2020-2021高三数学下期中一模试卷(附答案)(9)

2020-2021高三数学下期中一模试卷(附答案)(9)
一、选择题
1．若函数y ＝f (x )满足：集合A ＝{f (n )|n ∈N *
}中至少有三个不同的数成等差数列，则称函数f (x )是“等差源函数”，则下列四个函数中，“等差源函数”的个数是( ) ①y ＝2x ＋1；②y ＝log 2x ；③y ＝2x
＋1；
④y ＝sin
4
4
x π
π
+
（）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．已知正数x 、y 满足1x y +=，且
22
11
x y m y x +≥++，则m 的最大值为（ ） A ．
163
B ．
13
C ．2
D ．4
3．已知数列{}n a 的通项公式是2
21
sin
2n n a n π+=（），则12310a a a a ++++=L A ．110
B ．100
C ．55
D ．0
4．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1112n n a S a +＝，＝， 则n S ＝( )
A ．12n -
B ．1
3
()
2
n -
C ．1
2
()
3
n - D ．
1
12n - 5．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()cos 4cos a B c b A =-，则
cos2A =（ ） A ．78
B ．
18
C ．78
-
D ．18
-
6．在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，90ABC ∠=o ，22AB BC CD ==，则
cos DAC ∠=（ ）
A B C D 7．如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则 A ．111A B C ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形
C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形
D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形
8．定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数()f x ,如果对于任意给定的等比数列{}n a ,若
(){}n
f a 仍是比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”.现有定义在()()
,00,-∞⋃+∞上的如下函数： ①()3
f x x =；
②()x
f x e =；
③()f x x =
；
④()ln f x x =
则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为（ ） A ．①②
B ．③④
C ．①③
D ．②④
9．设{}n a 是首项为1a ，公差为-1的等差数列，n S 为其前n 项和，若124,,S S S 成等比数列，则1a =（ ） A ．2
B ．-2
C ．
12
D ．12
-
10．若正数,x y 满足20x y xy +-=，则3
2x y
+的最大值为（ ） A ．
13
B ．38
C ．
37
D ．1
11．已知正项数列{}n a 中，*12(1)
()2
n n n a a a n N ++++=∈L ，则数列{}n a 的通项公式为（ ） A ．n a n =
B ．2
n a n =
C ．2
n n
a =
D ．2
2
n n a =
12．已知数列{}n a 中，3=2a ，7=1a ．若数列1{}n
a 为等差数列，则9=a ( ) A ．
12
B ．
54
C ．
45
D ．45
-
二、填空题
13．若
为等比数列
的前n 项的和，
，则=___________
14．已知x ，y 满足3010510x y x y x y +-≤⎧⎪
-+≥⎨⎪-+≤⎩
，则2z x y =+的最大值为______.
15．已知数列{}n a 满足11a =，11
1n n
a a +=-
+，*n N ∈，则2019a =__________． 16．已知在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2a b c +=，则C ∠的取值范围为________
17．点D 在ABC V 的边AC 上，且3CD AD =，2BD =
，3
sin
23
ABC ∠=
，则3AB BC +的最大值为______.
18．（理）设函数2
()1f x x =-，对任意3,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭
，
2()
4()(1)4()x
f m f x f x f m m
-≤-+恒成立，则实数m 的取值范围是______． 19．如果一个数列由有限个连续的正整数组成（数列的项数大于2），且所有项之和为
N ，那么称该数列为N 型标准数列，例如，数列2，3，4，5，6为20型标准数列，则
2668型标准数列的个数为______． 20．若直线
1(00)x y
a b a b
+=＞，＞过点（1,2）,则2a+b 的最小值为______. 三、解答题
21．已知函数()21f x x =-. （1）若不等式121(0)2f x m m ⎛⎫
+
≥+> ⎪⎝⎭
的解集为][(),22,-∞-⋃+∞，求实数m 的值； （2）若不等式()2232y y
a
f x x ≤+++对任意的实数,x y R ∈恒成立，求正实数a 的最小值.
