西安交通大学附属中学分校高中数学选修2-2第一章《推理与证明》测试(包含答案解析)

一、选择题
1．如图，第(1)个图案由1个点组成，第(2)个图案由3个点组成，第(3)个图案由7个点组成，第(4)个图案由13个点组成，第(5)个图案由21个点组成，……，依此类推，根据图案中点的排列规律,第50个图形由多少个点组成（ ）
A ．2450
B ．2451
C ．2452
D ．2453
2．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”．从下图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是 ( )
A ．
B ．
C ．
D ．
3．图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到.图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第n 代“勾股树”所有正方形的面积的和为（ ）
A ．n
B ．2n
C ．1n +
D ．1n -
4．某个命题与正整数n 有关，如果当()n k k N +=∈时命题成立，那么可推得当1n k =+时命题也成立. 现已知当8n =时该命题不成立，那么可推得 （ ） A ．当7n =时该命题不成立 B ．当7n =时该命题成立 C ．当9n =时该命题不成立
D ．当9n =时该命题成立
5．某单位实行职工值夜班制度，已知,,,,5A B C D E 共名职工每星期一到星期五都要值一次夜班，且没有两人同时值夜班，星期六和星期日不值夜班，若A 昨天值夜班，从今天起
,B C 至少连续4天不值夜班，D 星期四值夜班，则今天是星期几（ ）
A ．五
B ．四
C ．三
D ．二
6．期末考试结束后，甲、乙、丙、丁四位同学预测数学成绩
甲：我不能及格. 乙：丁肯定能及格. 丙：我们四人都能及格.
丁：要是我能及格，大家都能及格.
成绩公布后，四人中恰有一人的预测是错误的，则预测错误的同学是（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁 7．设k 1111S k 1k 2k 32k
=+++⋯++++,则1k S +=( ) A ．()k 1
S 2k 1++
B ．()k 11
S 2k 12k 1++++ C ．()
k 11
S 2k 12k 1+
-++ D ．()k 11
S 2k 12k 1
+
-++
8．我们把平面几何里相似的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就称它们是相似体，给出下面的几何体：
①两个球体；②两个长方体；③两个正四面体；④两个正三棱柱；⑤两个正四棱锥，则一定是相似体的个数是（ ） A ．4
B ．2
C ．3
D ．1
9．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式
11
111++
+
中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程
1
1x x +
=求得x =
=（ ）
A
B ．3
C ．
6
D ．10．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是（ ） A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁
11．下列推理属于演绎推理的是（ ） A ．由圆的性质可推出球的有关性质
B ．由等边三角形、等腰直角三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°
C ．某次考试小明的数学成绩是满分，由此推出其它各科的成绩都是满分
D ．金属能导电，金、银、铜是金属，所以金、银、铜能导电
12．在一次连环交通事故中，只有一个人需要负主要责任，但在警察询问时，甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”，四人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是（ ）
A ．丁
B ．乙
C ．丙
D ．甲
二、填空题
13．已知M ，N 是双曲线2
212
x y -=上关于原点对称的两点，点P 是该双曲线上的任意
一点.若直线PM ，PN 的斜率都存在，则PM PN k k ⋅的值为定值.试类比上述双曲线的性
质，得到椭圆22
12x y +=的一个类似性质为：设M ，N 是椭圆2212
x y +=上关于原点对称
的两点，点P 是椭圆上的任意一点.若直线PM ，PN 的斜率都存在，则PM PN k k ⋅的值为定值，该定值为__________． 14．观察下列各式：11=，141123+
=+，113
1121232
++=+++，1118
11212312345+++=++++++，由此可猜想，若111
1+
12123
123+10
m +
++=++++++
，则m =__________.
