2017版高考数学(鲁、京、津专版理)一轮复习文档：第八章 立体几何与空间向量 8.3 含答案

1．四个公理
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面．
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
公理4：平行于同一条直线的两条直线平行．
2．直线与直线的位置关系
（1)位置关系的分类
错误!
（2)异面直线所成的角
①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角）叫做异面直线a与b所成的角(或夹角）．
②范围：错误!。

3．直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况．4．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．
5．等角定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．【思考辨析】
判断下面结论是否正确（请在括号中打“√"或“×”）
(1）如果两个不重合的平面α,β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a.（√)
(2）两个平面α，β有一个公共点A,就说α,β相交于过A点的任意一条直线．（×)
（3)两个平面α，β有一个公共点A，就说α,β相交于A点，并记作α∩β＝A.（×)
（4）两个平面ABC与DBC相交于线段BC。

（×）
(5）经过两条相交直线，有且只有一个平面．( √）
(6）没有公共点的两条直线是异面直线．（×)
1．下列命题正确的个数为（)
①梯形可以确定一个平面；
②若两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直线平行；
③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；
④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．
A．0 B．1
C．2 D．3
答案C
解析②中两直线可以平行、相交或异面，④中若三个点在同一条直线上,则两个平面相交，①③正确．
2．已知a,b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b( ) A．一定是异面直线B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线
答案C
解析由已知得直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线,但不可能为平行直线,若b∥c，则a∥b,与已知a、b为异面直线相矛盾．3．（教材改编)两两平行的三条直线可确定______个平面．
答案1或3
解析三直线共面确定1个，
三直线不共面，每两条确定1个，可确定3个．
4。

（教材改编）如图所示,已知在长方体ABCD－EFGH中，AB＝
2错误!，AD＝2错误!，AE＝2，则BC和EG所成角的大小是______,AE 和BG所成角的大小是________．
答案45°60°
解析∵BC与EG所成的角等于EG与FG所成的角即∠EGF，tan∠EGF＝错误!＝错误!＝1，∴∠EGF＝45°，
∵AE与BG所成的角等于BF与BG所成的角即∠GBF，tan∠GBF ＝错误!＝错误!＝错误!,∴∠GBF＝60°。

5．已知空间四边形ABCD中，M、N分别为AB、CD的中点,则下列判断：①MN≥错误!（AC＋BD)；②MN>错误!（AC＋BD）；③MN ＝错误!(AC＋BD）；④MN〈错误!(AC＋BD)．
其中正确的是________．
答案④
解析如图，取BC的中点O，
连接MO、NO，
则OM＝错误!AC,ON＝错误!BD，
在△MON中，MN〈OM＋ON
＝错误!(AC＋BD）,∴④正确．
题型一平面基本性质的应用
例1 如图所示,正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．求证：
(1）E、C、D1、F四点共面；
（2)CE、D1F、DA三线共点．
证明(1)如图，连接EF，CD1，A1B.
∵E、F分别是AB、AA1的中点，∴EF∥BA1。

又A1B∥D1C，∴EF∥CD1,
∴E、C、D1、F四点共面．
（2)∵EF∥CD1，EF<CD1，
∴CE与D1F必相交，
设交点为P,如图所示．
则由P∈CE,CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.
同理P∈平面ADD1A1。

又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA,
∴P∈直线DA.∴CE、D1F、DA三线共点．
思维升华公理1是判断一条直线是否在某个平面的依据；公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据;公理3是证明三线共点或三点共线的依据．
如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥AD且BC＝错误!
AD，BE∥AF且BE＝1
2
AF，G、H分别为FA、FD的中点．
(1）证明：四边形BCHG是平行四边形；
(2）C、D、F、E四点是否共面?为什么？
（1)证明由已知FG＝GA，FH＝HD，
可得GH綊错误!AD.
又BC綊错误!AD,∴GH綊BC。