22．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的首项为1
2
，且()3122123a a a -=+。

（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若8n b n =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，试比较
12111
n T T T ++⋅⋅⋅+与12
n S 的大小. 23．已知()f x a b =⋅v v ，其中()
2cos ,3sin 2a x x =-v
，()cos ,1b x =v ，x ∈R ．
（1）求()f x 的单调递增区间；
（2）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，()1f A =-，7a =，
且向量()3,sin m B =v 与()2,sin n C =v
共线，求边长b 和c 的值． 24．在平面四边形ABCD 中，已知34
ABC π
∠=
，AB AD ⊥，1AB =．
（1）若5AC =
ABC ∆的面积；
（2）若sin 5
CAD ∠=
，4=AD ，求CD 的长． 25．设数列{}n a 满足113,23n
n n a a a +=-=⋅．
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ；
（Ⅱ）若n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．
26．首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本
y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为21200800002
y x x =-+，且每处
理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．
（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．C 解析：C 【解析】
①y ＝2x ＋1，n ∈N *，是等差源函数；
②因为log 21，log 22，log 24构成等差数列，所以y ＝log 2x 是等差源函数；
③y ＝2x ＋1不是等差源函数，因为若是，则2(2p ＋1)＝(2m ＋1)＋(2n ＋1)，则2p ＋
1＝2m ＋
2n ，所以2p ＋1－n ＝2m －n ＋1，左边是偶数，右边是奇数，故y ＝2x ＋1不是等差源函数； ④y ＝sin 4
4x π
π⎛⎫+
⎪⎝⎭是周期函数，显然是等差源函数.
答案：C.
2．B
解析：B 【解析】 【分析】
由已知条件得()()113x y +++=，对代数式22
11
x y y x +++变形，然后利用基本不等式求出
22
11
x y y x +++的最小值，即可得出实数m 的最大值. 【详解】
正数x 、y 满足1x y +=，则()()113x y +++=，
()()()()()()22
2
2
2
2
2
2
1212111111111111
y x y x y x x y y x y x y x y x +-+-⎡⎤⎡⎤----⎣⎦⎣⎦+=
+=+=+++++++++444444
141465
111111
y x x y y x x y x y =+-+++-+=+++-=+-++++++()()14441111525311311y x x y x y x y ⎛⎫⎛⎫
++=++++-=++-⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦++++⎝⎭⎝
⎭412533
⎛≥⨯+-= ⎝， 当且仅当12
x y ==时，等号成立，即2211x y y x +++的最小值为13，则1
3m ≤. 因此，实数m 的最大值为1
3
. 故选：B. 【点睛】
本题考查利用基本不等式恒成立求参数，对代数式合理变形是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.
3．C
解析：C 【解析】 【分析】
由已知条件得a n ＝n 2
sin （2n 12+π）＝22,,n n n n ⎧-⎨⎩是奇数是偶数
，所以a 1+a 2+a 3+…+a 10＝22﹣12+42﹣32+…+102﹣92，由此能求出结果． 【详解】
∵2n 12+π =n π+2π，n ∈N *，∴a n ＝n 2sin （2n 12+π）＝2
2,,n n n n ⎧-⎨⎩
是奇数是偶数，
∴a 1+a 2+a 3+…+a 10＝22﹣12+42﹣32+…+102﹣92＝1+2+3+…+10＝()101+10=552
故选C ． 【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法、三角函数的周期性，属于中档题．
4．B
【解析】 【分析】
利用公式1n n n a S S -=-计算得到113
23,2
n n n n S S S S ++==，得到答案. 【详解】
由已知111
2n n a S a +==，，1n n n a S S -=- 得()12n n n S S S -=-，即113
23,
2
n n n n S S S S ++==， 而111S a ==，所以1
3
()2
n n S -=.
故选B. 【点睛】
本题考查了数列前N 项和公式的求法，利用公式1n n n a S S -=-是解题的关键.