15．已知[x]表示不大于x 的最大整数，设函数f （x ）=[log 2
x 21
9
+],得到下列结论：
结论1：当2<x<3时，f （x ）max=-1. 结论2：当4<x<5时，f （x ）max=1. 结论3：当6<x<7时，f （x ）max=3. ……
照此规律，结论6为_____
16．观察下面的数阵，则第40行最左边的数是__________．
17．(2016·开封联考)如图所示，由曲线y ＝x 2，直线x ＝a ，x ＝a ＋1(a >0)及x 轴围成的曲边
梯形的面积介于相应小矩形与大矩形的面积之间，即1
2
22
(1)a a
a x dx a +<
<+⎰.运用类比推理，若对∀n ∈N *，11
1111
12
21
21
A n n n n n n +++
<<+++
+++-恒成立，则实数A ＝________.
18．观察下列各式：(1) 2()2x x '=，(2) 43()4x x '=，(3) (cos )sin x x '=-，……，根据以上事
实，由归纳推理可得：若定义在R 上的偶函数()f x 的导函数为()g x ，则(0)g =____. 19．如图所示，在三棱锥S ﹣ABC 中，SA ⊥SB ，SB ⊥SC ，SC ⊥SA ，且SA ，SB ，SC 和底面ABC 所成的角分别为α1，α2，α3，△SBC ，△SAC ，△SAB 的面积分别为S 1，S 2，S 3，类比三角形中的正弦定理，给出空间图形的一个猜想是________．
20．小明在做一道数学题目时发现：若复数
111cos i?sin ?,z αα=+222 cos i?sin ,z αα=+，333cos i?sin z αα=+(其中123,,R ααα∈), 则121212cos()i?
sin(+)z z αααα⋅=++，232323cos()i?sin(+)z z αααα⋅=++ ，根据上面的结论，可以提出猜想: z 1·
z 2·z 3=__________________． 三、解答题
21．已知正数列{}n a 满足2
3
3
312n a n =++
+．
（1）求1a ，2a ，3a 的值；
（2）试猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论． 22．已知数列{}n a 满足11a =,1(5)5n n n a a a ++=. （1）计算234,,a a a 的值,猜想数列{}n a 的通项公式; （2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.
23．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且20S =，()
*2n n S n na n N +=∈.
（1）试写出数列{}n a 的任意前后两项（即n a 、1n a +）构成的等式；
（2）用数学归纳法证明：()
*
23n a n n N =-∈.
24．正项数列{}n a 的前n 项和n S 满足1n n a S n =-. （Ⅰ）求1a ，2a ，3a ；
（Ⅱ）猜想{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明.
25．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规
律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n 个图形包含()f n 个小正方形.
（Ⅰ）求出()5f ；
（Ⅱ）利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出()1f n +与()f n 的关系式，并根据你得到的关系式求()f n 的表达式.
26．已知函数()f x 满足()()
2
33log log .f x x x =-
(1).求函数()f x 的解析式；
(2).当n *∈N 时，试比较()f n 与3n 的大小，并用数学归纳法证明你的结论.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】
设第n 个图案的点的个数为n a ，由图归纳可得()121,1n n a a n n --=--个式子相加,由等差数列的求和公式可得结果. 【详解】
设第n 个图案的点的个数为n a ，由题意可得123451,3,7,13,21a a a a a =====， 故213243542,4,6,8,...a a a a a a a a -=-=-=-=， 由此可推得()121n n a a n --=-，以上1n -个式子相加可得：
()()()()()2132431...246...21n n a a a a a a a a n --+-+-++-=++++-,
化简可得()()()
1222112
n n n a n n -+--==-，
故()11n a n n =-+， 故50504912451a =⨯+=，
即第50个图形由2451个点组成，故选B . 【点睛】
本题主要考查归纳推理以及等差数列的求和公式，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.
2．C
解析：C 【分析】 结合题意可知,代入数据,即可.
【详解】
A 选项,13不满足某个数的平方,故错误;
B 选项,,故错误;
C 选项,故正确;
D 选项,,故错误.故选C. 【点睛】
本道题考查了归纳推理，关键抓住利用边长点数计算总点数,难度中等.
