几类和扇有关图的优美性

几类和扇有关图的优美性
王涛;魏静;李德明
【摘要】证明下面的结论：对任意自然数n ≥2，图K1∨ Pn ∪ Pn＋1是（n －1）‐强优美图．对任意自然数n ≥3，图K1∨ P（1）n ∪ P（2）n∪ G是优美图；对任意自然数n≥4，图K1∨ P（1）n ∪ P（2）n ∪ P（3）n∪H是优美图，其中
k＝ n2．Pn是n个顶点的路，Gi为含有i条边的优美图．给定优美图Gn－1和
其优美标号 f ， Gk－1和其优美标号 g ，设u∈ Gn－1，v ∈ Gk－1且 f （u）＝ g（v）＝0，取不同的两边 xy和x′y′，点 x与u合并后得到的图记为 G，点x′与v合并后得到的图记为 H ．%This paper contained the following
results :for any natural number n≥2 ,the graph K1 ∨ Pn ∪ Pn+1 was (n-1)‐strong graceful ;for any natural number n≥3 ,the graph K 1 ∨ P(1 )n ∪
P(2 )n∪ G was graceful ; for any natural number n ≥ 4 , the graph K1 ∨
P(1)n ∪ P(2)n ∪ P(3)n ∪ H was graceful ,where k= n2 ,Pn be a path with n vertices , and Gi be a graceful graph with i edges .Given a graceful graph Gn-1 with its graceful labeling f ,and Gk-1 with its graceful labeling g ,we assumed that a vertex u∈ Gn-1 ,v∈ Gk-1 with f(u)= g(v)=0 .Taking two copies of P2 ,xy and x′y′,identifying vertices x and u ,x′and v ,we obtained the resulting graph G and H respectively .
【期刊名称】《安徽大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2016(040)004
【总页数】5页(P12-16)
【关键词】图;优美图;k-强优美图
【作者】王涛;魏静;李德明
【作者单位】华北科技学院基础部，河北三河 065201;华北科技学院基础部，河
北三河 065201;首都师范大学数学系，北京 100048
【正文语种】中文
【中图分类】O157.5
1972年,Golomb[1]给出了优美图的定义,随后k-优美图、k-强优美图、协调图、
强协调图等定义及图标号问题的进展情况相继给出[2-4].优美标号问题在编码设计、通讯网络、雷达脉冲等领域有重要应用.近年来,人们取得不少关于优美性的结论[5-12].
作者所讨论的图G(V,E)均为简单无向图,设V=V(G)为图G的顶点集,E=E(G)为图G 的边集,|E|为图G的边数,Kn是n个顶点的完全图,Pn是n个顶点的路, St(n)为
n+1个顶点的星. G1∨G2为图G1与G2的联图,其顶点集合
V(G1∨G2)=V(G1)∪V(G2),边集合E(G1∨G2)=E(G1)∪E(G2)∪F,其中
F={xy:x∈V(G1),y∈V(G2)}.联图K1∨Pm称为扇,其中K1的顶点称为扇的中心. [a]表示不超过实数a的最大整数.
定义1 设图G=(V,E),k为正整数,如果存在一个单射f:V→{0,1,…,|E|+k-1},使得对
所有的边uv∈E,由f′(uv)=|f(u)-f(v)|导出一个双射f′:E→{k,k+1,…,|E|+k-1},则称图
G是k-优美图,f是G的一个k-优美标号.1-优美图也称优美图,1-优美标号也称优
美标号.
定义2 设图G=(V,E),k为正整数,如果存在一个单射f:V→{0,k,…,|E|+k-1},使得对
所有的边uv∈E,由f′(uv)=|f(u)-f(v)|导出一个双射f′:E→{k,k+1,…,|E|+k-1},则称图
G是k-强优美图,f是G的一个k-强优美标号.
相关文献对几类和扇有关图的k-强优美性和优美性进行了研究[8-12]．论文对的k-强优美性以及∪G和∪G的优美性进行了讨论,推广和改进了文[8-12]的若干结论．
1 K1∨(Pn∪Pn+1)的k-强优美性
定理1 对任意自然数n≥2,图是(n-1)-强优美图．
证明设K1:y0, Pn+1:x0,x1,x2,…,xn,Pn:xn+1,xn+2,…,x2n;|E|=4n.
当n≥2时,定义图的(n-1)-强优美标号f如下
验证标号f是图的(n-1)-强优美标号.
(1) f(y0)=0,n+1=f(x3),f(x5),…,f(x2n-1),f(x0),f(x1),f(x2n),f(x2n-2),…,f(x2)=5n-2是严格单调递增,故映射{是单射.
(2) 对所有的边,设f′(uv)=|f(u)-f(v)|,则
f′(y0x0)=3n-1,f′(y0x1)=4n-2,
从而
所以，f′:E→{是双射.
