dvd在线租赁问题研究修订版

d v d在线租赁问题研究
修订版
IBMT standardization office【IBMT5AB-IBMT08-IBMT2C-ZZT18】
DVD在线租赁问题研究
摘要
本文解决的是DVD在线租赁网站在DVD的需求预测、购买和分配中的重要问题。

首先我们通过随机概率模型分析了要满足会员要求的DVD的最少采购量，其中主要利用了0-1分布和二项分布的理论，即认为会员是否一个月租赁两次是一个随机事件，服从0-1分布，因此分配到自己想要DVD的会员中租赁两次的人数就服从二项分布，具体计算时(由于是大样本场合)用标准正态分布逼近二项分布得到最后的结果。

在解决最大满意度原则下的DVD分配时，我们建立的是以最大期望满意度为目标，含有随机变量的规划模型。

出于计算规模和效率方面的考虑，文中采用类似贪婪算法的处理方法，将DVD的分配分成两个阶段来处理，这两个阶段分别的最优解之和作为最终要得到的最优目标。

最后我们基于现实基础提出了以最大满意度和最小邮费为目标的规划方程，并对上述几个模型进行了评价和推广价值讨论。

关键字最优解 0-1规划满意度分配方案
一、问题重述
（一）提出背景
随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。

许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。

例如，音像制品的在线租赁就是一种可行的服务。

在线DVD租赁就是这样一种传播范围广泛、直达核心消费群、强烈的互动性、感官性强、成本相对低廉的服务。

（二）提出问题
客户缴纳一定数量的月费成为会员，通过在线提交订单，订购DVD租赁服务，会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。

网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。

每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。

在已知会员订单情况下，如何购买、分配这些DVD，使会员满意度最大且成本最低就成了自然而然的问题。

另外，在DVD的需求预测、购买和分配中还存在很多其他问题值得研究。

（三）重述问题
考虑如下DVD租赁问题：顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。

会员对哪些DVD有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。

会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。

网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。

其中网站有如下几个约定：①每个会员每个月租赁次数不得超过2次。

②每次获得3张DVD。

③会员看完3张DVD之后，只需要将DVD放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。

现在需要解决以下几个问题：
1.若网站准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数（表1给出了其中5种DVD的数据）。

另外根据经验有，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。

网站现有10万个会员，用表1中的数据进行推广，计算出应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD？如果要保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD该如何准备？
2.表2中列出了网站手上100种DVD的现有张数和当前需要处理的1000位会员的在线订单，分配这些DVD，使会员获得最大的满意度。

并具体列出前 30位会员（即C0001~C0030）分别获得哪些DVD。

3.继续考虑表2，并假设表2中DVD的现有数量全部为0。

决定每种DVD的购买量，以及如何对这些DVD进行分配，才能使一个月内95%的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大？
4. 深入研究DVD的需求预测、购买和分配中的重要问题，提出这些问题并建立模型加以改进。

表 1
表 2
二、模型假设
1. 考虑到邮寄时间的限制，DVD在一个月内分配后返还的次数是有限的。

2.会员当月租赁的DVD在当月内归还。

3.当会员要归还DVD时，该DVD肯定可以在下一个月前回到网站。

4. 会员得到该DVD地满意度与会员对该DVD的偏爱程度成正相关的。

三、问题分析
1. 总体解题思路：
在解决第一小题时：会员是否一个月租赁两次是一个随机事件，服从0-1分布，因此要真正保证50%的会员得到满足，就必须使用概率论与数理统计的方法，本文在取定一个合理的置信度后，计算出至少要订购的DVD数量。

在解决第二小题时：我们认为网站的分配可以分为两个阶段的分配，其中第一个阶段的分配，网站是可以完全掌控的，而第二个阶段则是一个以最大期望满意度为目标含有随机变量的规划模型，在计算时我们考虑用贪婪算法得出近似最优解。

对于第三个小题，我们认为可以在第一个小题和第二个小题结合得到，考虑先用第一小题的方法算出网站应该购入的DVD数量，在此基础上再建立和第二小题类似的规划模型来解决。

最后一个问题具有较多的研究方向，由于时间关系，我们仅就邮资最小，网站的成本最低，盈利最大这个方面进行了一些讨论。

2. 题目要义的理解：
（1）一个月内DVD出租次数的限制：
根据假设1，结合实际，由于邮寄货物一般要一到两个星期左右，因此本文考虑一张DVD在一个月内最多只能分配两次，即只能在初次分配后由会员返还一次，
也就是说一个月可以考虑有两个阶段的分配，第一阶段是网站对其拥有的DVD进行初次分配，这一阶段的分配网站在某一原则下（文中是满意度最大原则）是可以完全掌控的；
第二个阶段网站可分配的DVD数量是由第一阶段分配后剩下的DVD数量加上第一阶段分配的会员中返还得DVD数量之和。