3．C
解析：C 【分析】
由图二，可以求出当1n =时，所有正方形的面积，结合选项即可排除A 、B 、D 选项． 【详解】
由题意知，当1n =时，“勾股树”所有正方形的面积的和为2，当2n =时，“勾股树”所有正方形的面积的和为3，以此类推，可得所以正方形面积的和为1n +；也可以通过排除法，当1n =时，“勾股树”所有正方形的面积的和为2，选项A 、B 、D 都不满足题意，从而选出答案． 故选C. 【点睛】
本题考查了归纳推理，考查了勾股定理的应用，属于基础题．
4．A
解析：A 【解析】
分析：利用互为逆否的两个命题同真同假的原来，当()P n 对n k =不成立时，则对
1n k =-也不成立，即可得到答案．
详解：由题意可知，原命题成立的逆否命题成立， 命题()P n 对8n =不成立时，则()P n 对7n =也不成立， 否则当7n =时命题成立，由已知必推得8n =也成立， 与当8n =时命题不成立矛盾，故选A ．
点睛：本题主要考查了数学归纳法以及归纳法的性质，互为逆否的两个命题同真同假的性质应用，其中正确四种命题的关系是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．
5．B
解析：B 【解析】
分析：A 昨天值夜班，D 周四值夜班，得到今天不是周一也不是周五，假设今天是周二，则周二与周三B ，C 至少有一人值夜班，与已知从今天起B ，C 至少连续4天不值夜班矛盾；若今天是周三，则周五与下周一B ，C 至少有一人值夜班，与已知从今天起B ，C 至少连续4天不值夜班矛盾；由此得到今天是周四．
详解：∵A 昨天值夜班，D 周四值夜班，∴今天不是周一也不是周五，
若今天是周二，则周一A 值夜班，周四D 值夜班，则周二与周三B ，C 至少有一人值夜班，
与已知从今天起B ，C 至少连续4天不值夜班矛盾；
若今天是周三，则A 周二值夜班，D 周四值夜班，则周五与下周一B ，C 至少有一人值夜班，
与已知从今天起B ，C 至少连续4天不值夜班矛盾；
若今天是周四，则周三A 值夜班，周四D 值夜班，周五E 值夜班，符合题意． 故今天是周四． 故答案为：B ．
点睛：（1）本题主要考查推理证明，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)类似这种题目，一般利用假设分析法，先逐一假设，找到矛盾，就否定这种假设.
6．A
解析：A
【解析】分析：若甲预测正确，显然导出矛盾．
详解：若甲预测正确，则乙，丙 ， 丁都正确，乙：丁肯定能及格.
丙：我们四人都能及格.丁：要是我能及格，大家都能及格.，即四人都及格显然矛盾， 故甲预测错误. 故选A.
点睛：本题考查推理与论证，根据已知分别假设得出矛盾进而得出是解题关键．
7．C
解析：C 【解析】
分析：由题意将k 替换为1k +，然后和k S 比较即可. 详解：由题意将k 替换为1k +，据此可得：
()()()
()
1111
1
11121321k S k k k k +=
+++
+
+++++++
()
1111
23421k k k k =++++++++
()111111234
22121k k k k k k =++++
+++++++ ()111111111234221211k k k k k k k k =+++++++-+++++++ ()
11111111234
22121k k k k k k k =
+++++
+-++++++ ()
11
2121k S k k =+
-++. 本题选择C 选项.
点睛：本题主要考查数学归纳法中由k 到k +1的计算方法，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
8．B
解析：B 【解析】
分析：根据题意，结合题中所给的新定义，根据形状相同，大小不一定相同的几何体被视为相似体，逐一判断，可得结论.
详解：两个长方体的长宽高的比值不能确定，两个正三棱柱的高与底面边长的比不能确定，两个正四棱锥的高与底面边长不能确定，所以②④⑤不能确定是正确的， 只有所有的球体和所有的正四面体都是相似体，所以有两个是正确的，故选B.
点睛：该题属于新定义的问题，属于现学现用型，这就要求我们必须把握好题中的条件，然后对选项中的几何体逐一判断，最后求得结果.
9．A
解析：A 【解析】
由已知代数式的求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），可得要求的
()0m m =>，则两边平方得，得23m =，即
23m m +=，解得m m =
=
舍去，故选A. 10．C
解析：C 【详解】
若甲是获奖的歌手，则四句全是假话，不合题意；
若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说真话，丙说假话，与题意不符； 若丁是获奖的歌手，则甲、丁、丙都说假话，丙说真话，与题意不符； 当丙是获奖的歌手，甲、丙说了真话，乙、丁说了假话，与题意相符.