综合(1)，(2),f是的(n-1)-强优美标号.
图1所示为的5-强优美标号.
引理1[12] 设图Gk-1是任意一个k-1条边的优美图,图G(V,E)是k-强优美图,f是它的一个k-强优美标号,且f是V到{的单射,则G∪Gk-1是优美图.
定理2 对任意自然数n≥3,Gn-2是任意一个n-2条边的优美图,则图∪Gn-2是优美图.
证明由定理1知,当n≥3时,是(n-1)-强优美图.且由定理1的证明知,存在的(n-
1)-强优美标号f,使得f是从到{的单射.结合引理1,图是优美图.
2 图的优美性
点粘合一条悬挂边构成的图,则对任意自然数n≥3,图∪G是优美图．
证明设.
当n≥3时,定义图的(n-1)-优美标号f如下
设g是图Gn-1的一个优美标号,定义图G的顶点标号f为:当v∈V(Gn-1)
时,f(v)=g(v)+1.设增加的顶点为u,取f(u)=3n.
下面证明f是图∪G的优美标号.
(1) 由g是图Gn-1的一个优美标号,易知定义在顶点Gn-1的f:V(Gn-1)→{是单射. 当n≥3时,有f(y0)=0,n+1=f(x3),f(x5),…,f(x2n-1), f(u),f(x1),f(x2n),f(x2n-2),…,f(x2)=5n-2是严格单调递增,定义在顶点和u的f:V→{是单射.因此,定义在顶点的f:V→{是单射.
(2) 对所有的边类似定理1,可以验证由f导出映射f′:f′(uv)=|f(u)-f(v)|是
{n,n+1,…,3n-2}∪{3n,3n+1,…,5n-2}的双射.由于g是图Gn-1的一个优美标号,对任意v∈V(Gn-1),取f(v)=g(v)+1,增加的顶点为u标号f(u)=3n,则由f导出映射f′:f′(uv)=|f(u)-f(v)|是E(G)→{1,2,…,n-1,3n-1}的双射.
所以,
综合(1)，(2),图是优美图.
由于路Pn和星St(n-1)是(n-1)条边的优美图,在优美标号为0的顶点增加悬挂边,可以构成Pn+1和St(n),因此,特殊的取G为Pn+1和St(n),可得文[11]中结论:
推论1 对任意自然数n≥3,图是优美图．
推论2 对任意自然数n≥3,图是优美图．
图2所示为的优美标号.
图3所示为∪St(7)的优美标号.
3 图的优美性
粘合一条悬挂边构成的图,设,则对任意自然数n≥4,图∪G是优美图．
证明设.当时,定义图的优美标号f如下
其中:a为数列1,2,…,n中的最大奇数.
其中:b为数列1,2,…,n中的最大偶数.
设g是图Gk-1的一个优美标号,定义图G的顶点标号f为:当v∈V(Gk-1)
时,f(v)=g(v)+1.设增加的顶点为u,取f(u)=4n+k-1．
仅验证n为偶数时,标号f是图∪G的优美标号.n为奇数时类似.
(1) 由g是图Gk-1的一个优美标号,易知定义在顶点Gk-1的f:V(Gk-1)→{是单射. 当n≥4时,f(x0)=0,k+1=f(x3),f(x5),…,f(xn-1),f(y3),f(y5),…,f(y2n-1)
f(x1),f(xn),f(xn-2),…,f(x2),f(u),f(y1),f(y2n),f(y2n-2),…,f(y2)=6n+k-3是严格单调递增,从而,定义在顶点和u的f:V→{是单射.
故映射{是单射.
(2) 对所有的边,对所有的边uv∈E,设
类似定理3,可以验证: f′:E→{是双射.
综合(1) (2),f是的优美标号.
类似,由推论1、2可得推论3～4.
推论3 设,则对任意自然数n≥4,图是优美图．
推论4 设,则对任意自然数n≥4,图是优美图．
【相关文献】
[1] GOLOMB S W. How to number a graph, graph theory and computing[M]. New York: Academic Press, 1972: 23-37.
[2] 马克杰. 优美图[M]. 北京:北京大学出版社, 1991.
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[6] 王涛, 刘海生, 李德明. 和轮相关图的优美性 [J]. 中山大学学报 (自然科学版), 2011, 50 (6): 16-19.
[7] 王涛, 王清, 李德明. 非连通图及的优美性[J]. 中山大学学报 (自然科学版), 2012, 51 (5): 54-57.
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[11] 孙彩云, 王涛. 非连通图及(n)的优美性[J]. 中山大学学报 (自然科学版), 2014, 53 (3): 52-56.
[12] 王涛, 苗文静, 李德明. 图的k-强优美性[J]. 合肥工业大学学报 (自然科学版), 2013, 36 (4): 486-490.。