5．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据题目条件结合三角形的正弦定理以及三角形内角和定理可得sin A ，进而利用二倍角余弦公式得到结果. 【详解】
∵()cos 4cos a B c b A =-． ∴sin A cos B ＝4sin C cos A ﹣sin B cos A 即sin A cos B +sin B cos A ＝4cos A sin C ∴sin C ＝4cos A sin C ∵0＜C ＜π，sin C ≠0． ∴1＝4cos A ，即cos A 14
=
， 那么2
7cos2218
A cos A =-=-． 故选C 【点睛】
本题考查了正弦定理及二倍角余弦公式的灵活运用，考查计算能力，属于基础题．
6．C
解析：C 【解析】 【分析】
设1BC CD ==，计算出ACD ∆的三条边长，然后利用余弦定理计算出cos DAC ∠．
如下图所示，不妨设1BC CD ==，则2AB =，过点D 作DE AB ⊥，垂足为点D ， 易知四边形BCDE 是正方形，则1BE CD ==，1AE AB BE ∴=-=， 在Rt ADE ∆中，222AD AE DE =
+=，同理可得225AC AB BC =+=，
在ACD ∆中，由余弦定理得2222310
cos 2252
AC AD CD DAC AC AD +-∠===
⋅⨯⨯， 故选C ．
【点睛】
本题考查余弦定理求角，在利用余弦定理求角时，首先应将三角形的边长求出来，结合余弦定理来求角，考查计算能力，属于中等题．
7．D
解析：D 【解析】 【分析】 【详解】
111A B C ∆的三个内角的余弦值均大于0，则111A B C ∆是锐角三角形，若222A B C ∆是锐角三角
形，由
，得21
2121
2
{2
2
A A
B B
C C πππ=
-=
-=
-，那么，2222
A B C π
++=，矛
盾，所以222A B C ∆是钝角三角形，故选D.
8．C
解析：C 【解析】 【分析】
设等比数列{}n a 的公比为q ，验证()
()
1n n f a f a +是否为非零常数，由此可得出正确选项. 【详解】
设等比数列{}n a 的公比为q ，则
1
n n
a q a +=. 对于①中的函数()3
f x x =，()()3
3
131
12n n n n n n f a a a q f a a a +++⎛⎫=== ⎪⎝⎭
，该函数为“保等比数列函
数”；
对于②中的函数()x
f x e =，
()()1
11n n n n a a a n a n f a e e f a e
++-+==不是非零常数，该函数不是“保等比数列函数”； 对于③中的函数(
)f x =()
(
)
1n n f a f a +==
=，该函数为“保等比数
列函数”；
对于④中的函数()ln f x x =，()()1
1ln ln n n n n
a f a f a a ++=不是常数，该函数不是“保等比数列函
数”.故选：C. 【点睛】
本题考查等比数列的定义，着重考查对题中定义的理解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
9．D
解析：D 【解析】 【分析】
把已知2
214S S S =用数列的首项1a 和公差d 表示出来后就可解得1a ．，
【详解】
因为124S S S ，，成等比数列，所以2214S S S =，即2
11111(21)(46).2
a a a a -=-=-，
故选D. 【点睛】
本题考查等差数列的前n 项和，考查等比数列的性质，解题方法是基本量法．本题属于基础题．
10．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据条件可得出2x >，212
y x =+-，从而33
222(2)52
x y x x =+-++-，再根据基本不
等式可得出3123x y ≤+，则32x y +的最大值为1
3
.
【详解】
0x Q >，0y >，20x y xy +-=， 2
122
x y x x ∴=
=+--，0x >， 333
222212(2)522
x y x x x x ∴
==
+++-++--，
22(2)5592x x -+
+≥=-Q ， 当且仅当1
22x x -=-，即3x =时取等号， 31
232(2)52
x x ∴≤
-++-，即3123
x y ≤+，
32x y ∴+的最大值为13
. 故选：A. 【点睛】
本题考查了利用基本不等式求最值的方法，注意说明等号成立的条件，考查了计算和推理能力，属于中档题.
11．B
解析：B 【解析】 【分析】
()()
1122
n n n n +-=
-
的表达式，可得出数列{}n a 的通项公式. 【详解】
(1)(1)
,(2)22
n n n n n n +-=
-=≥
1=
，所以2,(1),n n n a n =≥= ，选B.