点睛：本题主要考查的是简单的合情推理题，解决本题的关键是假设甲、乙、丙、丁分别是获奖歌手时的，甲乙丙丁说法的正确性即可.
11．D
解析：D
【解析】
选项A, 由圆的性质类比推出球的有关性质,这是类比推理;
选项B, 由等边三角形、直角三角形的内角和是0
180，归纳出所有三角形的内角和都是0
180,是归纳推理;
选项C, 某次考试小明的数学成绩是满分，由此推出其它各科的成绩都是满分,是归纳推理;选项D, 金属能导电，金、银、铜是金属，所以金、银、铜能导电,这是三段论推理,属于演绎推理;
故选D.
12．D
解析：D
【分析】
利用反证法，可推导出丁说的是真话，甲乙丙三人说的均为假话，进而得到答案.
【详解】
假定甲说的是真话，则丙说“甲说的对”也为真话，这与四人中只有一个人说的是真话相矛盾，故假设不成立，故甲说的是谎话；
假定乙说的是真话，则丁说：“反正我没有责任”也为真话，
这与四人中只有一个人说的是真话相矛盾，
故假设不成立，故乙说的是谎话；
假定丙说的是真话，由①知甲说的也是真话，这与四人中只有一个人说的是真话相矛盾，故假设不成立，故丙说的是谎话；
综上可得：丁说是真话，甲乙丙三人说的均为假话，即乙丙丁没有责任，故甲负主要责任，故答案为甲
【点睛】
本题主要考查了命题真假的判断，以实际问题为背景考查了逻辑推理，属于中档题.解题时正确使用反证法是解决问题的关键.
二、填空题
13．【解析】分析：利用斜率公式可得利用点差法可得结果详解：设则
②①②-①可得故故答案为点睛：本题主要考查斜率公式与点差法的应用属于中档题利用点差法解题步骤为：①设点（即设出弦的两端点坐标）；②代入（即代
解析：
1 2
分析：利用斜率公式可得22212221
PM PN
y y k k x x -⋅=-，利用“点差法”可得结果. 详解：设()()1122,,,M x y P x y ，则()11,N x y --，
22
2121212
2212121
PM PN
y y y y y y k k x x x x x x -+-∴⋅=⋅=-+-， 2211+121x y =，②22
22121
x y +=，① ∴②-①可得222122
2112
y y x x -=--， 故1
2PM PN k k ⋅=-
，故答案为12
-. 点睛：本题主要考查斜率公式与“点差法”的应用，属于中档题. 利用“ 点差法”解题步骤为：①设点（即设出弦的两端点坐标）；②代入（即代入圆锥曲线方程）；③作差（即两式相减，再用平方差公式分解因式）；④整理（即转化为斜率与中点坐标的关系式），然后求解.
14．【解析】分析：观察下列式子右边分母组成以为首项为公差的对称数列分子组成以为首项以为公差的等差数列即可得到答案详解：由题意可得所以点睛：本题主要考查了归纳推理的应用其中归纳推理的步骤是：（1）通过观察
解析：
2011
. 【解析】
分析：观察下列式子，右边分母组成以3为首项，1为公差的对称数列，分子组成以4为首项，以2为公差的等差数列，即可得到答案. 详解：由题意11=，141123+
=+，1131121232
++=+++，1118
11212312345
+
++=++++++， 可得111
21020
1+
12123123+10
10111
⨯+
++=
=++++++
+， 所以2011
m =
. 点睛：本题主要考查了归纳推理的应用，其中归纳推理的步骤是：（1）通过观察给定的式子，发现其运算的相同性或运算规律，（2）从已知的相同性或运算规律中推出一个明企鹅的一般性的题，着重考查了考生的推理与论证能力.