这一阶段的分配是带有随机性的，因为会员是否返还DVD（也就是一个月租赁两次）是一个随机事件，这一阶段，因此必须在承认随机性的前提上考虑其分配。

（2）会员满意度ααα的定义：
根据假设4，本文满意度ααα定义如下:
若题中所给表2中会员i对第j张DVD的订单是a ij（a ij越小，偏爱程度越
ααα+1−ααα，如果a ij 高），则会员i得到第j张DVD的满意度ααα=max
1≤i≤1000,1≤j≤100
＝0，则ααα=0，与假设相符合。

四、符号说明
x j网站对第j张DVD的购入量
a ij满意度矩阵中的元素，表示第i个会员对收到第j张DVD的满意度
y ij 0-1变量，y ij＝1表示第一个租赁阶段内将第j张DVD租赁给第i个会员，否则表示没有租赁给第i个会员
z ij 0-1变量，z ij＝1表示第二个租赁阶段内将第j张DVD租赁给第i个会员，否则表示没有租赁给第i个会员
M1 第一阶段分配的最大满意度
M2 第二阶段分配的最大满意度
M总的最大满意度
五、模型的建立
1. 问题一：
模型1：从最直观的思路分析，既然分配到DVD的会员中有60%的人会归还碟片并再次租赁，那么最少需要的购入量将是1.6x1≥ 0.5d1，即
x1 ≥100/1.6＝62. 5。

（以下计算都以DVD1为例进行分析）
模型2：模型1简便易行，直观容易理解，易于推广，但是忽略了“根据历史数据得到的60%不是一个绝对比例而是一个估计量的期望值，实际上每个会员是否归还碟片并再次租赁是一个随机事件”的事实。

根据以上的思路深入分析，可以得到更为科学的模型：
设d j为想看第j张DVD的会员数量；N i为第i个会员一个月内是否第二次租赁的随机事件，服从0-1分布；I j为对第j种DVD，它的某一次分配所分给的会员的
指标集； T j＝∑αα
α∈αα
，表示对第j种DVD，它的一次分配中可以有多少DVD 被归还供再租赁的随机事件，服从二项分布。

既然DVD的分配是一个随机过程，那么必须要对使“想看DVD1的会员中至少50%在一个月内能够看到DVD1”这一事件设立一个置信度，本题中我们令置信度为99%（即不能满足需要的情况发生的概率小于1%，是小概率事件）。

要使会员的需要有50%被满足，就要使归还的碟片数T1若和购入的碟片数x1满足：
T1＋x1≥ 0.5d1即T≥0.5d1﹣x1
于是有： P（T1≥ 0. 5d1﹣x1）≥ 0.99
T1服从参数p = 0.6，n＝x1的二项分布B（n，p），故由中心极限定理，用标准正态分布近似得到：
P(11
√αp（1−p）≥11
√αp（1−p）
)≥0.99 ?
φ（11
αp（1−p）
）≥0.99
将题中数据代入计算得到：1
√αp（1−p）
）≥0.99
查表［1］得：1
√0.24x
≥ 2.33
得到的是一个一元二次方程，利用求根公式求出与现实意义相吻合的解，舍去不合理的解，便得到了购入量的正解
x1≥68.40
由于历史数据是实际数据的样本，根据数理统计中的格列文科定理知，总体的购入量趋于样本购入量的100倍，因此实际的购入量至少是68400。

类似的，可分别解出五种DVD的至少购入量，结果如下表
对于“三个月内至少95%的会员能看到DVD1”这一事件，设每个月的分配中归还再租赁的DVD数的随机变量分别为α11、α12、α13，由于每个月月初所能分配的碟片数量均为x1(这保证了α11、α12、α13相互独立)，且每个T1K都满足参数p = 0. 6，n＝x1的二项分布，因此α11、α12、α13服从参数p＝0.6，n＝3x1的二项分布，因此要使95%的会员需求得到满足，同样取置信度为99%，可得
P(α11＋α12＋α13≥0.95d1﹣3x1) ≥0.99
?
P（1112131
√3αp（1−p）≥11
√3αp（1−p）
）≥0.99
类似前一部分的计算，可得到相应答案为:
2. 问题二：
DVD的分配由两个阶段组成，第一阶段是对现有碟片资源按照订单以追求满意度最大化进行分配，第二阶段是对第一阶段中一部分返回的碟片资源进行再分配。