∴四边形BCHG为平行四边形．
(2)解∵BE綊错误!AF，G是FA的中点，∴BE綊FG,
∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.
由（1)知BG綊CH，∴EF∥CH,∴EF与CH共面．
又D∈FH,∴C、D、F、E四点共面．
题型二判断空间两直线的位置关系
例2 (1）（2015·广东）若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内,l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( ）A．l与l1,l2都不相交
B．l与l1,l2都相交
C．l至多与l1，l2中的一条相交
D．l至少与l1，l2中的一条相交
（2)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列判断错误的是( )
A．MN与CC1垂直
B．MN与AC垂直
C．MN与BD平行
D．MN与A1B1平行
（3）在图中，G、N、M、H分别是正三棱柱（两底面为正三角形的直棱柱）的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)
答案（1）D （2)D (3)②④
解析（1)若l与l1，l2都不相交，则l∥l1,l∥l2，∴l1∥l2,这与l1和l2异面矛盾，∴l至少与l1，l2中的一条相交．
（2）连接B1C，B1D1，则点M是B1C的中点，MN是△B1CD1的中位线，∴MN∥B1D1，
∵CC1⊥B1D1，AC⊥B1D1,BD∥B1D1,
∴MN⊥CC1,MN⊥AC，MN∥BD。

又∵A1B1与B1D1相交，
∴MN与A1B1不平行，故选D。

(3）图①中,直线GH∥MN；
图②中，G、H、N三点共面，但M∉面GHN，
因此直线GH与MN异面；
图③中,连接MG,GM∥HN，因此GH与MN共面；
图④中，G、M、N共面，但H∉面GMN，
因此GH与MN异面．
所以图②④中GH与MN异面．
思维升华空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定．对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线,可利用三角形（梯形）中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决．如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图，G、H、M、N分别为DE、BE、EF、EC的中点,在这个正四面体中,
①GH与EF平行；
②BD与MN为异面直线；
③GH与MN成60°角；
④DE与MN垂直．
以上四个命题中，正确命题的序号是________．
答案②③④
解析把正四面体的平面展开还原，
如图所示，GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线,GH与MN成60°角，DE⊥MN.
题型三求两条异面直线所成的角
例3 （1)如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AC的中点，AA1∶AB＝错误!∶1，则异面直线AB1与BD所成的角为_______________________________________．
答案60°
解析取A1C1的中点E，连接B1E,ED，AE，
在Rt△AB1E中，∠AB1E即为所求，
设AB＝1,则A1A＝错误!，AB1＝错误!，B1E＝错误!，
故∠AB1E＝60°.
(2)空间四边形ABCD中,AB＝CD且AB与CD所成的角为30°，E、F分别为BC、AD的中点，求EF与AB所成角的大小．
解如图，取AC的中点G,连接EG、FG，则EG綊错误!AB，FG綊错误!CD，
由AB＝CD知EG＝FG，
∴∠GEF(或它的补角）为EF与AB所成的角，∠EGF（或它的补角)为AB与CD所成的角．
∵AB与CD所成的角为30°，
∴∠EGF＝30°或150°.
由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，
当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°；
当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°。

故EF与AB所成的角为15°或75°.
思维升华（1）求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方
法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点）作平行线平移；补形平移．
（2)求异面直线所成的角的三步曲：即“一作、二证、三求”．其中空间选点任意，但要灵活，经常选择“端点、中点、等分点”,通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成的角，转化为解三角形问题,进而求解．
（1）（2014·大纲全国)已知正四面体ABCD中,E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为( ）
A。

错误! B.错误!
C.错误!
D.错误!
（2）直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（）
A．30°B．45°
C．60°D．90°
答案（1）B (2)C
解析(1)画出正四面体ABCD的直观图，如图所示．
设其棱长为2，取AD的中点F,连接EF，
设EF的中点为O，连接CO，
则EF∥BD，
则∠FEC就是异面直线CE与BD所成的角．△ABC为等边三角形，则CE⊥AB,
易得CE＝错误!，
同理可得CF＝3，
故CE＝CF.
因为OE＝OF，所以CO⊥EF。

又EO＝错误!EF＝错误!BD＝错误!，
所以cos∠FEC＝错误!＝错误!＝错误!。

(2)如图,可补成一个正方体，
∴AC1∥BD1。

∴BA1与AC1所成角的大小为∠A1BD1.
又易知△A1BD1为正三角形，
∴∠A1BD1＝60°。

即BA1与AC1成60°的角．
15．构造模型判断空间线面位置关系
典例：已知m,n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：
①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；
②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；
③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；
④若m⊥α，n∥β,α∥β,则m⊥n。

