绥化市初中数学二次函数经典测试题附解析

绥化市初中数学二次函数经典测试题附解析
一、选择题
1．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ＞0)经过点M (﹣1，2)和点N (1，﹣2)，则下列说法错误的是( )
A ．a +c ＝0
B ．无论a 取何值，此二次函数图象与x 轴必有两个交点，且函数图象截x 轴所得的线段长度必大于2
C ．当函数在x ＜110
时，y 随x 的增大而减小 D ．当﹣1＜m ＜n ＜0时，m +n ＜
2a 【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次函数的图象和性质对各项进行判断即可．
【详解】
解：∵函数经过点M (﹣1，2)和点N (1，﹣2)，
∴a ﹣b +c ＝2，a +b +c ＝﹣2，
∴a +c ＝0，b ＝﹣2，
∴A 正确；
∵c ＝﹣a ，b ＝﹣2，
∴y ＝ax 2﹣2x ﹣a ，
∴△＝4+4a 2＞0，
∴无论a 为何值，函数图象与x 轴必有两个交点，
∵x 1+x 2＝2a
，x 1x 2＝﹣1，
∴|x 1﹣x 2|＝＞2， ∴B 正确；
二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ＞0)的对称轴x ＝﹣
2b a ＝1a ， 当a ＞0时，不能判定x ＜
110时，y 随x 的增大而减小； ∴C 错误；
∵﹣1＜m ＜n ＜0，a ＞0，
∴m +n ＜0，
2a ＞0， ∴m +n ＜2a
；
∴D 正确，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了二次函数的问题，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
2．如图是抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，m ），且与x 铀的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①abc ＞0；②a ﹣b +c ＞0；③b 2＝4a （c ﹣m ）；④一元二次方程ax 2+bx +c ＝m +1有两个不相等的实数根，其中正确结论的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C
【解析】
【分析】 根据抛物线的开口方向和与坐标轴的交点及对称轴可判别a ，b ，c 的正负；根据抛物线的对称轴位置可判别在x 轴上另一个交点；根据抛物线与直线y=m 的交点可判定方程的解．
【详解】
∵函数的图象开口向上，与y 轴交于负半轴
∴a>0,c<0
∵抛物线的对称轴为直线x=－
2b a
=1 ∴b<0
∴abc ＞0；①正确；
∵抛物线与x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x 轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间．
∴当x=-1时，y<0，
即a-b+c<0，所以②不正确；
∵抛物线的顶点坐标为（1，m ）， ∴2
44ac b a =m ， ∴b 2=4ac-4am=4a （c-m ），所以③正确；
∵抛物线与直线y=m 有一个公共点，
∴一元二次方程ax 2+bx+c=m+1有两个不相等的实数根，所以④正确．
故选:C ．
【点睛】
考核知识点：抛物线与一元二次方程．理解二次函数性质，弄清抛物线与一元二次方程的关系是关键．
3．如图是抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的部分图象，其顶点是（1，n ），且与x 的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①a -b+c ＞0；②3a+b=0；③b 2=4a （c-n ）；④一元二次方程ax 2+bx+c=n-1有两个不等的实数根．其中正确结论的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C
【解析】
【分析】 利用抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间，则当x=-1时，y>0，于是可对①进行判断；利用抛物线的对称轴为直线x=-2b a
=1，即b=-2a ，则可对②进行判断；利用抛物线的顶点的纵坐标为n 得到2
44ac b a
-=n ，则可对③进行判断；由于抛物线与直线y=n 有一个公共点，则抛物线与直线y=n-1有2个公共点，于是可对④进行判断．
【详解】
∵抛物线与x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x 轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间．
∴当x=-1时，y ＞0，
即a-b+c ＞0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=-
2b a
=1，即b=-2a ， ∴3a+b=3a-2a=a ，所以②错误；
∵抛物线的顶点坐标为（1，n ）， ∴2
44ac b a
-=n ， ∴b 2=4ac-4an=4a （c-n ），所以③正确；
∴抛物线与直线y=n-1有2个公共点，
∴一元二次方程ax 2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，所以④正确．
故选C ．
【点睛】
本题考查了二次函数图像与系数的关系，熟练掌握二次函数性质是解题的关键.