从网站的角度看，要达到最大的满意度，最理想的情况是可以对第二阶段归还的会员进行控制，则有如下规划：
max ∑（αij+αij）αij
α,j
约束条件
{
∑αij=3αα
100
α=1
(1)∑ααα=3αα
100
α=1
(2)αα+αα=1600 (3)
∑ααα≤αα
1000
α=1
(4)∑ααα≤αα−∑（uα+wα）yαα
1000
α=1
1000
α=1
(5)
y
αα
+zαα≤1 (6) y
αα
，zαα，uα，wα=0or1
其中约束条件（1）（2）保证每个会员每次获得0或3张DVD；（3）表示有60%的会员在一个月内租赁2次；（4）表示第一阶段每种DVD的分配量不超过网站拥有的该种DVD的数量；（5）表示第二阶段每种DVD的分配量不超过第一阶段分配后的直接剩余量与第一阶段分配量的返还量之和；（6）表示不能把会员看过的DVD再分配给同一会员。

但是这个模型存在不合理性，在对第二阶段进行分配时，返还的对象及返还的碟片数量的多少均是随机的，直接用60%这个期望值进行计算是不合理的。

比较可行的做法是把z ij 看成随机变量，通过z ij 的分布列来表示约束，并以第二阶段的最大期望满意度为目标进行规划，这样就导致整个规划的目标值也是一个期望值。

但是第一阶段的分配方法对于网站来说是完全可支配的，其规划如下：
max ∑αij αij i ,j
约束条件 {∑αij =3 (1)
100α=1∑αij 1000α=1≤αα αij =0 or 1
对于这个规划，由于u α也是0-1变量导致问题求解困难，因此我们考虑对可行
域进行缩放，即把条件（1）分别改成(1) ∑αij =100α=13和(1)”∑αij ≤100α=13来求解，
经 求解验证缩放的可行域中求得的最优值是一样的，由夹逼原理可知这个最优值原来的可行域中的规划问题的最优解，具体结果见模型的求解。

第二阶段规划：
这一阶段是第一阶段的延续，考虑的是在第一阶段分配结束后，网站用剩下的DVD 加上会员返还的DVD 来进行再一次分配的过程。

但第二阶段的归还人和数量是不确定的，一般来说不能以规划来进行求解。

然而第二阶段求的实际上是满意度的最大数学期望，则我们考虑以概率意义上来讲，网站能回收到借出DVD 的百分数在60%左右的小范围内浮动。

因此我们考虑第二阶段初网站拥有各种DVD 的量
是个定值。

这是对满意度期望的一个很好近似。

而此时的满意度矩阵和发生了变化。

新的满意度矩阵是第一阶段的满意度矩阵把在第一阶段中己经得到满足的订单的满意度清零，就是说把第一阶段分配结果中y ij ＝1相对应的原满意度矩阵中的非零元素αij 改为零就得到了新的满意度矩阵。

具体规划如下：
max ∑αij αij ′i ,j
约束条件 {∑αij =3αα100α=1 (1)
∑ααα1000α=1≤αα−0.4∑ααα1000α=1ααα=0 αα 1
(2) （1）表示第二阶段每个会员获得0张或3张DVD ；
（2）表示第二阶段每种DVD 的分配量不能超过第一阶段分配后的直接剩余量与第一阶段分配量的返还量之和；具体结果也参见模型求解部分。

总的来说，上述分两阶段的规划实质上是用类似贪婪算法来计算理想的以最大期望满意度为目标含有随机变量的规划模型，即分别考虑两个阶段的最优解，合成后的解即使不是最优解，也是一个较优解。

3. 问题三
解决这一小题时，可以先在第一题的基础上算出网站应该购买的DVD 数量，再在上述DVD 数量的限制上用第二题的方法算出满意度最大的分配方案。

首先根据第一小题的方法算出DVD 的购买量 x α’ 如下表：
计算的规划如下：
第一阶段：
max ∑ααααααα,α
约束条件 {∑ααα=3αα
100α=1∑ααα1000α=1≤αα′ααα=0 αα 1
第二阶段：
max ∑ααααij ‘α,α
约束条件 {∑ααα=3αα100α=1
∑ααα≤αα′−0.4∑αij 1000α=11000α=1ααα=0 αα 1
这两个约束方程的主体思路与第二题类似，唯一的区别是原来的x j 需要用x j ’ 即新的购入量来取代。

4. 第四个问题的解决方案
（1）作为网站管理人员，首要要考虑的是网站的收入来源。

显然会费是一个重要组成部分，因此会费如何定价问题也是值得研究的。

由于邮费是单方由网站支付，因此邮费就成为其最主要的支出，则邮费的所有最大可能支出必须小于所收会费的总和，我们假设在一定时期内会员数量变动不是很大。

于是有：
max ∑αα(αα+αα)α
{ ∑ααα=3ααα
∑ααα=3ααα αα+αα=1.6α
∑ααα≤ααα
∑ααα≤αα−∑(αα+αα)αααααααα+ααα≤1 ααα ααα αα αα=0 αα 1 其中r i 是网站到第i 个人的邮费支出，其他的约束条件实际上就是网站的租赁要求。