【点睛】
给出n S 与n a 的递推关系求n a ，常用思路是：一是利用1,2n n n a S S n -=-≥转化为n a 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为n S 的递推关系，先求出n S 与n 之间的关系，再
求n a . 应用关系式11,1
{,2
n n n S n a S S n -==-≥时，一定要注意分1,2n n =≥两种情况，在求出
结果后，看看这两种情况能否整合在一起.
12．C
解析：C 【解析】 【分析】
由已知条件计算出等差数列的公差，然后再求出结果 【详解】
依题意得：732,1a a ==，因为数列1{}n
a 为等差数列，
所以73111
11273738
--===--a a d ，所以
()9711159784a a =+-⨯=，所以945
=a ，故选C ． 【点睛】
本题考查了求等差数列基本量，只需结合题意先求出公差，然后再求出结果，较为基础
二、填空题
13．-7【解析】设公比为q 则8a1q=-a1q4所以q3=-8S6S3=q6-1q3-1=q3+1=-8+1=-7
解析：-7 【解析】 设公比为，则
，所以
．
．
14．5【解析】【分析】画出不等式表示的可行域利用目标函数的几何意义当截距最小时取z 取得最大值求解即可【详解】画出不等式组表示的平面区域(如图阴影所示)化直线为当直线平移过点A 时z 取得最大值联立直线得A （
解析：5 【解析】 【分析】
画出不等式表示的可行域，利用目标函数的几何意义当截距最小时取z 取得最大值求解即可 【详解】
画出不等式组表示的平面区域(如图阴影所示)，化直线2z x y =+为122
z y x =-+ 当直线平移过点A 时，z 取得最大值，联立直线30
10x y x y +-=⎧⎨
-+=⎩
得A （1,2），故
max 145z =+=
故答案为：5
【点睛】
本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值，是基础题
15．-2【解析】【分析】根据题干中所给的表达式得到数列的周期性进而得到结果【详解】根据题干表达式得到可以得数列具有周期性周期为3故得到故得到故答案为：-2【点睛】这个题目考查了求数列中的某些项一般方法是
解析：-2 【解析】 【分析】
根据题干中所给的表达式得到数列的周期性，进而得到结果. 【详解】
根据题干表达式得到234123
1111
,2, 1.1211a a a a a a =-
=-=-=-=-=+++ 567455
1111
,2, 1.1211a a a a a a =-
=-=-=-=-=+++ 可以得数列具有周期性，周期为3，故得到20193673.÷= 故得到2019 2.a =- 故答案为：-2. 【点睛】
这个题目考查了求数列中的某些项，一般方法是求出数列通项，对于数列通项不容易求的题目，可以列出数列的一些项，得到数列的周期或者一些其它规律，进而得到数列中的项.
16．【解析】【分析】将已知条件平方后结合余弦定理及基本不等式求解出的范围得出角的范围【详解】解：在中即当且仅当是取等号由余弦定理知故答案为：【点睛】考查余弦定理与基本不等式三角函数范围问题切入点较难故属
解析：(0,]3
π
【解析】 【分析】
将已知条件平方后，结合余弦定理，及基本不等式求解出cos C 的范围.得出角C 的范围. 【详解】
解：在ABC V 中，2a b c +=Q ，
22()4a b c ∴+=，
222422a b c ab ab ∴+=-≥，
即2c ab ≥，
当且仅当a b =是，取等号， 由余弦定理知，
222223231
cos 12222
a b c c ab c C ab ab ab +--===-≥，
03
C π
∴<≤
.
故答案为：(0,]3
π
.
【点睛】
考查余弦定理与基本不等式，三角函数范围问题，切入点较难，故属于中档题.