15．当时【解析】由题意得当时其中根据上述的运算规律可以归纳得出结论当时点睛：本题考查归纳推理的应用解答中根据给定式子的计算得到计算的规律
是解答的关键归纳推理属于合情推理对于合情推理主要包括归纳推理和类比
解析：当1213x <<时，()12
2392
max f x =⨯-= 【解析】
由题意得，当1213x <<时，其中()max f x 根据上述的运算规律， 可以归纳得出结论当1213x <<时，()max 12
2392
f x =⨯
-=． 点睛：本题考查归纳推理的应用，解答中根据给定式子的计算，得到计算的规律是解答的关键，归纳推理属于合情推理，对于合情推理主要包括归纳推理和类比推理．数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向．合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确．（而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)．
16．1522【解析】由题意得每一行数字格式分别为它们成等差数列则前行总共有个数所以第40行最左的数字为点睛：本题非常巧妙的将数表的排列问题和数列融合在一起首先需要读懂题目所表达的具体含义以及观察所给定数
解析：1522 【解析】
由题意得，每一行数字格式分别为1231,3,5,21n a a a a n ====-，
它们成等差数列，则前39行总共有13939()39(12391)
152122
a a ++⨯-==个数， 所以第40行最左的数字为1522.
点睛：本题非常巧妙的将数表的排列问题和数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和，另外，本题的难点在于根据数表中的数据归纳数列的知识，利用等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量1,,,,n n a a d n S 知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题..
17．【解析】令依据类比推理可得A1＝dx ＝ln(n ＋1)－lnnA2＝dx ＝ln(n ＋2)－ln(n ＋1)…An ＝dx ＝ln(2n)－ln(2n －1)所以A ＝A1＋A2＋…＋An ＝ln(n ＋1)－lnn 解析：ln 2
【解析】 令
121111
11
,,,
121
221
n A A A n n n n n n <<<<<<+++-， 依据类比推理可得A 1＝
1
1n n
x +⎰
d x ＝ln(n ＋1)－ln n ，A 2＝2
1
1
n n x ++⎰d x ＝ln(n ＋2)－ln(n ＋1)，…，A n ＝
221
1
n
n x -⎰d x ＝ln(2n )－ln(2n －1)，所以A ＝A 1＋A 2＋…＋A n ＝ln(n ＋1)－ln n ＋ln(n ＋2)－ln(n ＋1)＋…＋ln(2n )－ln(2n －1)＝ln(2n )－ln n ＝ln 2.
18．0【解析】由（x2）=2x 中原函数为偶函数导函数为奇函数；（x4）=4x3中原函数为偶函数导函数为奇函数；（cosx ）=﹣sinx 中原函数为偶函数导函数为奇函数；…我们可以推断偶函数的导函数为奇函数
解析：0 【解析】
由（x 2）'=2x 中，原函数为偶函数，导函数为奇函数； （x 4）'=4x 3中，原函数为偶函数，导函数为奇函数； （cosx ）'=﹣sinx 中，原函数为偶函数，导函数为奇函数； …
我们可以推断，偶函数的导函数为奇函数． 若定义在R 上的函数f （x ）满足f （﹣x ）=f （x ）， 则函数f （x ）为偶函数，
又∵g （x ）为f （x ）的导函数，则g （x ）奇函数 故g （﹣x ）+g （x ）=0，即g （﹣0）=﹣g （0），g （0）=0 故答案为：0．
19．【解析】试题分析：在△DEF 中由正弦定理得于是类比三角形中的正弦定理在四面体S ﹣ABC 中我们猜想成立故答案为考点：类比推理
解析：
312
123
sin sin sin S S S ααα== 【解析】
试题分析：在△DEF 中，由正弦定理，得sin sin sin d e f
D E F
==．于是，类比三角形中的正弦定理，
在四面体S ﹣ABC 中，我们猜想
312
123
sin sin sin S S S ααα==成立．故答案为312
123
sin sin sin S S S ααα==． 考点：类比推理．
20．【解析】试题分析：运用推理考点：1归纳推理2复数的运算 解析：()()123123cos sin i αααααα+++++
【解析】
试题分析：运用推理()()123123cos sin i αααααα+++++ 考点：1.归纳推理.2.复数的运算.
