数，∵f (－x )
＝－f (x )，
∴f (1－a 2
)≥－f (1－a )＝f (a －1)，
∴⎩⎨⎧
1－a 2
≤a －1
－1≤1－a 2
≤1，∴a ∈[1， 2 ]，∴a 的最大值为 2.
－1≤1－a ≤1
答案： 2
7．(文用)定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，当m >0时，f (x ＋m )<f (x )，则不等式f (x )＋f (x 2
)<0的解集是__________．
解析：∵f (－x )＝－f (x )，∴f (x )是奇函数． 又当m >0时，f (x ＋m )<f (x )，∴f (x )是减函数． ∴f (x )＋f (x 2
)<0可化为f (x )<f (－x 2
)． 即x >－x 2
.∴x >0或x <－1.
即解集为(－∞，－1)∪(0，＋∞)． 答案：(－∞，－1)∪(0，＋∞)
8．已知函数y ＝1－x ＋x ＋3的最大值为M ，最小值为m ，则m
M
的值为__________．
解析：由⎩⎪⎨
⎪
⎧
1－x ≥0，x ＋3≥0，
得函数的定义域是{x |－3≤x ≤1}，
y 2＝4＋21－x ·x ＋3＝4＋2
1－x
x ＋3
＝4＋2－
x ＋1
2
＋4，所以当x ＝－1时，
y 取最大值M ＝22；当x ＝－3或1时， y 取最小值m ＝2，所以m M ＝2
2
.
答案：
22
9．有下列几个命题：
①函数y ＝2x 2
＋x ＋1在(0，＋∞)上不是增函数； ②函数y ＝
1
x ＋1
在(－∞，－1)∪(－1，＋∞)上是减函数； ③函数y ＝5＋4x －x 2
的单调区间是[－2，＋∞)；
④已知f (x )在R 上是增函数，若a ＋b >0，则有f (a )＋f (b )>f (－a )＋f (－b )． 其中正确命题的序号是________．
解析：①函数y ＝2x 2
＋x ＋1的对称轴为x ＝－14
，故在(0，＋∞)上是增函数，∴①错；
②函数y ＝
1
x ＋1
的单调减区间为(－∞，－1)、(－1，＋∞)， 但单调区间不能并起来写，不符合减函数定义，∴②错；
③要研究函数y ＝5＋4x －x 2
的单调区间，首先要求函数的定义域，由被开方数5＋4x －x 2
≥0，解得－1≤x ≤5，而[－2，＋∞)不是上述区间的子区间，∴③错；
④∵f (x )在R 上是增函数，且a >－b ， ∴b >－a ，f (a )>f (－b )，f (b )>f (－a )，
f (a )＋f (b )>f (－a )＋f (－b )，因此④是正确的．
答案：④
10．已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且对任意的正实数x ，y 都有f (xy )＝f (x )＋f (y )，且当x >1时，f (x )>0，f (4)＝1.
(1)求证：f (1)＝0； (2)求f (1
16
)；
(3)解不等式f (x )＋f (x －3)≤1. 解：(1)证明：令x ＝4，y ＝1，
则f (4)＝f (4×1)＝f (4)＋f (1)，∴f (1)＝0. (2)f (16)＝f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，
f (1)＝f (116×16)＝f (116
)＋f (16)＝0，
故f (1
16
)＝－2.
(3)设x 1，x 2>0且x 1>x 2，于是f (x 1x 2
)>0， ∴f (x 1)＝f (x 1x 2×x 2)＝f (x 1x 2
)＋f (x 2)>f (x 2)． ∴f (x )为x ∈(0，＋∞)上的增函数． 又∵f (x )＋f (x －3)＝f [x (x －3)]≤1＝f (4)，
∴⎩⎪⎨⎪
⎧
x >0，x －3>0，x x －3≤4，
⇒3<x ≤4.
∴原不等式的解集为{x |3<x ≤4}． 11．(理用)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
3＋x 1＋x 2，0≤x ≤3，
f 3，x >3.
(1)求函数f (x )的单调区间；
(2)若关于x 的方程f (x )－a ＝0恰有一个实数解，求实数a 的取值范围． 解：(1)当x >3时，f (x )＝f (3)＝3＋31＋32＝3
5是常数，不是单调函数．
当0≤x ≤3时，对函数f (x )＝3＋x
1＋x
2求导，
∴f ′(x )＝－x 2＋6x －1x 2＋12＝－x ＋32－10
1＋x
22
. 令f ′(x )>0，即(x ＋3)2
－10<0，∴0<x <10－3.
f ′(x )<0，即(x ＋3)2－10>0，10－3<x <3.
∴f (x )的单调增区间为[0，10－3)， 单调减区间为(10－3,3]， (2)由(1)知f (0)＝3.
f max ＝f (10－3)＝10＋3
2
， f (3)＝3
5
，
方程f (x )－a ＝0恰有一个实数解，
等价于直线y ＝a 与曲线y ＝f (x )恰有一个公共点 . 由图象可知a ＝10＋32或3
5
<a <3.
11．(文用)已知函数f (x )＝x |x －a |＋2x －3. (1)若a ＝4，求当x ∈[2,5]时函数f (x )的最大值； (2)若函数f (x )在R 上是增函数，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝4时，f (x )＝x |x －4|＋2x －3. 若2≤x <4，f (x )＝－x 2
＋6x －3＝－(x －3)2
＋6， ∴当x ＝3时，f (x )有最大值是f (3)＝6. 若4≤x ≤5，f (x )＝x 2
－2x －3＝(x －1)2
－4，
∴当x ＝5时，f (x )有最大值是f (5)＝12.故当x ＝5时，f (x )有最大值12.
(2)由于f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
－a －2x －3，x ≥a
－x 2
＋a ＋2x －3，x <a
，
依题意，f (x )是R 上的增函数⇒⎩⎪⎨⎪⎧
a －2
2≤a
a ＋2
2≥a
⇒－2≤a ≤2，
∴实数a的取值范围是－2≤a≤2.
12．设函数f(x)为R上的增函数，令F(x)＝f(x)－f(2－x)．
(1)证明：F(x)在R上为增函数；
(2)若F(x1)＋F(x2)＞0，求证：x1＋x2＞2；
(3)若数列{a n}的通项公式为a n＝n－10
n－11.5
，试问是否存在正整数n，使F(a n)取得最值？若存在，求出n的值；若不存在，说明理由．。