17．【解析】【分析】根据条件可得利用余弦定理即可得到的关系再利用基本不等式即可得解【详解】设三角形的边为由由余弦定理得所以①又所以化简得②①②相除化简得故当且仅当成立所以所以的最大值为故答案为：【点睛】 解析：43
【解析】 【分析】
根据条件可得1
cos 3
ABC ∠=
， cos cos 0ADB BDC ∠+∠=，利用余弦定理即可得到AB 、AC 的关系，再利用基本不等式即可得解. 【详解】
设AD x =，3CD x =，三角形ABC 的边为a ，b ，c ，
由2
1
cos 12sin
23
ABC ABC ∠∠=-=，
由余弦定理得222161
cos 23
a c x ABC ac +-∠==，
所以2
2
2
2
163
x a c ac =+-
， ① 又cos cos 0ADB BDC ∠+∠=，
2222
=2221238x c a =+-， ②
①②相除化简得2232296ac a c ac -=+≥， 故4ac ≤，当且仅当3a c =成立，
所以()()2
2
22339632448AB BC c a c a ac ac +=+=++=+≤，
所以3AB BC +的最大值为
故答案为： 【点睛】
本题考查了余弦定理和基本不等式的应用，考查了方程思想和运算能力，属于中档题.
18．或【解析】【分析】先化简不等式再变量分离转化为对应函数最值问题最后根据二次函数最值以及解不等式得结果【详解】即即因为当时所以或故答案为：或【点睛】本题考查不等式恒成立问题以及二次函数最值考查综合分析
解析：m ≤或m ≥ 【解析】 【分析】
先化简不等式，再变量分离转化为对应函数最值问题，最后根据二次函数最值以及解不等式得结果. 【详解】
2()4()(1)4()x
f m f x f x f m m -≤-+Q
22222()14(1)(1)14(1)x
m x x m m
∴---≤--+- 即2
2
2
1(41)230m x x m +---≥ 即222123341,()2
m x m x x +-
≥+≥ 因为当3
2
x ≥时223238
3932
4
x x +≤+=
所以2
2
21834134m m m +-
≥∴≥∴2m ≤-或2
m ≥
故答案为：2m ≤-或2
m ≥ 【点睛】
本题考查不等式恒成立问题以及二次函数最值，考查综合分析求解能力，属中档题.
19．6【解析】【分析】由题意公差d=1na1+=2668∴n （2a1+n-1）=5336=23×23×29得出满足题意的组数即可得出结论【详解】由题意公差d=1na1+=2668∴n （2a1+n-1）=
解析：6 【解析】 【分析】
由题意，公差d=1，na 1+
()12
n n -=2668，∴n （2a 1+n-1）=5336=23×23×29，得出满足题意
的组数，即可得出结论． 【详解】
由题意，公差d=1，na 1+
()12
n n -=2668，∴n （2a 1+n-1）=5336=23×23×29， ∵n ＜2a 1+n-1，且二者一奇一偶，
∴（n ，2a 1+n-1）=（8，667），（23，232），（29，184）共三组； 同理d=-1时，也有三组． 综上所述，共6组． 故答案为6． 【点睛】
本题考查组合知识的运用，考查等差数列的求和公式，属于中档题．
20．【解析】当且仅当时取等号点睛：在利用基本不等式求最值时要特别注意拆拼凑等技巧使其满足基本不等式中正(即条件要求中字母为正数)定(不等式的另一边必须为定值)等(等号取得的条件)的条件才能应用否则会出现 解析：8
【解析】
1212412(2)()448b a a b a b a b a b a b +=∴+=++=++≥+=Q
，当且仅当2b a = 时取等号.