其中所有正确的命题是（）
A．①④B．②④
C．①D．④
思维点拨构造一个长方体模型，找出适合条件的直线与平面,在长方体内判断它们的位置关系．
解析借助于长方体模型来解决本题，对于①，可以得到平面α，β互相垂直,如图（1)所示，故①正确；对于②,平面α、β可能垂直，如图（2）所示，故②不正确；对于③，平面α、β可能垂直，如图(3）所示，故③不正确；对于④，由m⊥α，α∥β可得m⊥β，因为n∥β,所以过n作平面γ，且γ∩β＝g，如图(4)所示，所以n与交线g 平行，因为m⊥g，所以m⊥n，故④正确．
答案A
温馨提醒（1)构造法实质上是结合题意构造合题意的直观模型，然后将问题利用模型直观地作出判断，这样减少了抽象性，避免了因考虑不全面而导致解题错误；（2)对于线面、面面平行、垂直的位置关系的判定,可构造长方体或正方体化抽象为直观去判断．
[方法与技巧]
1．主要题型的解题方法
(1）要证明“线共面”或“点共面"可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”)．
（2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上，因此共线．
2．判定空间两条直线是异面直线的方法
(1）判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．
（2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，
从而可得两线异面．
3．求两条异面直线所成角的大小,一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决．根据空间等角定理及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关,往往可以选在其中一条直线上（线面的端点或中点)利用三角形求解．
[失误与防范］
1．正确理解异面直线“不同在任何一个平面内”的含义,不要理解成“不在同一个平面内”．
2．不共线的三点确定一个平面,一定不能丢掉“不共线”条件．3．两条异面直线所成角的范围是（0°，90°］．
A组专项基础训练
（时间：35分钟)
1．在下列命题中，不是公理的是( )
A．平行于同一个平面的两个平面相互平行
B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面
C．如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内
D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
答案A
解析选项A是面面平行的性质定理，是由公理推证出来的,而公理是不需要证明的．
2．(2014·广东）若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是（)
A．l1⊥l4
B．l1∥l4
C．l1与l4既不垂直也不平行
D．l1与l4的位置关系不确定
答案D
解析在如图所示的长方体中，
不妨设l2为直线AA1，l3为直线CC1,
则直线l1，l4可以是AB，BC；
也可以是AB，CD;也可以是AB，B1C1；
这三组直线相交,平行，垂直，异面，故选D.
3．已知直线a和平面α，β,α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是( )
A．相交或平行B．相交或异面
C．平行或异面D．相交、平行或异面
答案D
解析依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面，故选D。

4．设四面体的六条棱的长分别为1,1，1,1，2和a，且长为a的棱与长为错误!的棱异面，则a的取值范围是（)
A．（0，错误!) B．（0，错误!)
C．(1，错误!）D．（1，错误!)
答案A
解析此题相当于一个正方形沿着对角线折成一个四面体，长为a 的棱长一定大于0且小于错误!.故选A.
5．四棱锥P－ABCD的所有侧棱长都为错误!，底面ABCD是边长为2的正方形，则CD与PA所成角的余弦值为（)
A。

25
5
B.错误!
C.错误!
D.错误!
答案B
解析因为四边形ABCD为正方形,故CD∥AB，则CD与PA所成的角即为AB与PA所成的角,即为∠PAB.
在△PAB内，PB＝PA＝错误!，AB＝2，利用余弦定理可知cos∠PAB ＝错误!＝错误!＝错误!，故选B。

6．（教材改编）如图所示，平面α,β，γ两两相交，a,b，c为三条交线，且a∥b，则a与c，b与c的位置关系是________．
答案a∥b∥c
解析∵a∥b，a⊂α，b⊄α，∴b∥α。

又∵b⊂β，α∩β＝c，∴b∥c.∴a∥b∥c.
7．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．
答案4
解析EF与正方体左、右两侧面均平行．所以与EF相交的侧面有
4个．
8．(2015·浙江)如图，
三棱锥ABCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3,AD＝BC＝2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN,CM所成的角的余弦值是________．
答案错误!
解析
如图所示，连接DN，取线段DN的中点K，连接MK，CK。

∵M为AD的中点,
∴MK∥AN，
∴∠KMC为异面直线AN,CM所成的角．
∵AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，
N为BC的中点,
由勾股定理求得AN＝DN＝CM＝2错误!，
∴MK＝错误!.
在Rt△CKN中，CK＝错误!＝错误!.
在△CKM中,由余弦定理,得
cos∠KMC＝错误!＝错误!。