三、解答题
21．（1）11a =；23a =，36a =；（2）猜想：()
12
n n n a +=
，证明见解析．
【分析】
（1）分别令1,2,3n =，即得1a ，2a ，3a 的值； （2）猜想()
12
n n n a +=，再利用数学归纳法证明. 【详解】
（1）当1n =时，3211a =，又0n a >，∴11a =；当2n =时，332
212a +=，解得
23a =，
当3n =时，3332
3123a ++=，解得36a =．
（2）猜想()
12
n n n a +=
， ①当1n =时，由（1）可知结论成立； ②假设当n k =时，结论成立，即()
12
k k k a +=成立， 则当1n k =+时，由3
3
32
l 2k k a ++
+=与()
12
k k k a +=
得：()()2
3222
11112k k k k k k a a a +++⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭
，
∴()()()()()2
2
2
223
22
1112111444k k k k k k a k k k ++++⎛⎫=++=+++= ⎪⎝⎭
，
又0n a >， ∴()()1122
k k k a +++=
成立，
综上所述得()
12
n n n a +=成立． 【点睛】
方法点睛：用数学归纳法证明，一般是两步一结论，（1）证明当1n =时命题成立；（2）假设(1)n k k =≥时命题成立，再证明当1n k =+时，命题成立.（3）下结论. 22．（1）234555,,678a a a ===;猜想54n a n
=+（2）证明见解析 【分析】
（1）因为11a =,1(5)5n n n a a a ++=,可得155
n
n n a a a +=+,即可求得答案; （2）用数学归纳法证明:对任何的*
5
,4n n N a n
∈=+,即可求得答案. 【详解】 （1）
11a =,1(5)5n n n a a a ++=
155
n
n n a a a +∴=
+ 得234555,,678
a a a =
== 由1234,,,a a a a 猜想5
4n a n
=
+ （2）以下用数学归纳法证明:对任何的*
5,4n n N a n
∈=+ ①当1n =时,由已知15
1,4n a a n
==+, 可得155
1441
a n =
==++ ∴1n =时等式成立.
②假设当()
*
n k k N =∈时,5
4k a k
=
+成立, 则1n k =+时,()15
5554554154k k k a k a a k k
+⨯
+=
==+++++, ∴当1n k =+时,等式也成立.
根据①和②,可知对于任何*
5
,4n n N a n
∈=+成立. 【点睛】
本题主要考查了根据递推关系求数列中的项和用数学归纳证明,解题关键是掌握数学归纳证明的步骤,考查了分析能力和计算能力,属于中档题. 23．（1）()111n n n a na +-=+；（2）证明见解析. 【分析】
（1）由2n n S n na +=，可得出()11211n n S n n a ++++=+，两式相减，化简即可得出结果；
（2）令1n =代入2n n S n na +=求出1a 的值，再由20S =求出2a 的值，可验证1n =和
2n =时均满足23n a n =-，并假设当()2,n k k k N *
=≥∈时等式成立，利用数学归纳法
结合数列{}n a 的递推公式推导出1n k =+时等式也成立，综合可得出结论. 【详解】
（1）对任意的n *∈N ，由2n n S n na +=可得()11211n n S n n a ++++=+， 上述两式相减得()11211n n n a n a na +++=+-，化简得()111n n n a na +-=+；
（2）①当1n =时，由2n n S n na +=可得1121a a +=，解得11a =-，满足23n a n =-；
②当2n =时，由于2120S a a =+=，则211a a =-=，满足23n a n =-；
③假设当()
2,n k k k N *
=≥∈时，23n a n =-成立，则有23k a k =-，
由于()111k k k a ka +-=+，则
()()()()212312111231212131111
k k k k k k ka k k a k k k k k k +-+--+-+=====-=+-----. 这说明，当1n k =+时，等式23n a n =-也成立.
综合①②③，()
*
23n a n n N =-∈.
【点睛】
本题考查数列递推公式的求解，同时也考查了利用数学归纳法证明数列的通项公式，考查计算能力与推理能力，属于中等题.
24．（Ⅰ）123135a a a ===，，（Ⅱ）猜想21n a n ，=-证明见解析
【解析】
分析：（1）直接给n 取值求出1a ，2a ，3a .(2)猜想{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明.