点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
三、解答题
21．(1) 3
2
m =
；(2)4. 【解析】试题分析：（Ⅰ）先根据绝对值定义解不等式解集为][()
,22,-∞-⋃+∞，再根据解集相等关系得122m +=，解得3
2
m =．（Ⅱ）不等式恒成立问题，一般转化为对应函数最值问题，即
()
max
212322
y y a
x x --+≤+
，根据绝对值三角不等式可得()
max
21234x x --+=，再利用变量分离转化为对应函数最值问题：
(
)
max
242y y
a ⎡⎤≥-⎣⎦，根据基本不等式求最值： ()
()
2
24224242y y
y y ⎡⎤
+-⎢
⎥-≤=⎢⎥⎣
⎦
，因此4a ≥，所以实数a 的最小值为4．
试题解析：（Ⅰ）由题意知不等式221(0)x m m ≤+>的解集为][()
,22,-∞-⋃+∞． 由221x m ≤+，得11
22
m x m --≤≤+， 所以，由122m +
=，解得3
2
m =． （Ⅱ）不等式()2232y y a f x x ≤+++等价于212322
y
y
a x x --+≤+， 由题意知()
max
2123
22
y y a
x x --+≤+
． 因为()()212321234x x x x --+≤--+=， 所以242
y y a +
≥，即()
242y y a ⎡⎤≥-⎣⎦对任意y R ∈都成立，则()max 242y y
a ⎡⎤≥-⎣⎦．而()
()
2
24224242y y
y y
⎡⎤
+-⎢
⎥-≤=⎢⎥⎣
⎦
，当且仅当242y y =-，即1y =时等号成立， 故4a ≥，所以实数a 的最小值为4． 22．（1）12n n
a =；（2）1211112n n
S T T T ++⋅⋅⋅+< 【解析】 【分析】
(1)根据数列{}n a 的首项为
1
2
,且()3122123a a a -=+,可得关于1a 和公比q 的不等式组,解出1a 和q 可得数列{}n a 的通项公式;
(2)根据条件分别利用等比数列和等差数列的前n 项和公式,求出{}n a 的前n 项和为n S ,{}
n b
的前n 项和n T ,再用列项相消法求出12111n T T T ++⋅⋅⋅+,然后比较12111
n T T T ++⋅⋅⋅+与12
n S 的大小即可. 【详解】
解:(1)由题意,设1
1(0)n n a a q q -=>,则()
12111122123a a q a a q ⎧=⎪⎨
⎪-=+⎩
, 解得1
2
q =
或2q =-(舍), ∴1
111222n n
n a -⎛⎫⎛⎫
=⨯= ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
,即12n n a =.
(2)由(1)知12n n a =,∴11122111212n
n n S ⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==- ⎪⎝⎭-
. ∵8n b n =,∴2
44n T n n =+,
∴2111114441n T n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭
, ∴
121111111111111142231414
n T T T n n n ⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-< ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭, 又∵11111111112112224242n n n n S --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,1
1
102n --≥, 1124
n S ∴≥ ∴
1211112
n n S T T T ++⋅⋅⋅+<. 【点睛】
本题考查了数列通项公式的求法,等差数列的前n 项和公式,等比数列的前n 项和公式和裂项相消法求数列的前n 项和,考查了方程思想和计算能力,属中档题. 23．（1）,()6
3k k k Z π
πππ⎡
⎤
-+
∈⎢⎥⎣
⎦
;（2）3,2b c ==．
【解析】
试题分析：（1）化简()f x 得()12cos 23f x x π⎛
⎫
=++
⎪⎝
⎭
，代入[]()2,2k k k Z πππ-∈，求得增区间为()2,36k k k Z ππππ⎡⎤
-
-∈⎢⎥⎣
⎦
；（2）由
()1f A =-求得3
A π
=
，余弦定理得()2
2222cos 3a b c bc A b c bc =+-=+-.因为向量
()3,sin m B =r 与()2,sin n C r
=共线,所以2sin 3sin B C =,由正弦定理得23b c =，解得
3
,12
b c ==.
试题解析：
（1）由题意知,()2
2cos 21cos 2212cos 23f x x x x x x π⎛⎫
==+-=++
⎪⎝
⎭
, cos y x =Q 在[]()2,2k k k Z πππ-∈上单调递增,∴令2223
k x k ππππ-≤+≤,得
236k x k ππππ-
≤≤-,()f x ∴的单调递增区间()2,36k k k Z ππππ⎡
⎤--∈⎢⎥⎣
⎦. （2）()12cos 21,cos 2133f A A A ππ⎛
⎫
⎛
⎫=++
=-∴+=- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭Q ,又72,23
3
33
A A π
π
ππ
π<+
<
∴+=,
即3
A π
=
.a =
Q ,由余弦定理得()22222cos 3a b c bc A b c bc =+-=+-.因为向量()3,sin m B =r 与()2,sin n C r
=共线,所以2sin 3sin B C =,由正弦定理得
3
23,,12
b c b c =∴==.