9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有________条．答案无数
解析方法一在EF上任意取一点M,直线A1D1与M确定一个平面,这个平面与CD有且仅有1个交点N,M取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这3条异面直线都有交点．如图所示．
方法二在A1D1上任取一点P，过点P与直线EF作一个平面α,因CD与平面α不平行，所以它们相交,设它们交于点Q，连接PQ，则PQ与EF必然相交，即PQ为所求直线．由点P的任意性,知有无数条直线与三条直线A1D1，EF，CD都相交．
10.如图，空间四边形ABCD中，E、F、G分别在AB、BC、CD上，且满足AE∶EB＝CF∶FB＝2∶1，CG∶GD＝3∶1，过E、F、G的平面交AD于点H.
(1)求AH∶HD；
（2)求证：EH、FG、BD三线共点．
（1)解∵错误!＝错误!＝2，∴EF∥AC,
∴EF∥平面ACD，而EF⊂平面EFGH，
平面EFGH∩平面ACD＝GH，
∴EF∥GH，∴AC∥GH.
∴错误!＝错误!＝3。

∴AH∶HD＝3∶1。

（2)证明∵EF∥GH，且错误!＝错误!,错误!＝错误!,∴EF≠GH，∴四边形EFGH为梯形．
令EH∩FG＝P，则P∈EH，而EH⊂平面ABD,又P∈FG，FG⊂平面BCD，
平面ABD∩平面BCD＝BD，
∴P∈BD.∴EH、FG、BD三线共点．
B组专项能力提升
（时间:30分钟) 11．以下四个命题中，
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则点A、B、C、
D、E共面；
③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
正确命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
答案B
解析①中显然是正确的；②中若A、B、C三点共线,则A、B、C、D、E五点不一定共面；③构造长方体或正方体,如图显然b、c异面，故不正确；④中空间四边形中四条线段不共面,故只有①正确．
12．如图，矩形ABCD中，AB＝2AD，E为边AB的中点，将△ADE 沿直线DE翻折成△A1DE.若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下面四个命题中不正确的是( )
A．|BM|是定值
B．点M在某个球面上运动
C．存在某个位置,使DE⊥A1C
D．存在某个位置，使MB∥平面A1DE
答案C
解析取DC中点F，连接MF，BF，
MF∥A1D且MF＝错误!A1D，FB∥ED且FB＝ED,所以∠MFB＝∠A1DE.由余弦定理可得MB2＝MF2＋FB2－2MF·FB·cos∠MFB是定值，所以M是在以B为圆心，MB为半径的球上，可得A、B正确．由MF∥A1D与FB∥ED可得平面MBF∥平面A1DE，可得D 正确;A1C在平面ABCD中的射影与AC重合，AC与DE不垂直，可得C不正确．
13．已知a，b,c为三条不同的直线,且a⊂平面α，b⊂平面β,α∩β＝c。

给出下列命题：
①若a与b是异面直线,则c至少与a，b中的一条相交；
②若a不垂直于c，则a与b一定不垂直;
③若a∥b，则必有a∥c；
④若a⊥b，a⊥c，则必有α⊥β.
其中正确命题的个数是________．
答案2
解析命题①③正确，命题②④错误．其中命题②中a与b有可能垂直；命题④中当b∥c时，平面α，β有可能不垂直．
14。

如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中,O为正方形ABCD的中心，H为直线B1D与平面ACD1的交点．求证：D1、H、O三点共线．
证明连接BD,B1D1，如图．
则BD∩AC＝O，
∵BB1綊DD1，
∴四边形BB1D1D为平行四边形，又H∈B1D，
B1D⊂平面BB1D1D，
则H∈平面BB1D1D,
∵平面ACD1∩平面BB1D1D＝OD1，∴H∈OD1.
即D1、H、O三点共线．
15.如图所示,等腰直角三角形ABC 中,∠A ＝90°，BC ＝错误!,DA ⊥AC ,DA ⊥AB ,若DA ＝1，且E 为DA 的中点．求异面直线BE 与CD 所成角的余弦值．
解 如图所示，取AC 的中点F ，连接EF ，BF ,
在△ACD 中，E 、F 分别是AD 、AC 的中点，
∴EF ∥CD 。

∴∠BEF 或其补角即为异面直线BE 与CD 所成的角．
在Rt△EAB 中，AB ＝AC ＝1，AE ＝错误!AD ＝错误!,
∴BE ＝错误!。

在Rt△EAF 中，AF ＝12
AC ＝错误!，AE ＝错误!， ∴EF ＝错误!.
在Rt△BAF 中，AB ＝1，AF ＝12
，∴BF ＝错误!。

在等腰三角形EBF 中，cos∠FEB ＝错误!＝错误!＝错误!.
∴异面直线BE 与CD 所成角的余弦值为错误!.。