详解：（Ⅰ）令1n =，则10a =，又11S a =，解得11a =；
令2n =，则2211a a =⇒=，解得23a =；
令3n =，则3322a a =⇒=，解得35a =. （Ⅱ）由（Ⅰ）猜想21n a n =-； 下面用数学归纳法证明21n a n =-. 由（Ⅰ）可知当1n =时，21n a n =-成立；
假设当()
*
n k k N =∈时，21k a k =-，
则2
1k k a k S k =-⇒=.
那么当1n k =+时，()2
111k k k a k S a k +++=⇒=-，
由()2
2
111k k k k a S S a k k +++=-=-- 2
112k k a ka ++=-，
所以()2
1121k k k a a +++=，又0n a >，所以121k a k +=+，
所以当1n k =+时，()121211k a k k +=+=+-. 综上，21n a n =-.
点睛：（1）本题主要考查数学归纳法，意在考查学生对该基础知识的掌握水平和基本计算能力.(2) 数学归纳法的步骤：①证明当n=1时，命题成立。

②证明假设当n=k 时命题成立，则当n=k+1时，命题也成立.由①②得原命题成立. 25．（I ）()541f =；（II ）()2
221f n n n =-+.
【解析】
试题分析：（I ）先用前几项找出规律()()21441f f -==⨯，
()()32842f f -==⨯，()()431243f f -==⨯，()()541644f f -==⨯,可知()5254441f =+⨯=；（II ）由（I ）知()()14f n f n n +-=,然后利用累加法求出()2221f n n n =-+.
试题 解：（I ）
()11f =，()25f =，()313f =，()425f =，
∴()()21441f f -==⨯，()()32842f f -==⨯，()()431243f f -==⨯，
()()541644f f -==⨯
∴()5254441f =+⨯=．
（II ）由上式规律得出()()14f n f n n +-=．
∴()()2141f f -=⨯，()()3242f f -=⨯，()()4343f f -=⨯，⋅⋅⋅，
()()()1242f n f n n ---=⋅-，()()()141f n f n n --=⋅-
∴()()()()()14122121f n f n n n n ⎡⎤-=++⋅⋅⋅+-+-=-⋅⎣⎦， ∴()2221f n n n =-+．
考点：1.合情推理与演绎推理；2.数列累加法求通项公式. 26．(1) ()32x
f x x =-;(2)详见解析.
【解析】
试题分析：（1）令()()3log 33232t
t
x
t x x f t t f x x =⇒=⇒=-⇒=-；（3）计算
(1)(2)(3)(4)f f f f 、、、 ，从而猜想：当4*n n R ，≥∈都有()3f n n >，再利用数学归
纳法证明． 试题
（1）令3log t x =，则3t x =，
所以()32t
f t t =-，故函数()f x 的解析式为()32x
f x x =-．
（2）当1n =时，()11f =，31n =，此时 ()3
1f n =；
当2n =时，()25f =，31n =，此时 ()3
1f n <；
当3n =时，()321f =，327n =，此时 ()3
3f n <；
当4n =时，()473f =，364n =，此时 ()3
4f n >；
猜想：当4n ≥，*n R ∈，都有()3
f n n >．
要证明：当4n ≥，*n R ∈，都有()3
f n n >，
即要证：当4n ≥，*n R ∈，332n n n ->， 即要证：当4n ≥，*n R ∈，332n n n >+．
证明：①当4n =时，381n =，3272n n +=，显然，332n n n >+成立； ②假设当n k =时，332k k k >+成立， 那么，当1n k =+时，()
1
333
333236k k k k k k +=⨯>⨯+=+，又当4k ≥时，
(
)
()()3
3322236121233233k k k k k k k k k k k ⎡⎤+-+++=-+-=⋅-+-⎣⎦
2224233530k k k k k ≥⋅-+-=+->，
故()()3
3
36121k k k k +>+++，
所以1n k =+时，()()3
1
33
36121k k k k k +>+>+++结论成立，
由①②，根据数学归纳法可知，当4n ≥，*n R ∈，都有()3
f n n >．。