考点：三角函数恒等变形、解三角形．
24．（1）1
2
；（2 【解析】 【分析】
（1）在ΔABC 中，由余弦定理，求得BC =进而利用三角形的面积公式，即可求
解；
（2）利用三角函数的诱导公式化和恒等变换的公式，求解sin BCA 10
∠=
，再在ΔABC 中，利用正弦定理和余弦定理，即可求解. 【详解】
（1）在ΔABC 中，222AC AB BC 2AB BC COS ABC ∠=+-⋅⋅
即251BC BC =++ 2BC 40⇒+-=,解得BC =.
所以ΔABC 111S AB BC sin ABC 12222
∠=
⋅⋅=⨯=.
（2）因为0BAD 90,sin CAD 5∠∠==
,所以cos BAC 5
∠=，
sin BAC ∠=
π
sin BCA sin BAC 4所以∠∠⎛⎫
=- ⎪⎝⎭ )cos BAC sin BAC ∠∠=-
25510⎛=
-= ⎝⎭
.
在ΔABC 中，
AC AB sin ABC sin BCA ∠∠=, AB sin ABC
AC sin BCA
∠∠⋅∴=
=
222CD AC AD 2AC AD cos CAD ∠=+-⋅⋅所以 5162413=+-=
所以CD = 【点睛】
本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
25．（Ⅰ）3n
n a =；（Ⅱ）()1121334n n S n +⎡⎤=
-⋅+⎣
⎦. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）由已知，当1n ≥时，()()()111211n n n n n a a a a a a a a ++-=-+-++-+L ，结合题意和等比数列前n 项和公式确定数列的通项公式即可；
（Ⅱ）结合(Ⅰ)的结果可知3n
n b n =⋅，利用错位相减求和的方法求解其前n 项和即可.
【详解】
（Ⅰ）由已知，当1n ≥时，
()()()111211n n n n n a a a a a a a a ++-=-+-++-+L
12323233n n L -=⨯+⨯++⨯+
()
1233311n n -=⋅+++++L (
)11
231
12
n +⎡⎤=⋅-+⎢⎥⎣⎦
13n +=
∵13a =，即关系式也成立，
∴数列{}n a 的通项公式3n
n a =.
（Ⅱ）由3n
n n b na n ==⋅，
得231323333n
n S n =⨯+⨯+⨯++⋅L ，
而()2
3
4
1
3132333133
n
n n S n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅L ，
两式相减，可得
()
231233333n n n S n +-=++++-⋅L ()
111133322n n S n ++⎡⎤=---⋅⎢⎥⎣⎦
∴()1121334
n n S n +⎡⎤=
-⋅+⎣⎦. 【点睛】
数列求和的方法技巧：
(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．
26．（1）该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元/吨；（2）该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40000元才能不亏损． 【解析】 【分析】
（1）根据已知得平均处理成本为
y
x
，得到关系式后利用基本不等式求得平均处理成本的最小值，并根据基本不等式等号成立条件求得每月处理量；（2）获利
()2
130********
10x S x y =-=-
--，根据二次函数图象可求得[]80000,40000S ∈--，可知不获利，同时求得国家至少补贴40000元.
【详解】
（1）由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为：
1800002002002002y x x x =+-≥= 当且仅当180000
2x x
=，即400x =时取等号 ∴月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元/吨
（2）不获利
设该单位每月获利为S 元
()222110010020080000113008000030035000
222S x y x x x x x x ⎛⎫
=-=--+ ⎪=-+-=---⎝⎭
[]400,600x ∈Q []80000,40000S ∴∈--
故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40000元才能不亏损
【点睛】
本题考查构造函数模型解决实际问题，主要涉及的内容是利用基本不等式求解函数的最值、利用二次函数图象求解最值的问题.。