4．如图是抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n ），且与x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①4a ﹣2b +c ＞0；②3a +b ＞0；③b 2＝4a （c ﹣n ）；④一元二次方程ax 2+bx +c ＝n ﹣1有两个互异实根．其中正确结论的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】B
【解析】
【分析】 根据二次函数图象和性质，开口向下，可得a<0，对称轴x=1，利用顶点坐标，图象与x 轴的交点情况，对照选项逐一分析即可．
【详解】
①∵抛物线与x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x ＝1，
∴抛物线与x 轴的另一个交点在点（﹣2，0）和（﹣1，0）之间，
∴当x ＝﹣2时，y ＜0，
即4a ﹣2b +c ＜0，所以①不符合题意；
②∵抛物线的对称轴为直线x ＝﹣
2b a
＝1，即b ＝﹣2a ， ∴3a +b ＝3a ﹣2a ＝a <0，所以②不符合题意；
③∵抛物线的顶点坐标为（1，n ）， ∴2
44ac b a
＝n ， ∴b 2＝4ac ﹣4an ＝4a （c ﹣n ），所以③符合题意；
④∵抛物线与直线y ＝n 有一个公共点，
∴抛物线与直线y ＝n ﹣1有2个公共点，
∴一元二次方程ax 2+bx +c ＝n ﹣1有两个不相等的实数根，所以④符合题意．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象和性质的应用，二次函数开口方向，对称轴，交点位置，二次函数与一次函数图象结合判定方程根的个数，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
5．已知在平面直角坐标系中，有两个二次函数()()39m x x y =++及
()()26y n x x =--图象，将二次函数()()39m x x y =++的图象按下列哪一种平移方式平移后，会使得此两个函数图象的对称轴重叠（ ）
A ．向左平移2个单位长度
B ．向右平移2个单位长度
C ．向左平移10个单位长度
D ．向右平移10个单位长度
【答案】D
【解析】
【分析】
将二次函数解析式展开，结合二次函数的性质找出两二次函数的对称轴，二者做差后即可得出平移方向及距离．
【详解】
解：∵y ＝m （x ＋3）（x ＋9）＝mx 2＋12mx ＋27m ，y ＝n （x －2）（x －6）＝nx 2－8nx ＋12n ，
∴二次函数y ＝m （x ＋3）（x ＋9）的对称轴为直线x ＝－6，二次函数y ＝n （x －2）（x －6）的对称轴为直线x ＝4，
∵4－（－6）＝10，
∴将二次函数y ＝m （x ＋3）（x ＋9）的图形向右平移10个单位长度，两图象的对称轴重叠．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换以及二次函数的性质，根据二次函数的性质找出两个二次函数的对称轴是解题的关键．
6．四位同学在研究函数2y x bx c =++（,b c 是常数）时，甲发现当1x =时，函数有最小值；乙发现1-是方程20x bx c ++=的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当2x =时，4y =，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁
【解析】
【分析】
利用假设法逐一分析，分别求出二次函数的解析式，再判断与假设是否矛盾即可得出结论．
【详解】
解：A ．假设甲同学的结论错误，则乙、丙、丁的结论都正确
由乙、丁同学的结论可得
01442b c b c =-+⎧⎨=++⎩
解得：1323b c ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
∴二次函数的解析式为：2
21212533636⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭-y x x x ∴当x=16-
时，y 的最小值为2536
-，与丙的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意； B ．假设乙同学的结论错误，则甲、丙、丁的结论都正确
由甲、丙的结论可得二次函数解析式为()2
13y x =-+
当x=2时，解得y=4，当x=-1时，y=7≠0
∴此时符合假设条件，故本选项符合题意；
C ． 假设丙同学的结论错误，则甲、乙、丁的结论都正确
由甲乙的结论可得 1201b b c