我们在上述规划中将60%实际当成了确定量来计算，因为要考虑的是极端情
形所以小概率事件也可以考虑在内。

则在这种情况下算出的就是邮费的一个上界，则定会费时总和一定要大于这个上界。

（2）既然有邮费的支出存在，作为盈利为目的的网站，肯定要使邮费的支出降到极点，然势必会影响整体的满意度，而满意度是网站能否吸引会员，吸引广告的重要指标。

也就是说满意度是网站收入能力的度量，则作为网站管理者势必应该结合考虑两方面的因素：
max (φ(∑αααααα)−(∑αα∗αα))
α
α,α
{∑ααα=3ααα
∑ααα≤ααα
ααα=0αα1
当然这只是第一阶段的情况，我们也可以像解答问题2那样对第二阶段也列规划方程。

其中φ(x)是满意度与经济效益的函数，肯定正相关，在实际操作中可以把它看成一个线性函数，这样对求解也是有很大方便的。

六、模型的解答
（1）问题1的解答：
保证50%的会员在一个月内能看到订购的DVD所需要的DVD购入量
保证95%的会员在三个月内能看到订购的DVD所需要的DVD购入量
（2）问题2的解答：
第二小题第一阶段内DVD的分配方案
最大满意度M1＝ 24746第二小题第二阶段内DVD的分配方案
（若表中数字为0说明没有分配到DVD)
最大满意度M2＝ 9461
总的满意度M=M1＋M2＝ 34207（3）问题3的解答
第三小题第一阶段内DVD分配方案
最大满意度M1＝27000第三小题第二阶段内DVD分配方案
最大满意度M2＝18000
总的满意度M＝M1﹢M2＝ 45000
七、模型的优化
原模型中对于每次租赁的DVD有严格要求只能是3的倍数，这显然有其不合理性。

因为网站租赁还是以盈利为目的，其租赁DVD是要承担一定的风险的，比如会员的丢失或邮寄过程的差错使DVD不能归还。

则租赁出的越多风险越大，虽然邮寄单张和三张费用无异，但如果寄出的是会员不想看的DVD，则该额外的风险承担就没有价值。

因此我们考虑网站一次租赁给个人的DVD数量可以不是3的倍数，而且对模型的求解可以降低很大的规模。

八、模型的评价与建议
在确定满意度时，仅考虑了喜好程度对满意度的影响，比较直观和简便，但是不够全面。

在计算最大满意度时使用的规划模型实际上是经过了简化，将60%作为确
定的百分比来处理，同时将一个月划分为两个周期。

这个方法可以极大地简化计算，尤其是该题中的海量数据，可以大大提高效率和普及率。

但是这个方法不够准确，可能会使结果偏离真实值。

简单的以偏好程度来决定满意度，显然具有片面性。

实际上用户的满意度会受到很多方面的影响：如递送DVD的时间周期越短，用户满意程度会相应的提高；若多次未能满足会员的第一需要，会使会员对网站服务的整体期望下降；;若递送的DVD中错漏损坏过多，也会影响满意度。

因此，针对怎样在实际的营销中要获得最大满意度，特提出以下几点建议：
1. 建立分区邮购点，这个邮购点只相当于一个仓库，对于位于中心仓库较远位置的地区进行DVD邮寄配送，这样可使会员在更短的时间内得到预订 DVD，提高他们的满意度，也同时提高DVD的流通速度。

2. 会员奖励措施，即设立一定的奖励措施鼓励会员尽快寄回DVD，以提高其流通速度。

例如可以规定若在N次租赁中都可在一星期内寄回，则可奖励其本月内可多租赁一次DVD，对于N的选取，亦可建模分析求其最优值。

3. 记录与推荐，即记录会员己订阅过的DVD，并向其推荐供选择范围，当然推荐范围在库存可满足的情况下。

4. 二手DVD的出售。

部分DVD有其畅销期，在此期间内需要较大的流通量，但一段时间后，其流通量必然减小，这时，可根据目前所需量而适当以较低价格出售部分DVD，以购买更新的种类。

5. 另外在实际的网站运营中，位于网站所在地的会员往往是通过市内投递的方式来交付DVD而非邮寄，这样可以提高运营周期节省邮递费用。

参考文献：
【1】胡细宝等概率论·数理统计·随机过程北京北京邮电大学出版社2004【2】谢金星等优化模型与LINDO/LINGO软件北京清华大学出版社2005. 7。