⎧-=⎪⎨⎪=-+⎩ 解得：23b c =-⎧⎨=-⎩
∴223y x x =--
当x=2时，解得：y=-3，与丁的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意； D ． 假设丁同学的结论错误，则甲、乙、丙的结论都正确
由甲、丙的结论可得二次函数解析式为()2
13y x =-+
当x=-1时，解得y=7≠0，与乙的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意． 故选B ．
【点睛】
此题考查的是利用待定系数法求二次函数解析式，利用假设法求出b 、c 的值是解决此题的关键．
7．若二次函数22y ax ax c =-+的图象经过点（﹣1，0），则方程220ax ax c -+=的解为（ ）
A ．13x =-，21x =-
B ．11x =，23x =
C ．11x =-，23x =
D ．13x =-，21x =
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】
∵二次函数22y ax ax c =-+的图象经过点（﹣1，0），∴方程220ax ax c -+=一定有
一个解为：x=﹣1，∵抛物线的对称轴为：直线x=1，∴二次函数22y ax ax c =-+的图象与x 轴的另一个交点为：（3，0），∴方程220ax ax c -+=的解为：11x =-，23x =． 故选C ．
考点：抛物线与x 轴的交点．
8．如图，抛物线2y ax bx c =++ 与x 轴交于点A （﹣1，0），顶点坐标（1，n ），与y 轴的交点在（0，3），（0，4）之间（包含端点），则下列结论：①abc ＞0；②3a +b ＜
0；③﹣43
≤a ≤﹣1；④a +b ≥am 2+bm （m 为任意实数）；⑤一元二次方程2ax bx c n ++= 有两个不相等的实数根，其中正确的有（ ）
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
【答案】B
【解析】 解：∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∵顶点坐标（1，n ），∴对称轴为直线x =1，∴2b a - =1，∴b =﹣2a ＞0，∵与y 轴的交点在（0，3），（0，4）之间（包含端点），∴3≤c ≤4，∴abc ＜0，故①错误；
3a +b =3a +（﹣2a ）=a ＜0，故②正确；
∵与x 轴交于点A （﹣1，0），∴a ﹣b +c =0，∴a ﹣（﹣2a ）+c =0，∴c =﹣3a ，∴3≤﹣3a ≤4，∴﹣43
≤a ≤﹣1，故③正确；
∵顶点坐标为（1，n ），∴当x =1时，函数有最大值n ，∴a +b +c ≥am 2+bm +c ，∴a +b ≥am 2+bm ，故④正确；
一元二次方程2ax bx c n ++=有两个相等的实数根x 1=x 2=1，故⑤错误．
综上所述，结论正确的是②③④共3个．故选B ．
点睛：本题考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质，主要利用了二次函数的开口方向，对称轴，最值问题，以及二次函数图象上点的坐标特征，关键在于根据顶点横坐标表示出a 、b 的关系．
9．抛物线y ＝ax 2+bx+c 的顶点为(﹣1，3)，与x 轴的交点A 在点(﹣3，0)和(﹣2，0)之间，其部分图象如图，则以下结论，其中正确结论的个数为( )
①若点P(﹣3，m)，Q(3，n)在抛物线上，则m ＜n ；
②c ＝a+3；
③a+b+c ＜0；
④方程ax 2+bx+c ＝3有两个相等的实数根．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】C
【解析】 试题分析：由抛物线与x 轴有两个交点，可知b 2-4ac ＞0，所以①错误；
由抛物线的顶点为D （-1，2），可知抛物线的对称轴为直线x=-1，然后由抛物线与x 轴的一个交点A 在点（-3，0）和（-2，0）之间，可知抛物线与x 轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，因此当x=1时，y ＜0，即a+b+c ＜0，所以②正确；
由抛物线的顶点为D （-1，2），可知a-b+c=2，然后由抛物线的对称轴为直线x=2b a
-=-1，可得b=2a ，因此a-2a+c=2，即c-a=2，所以③正确；
由于当x=-1时，二次函数有最大值为2，即只有x=-1时，ax 2+bx+c=2，因此方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根，所以④正确．
故选C ．
考点：二次函数的图像与性质
10．已知二次函数223(0)y ax ax a a =--≠，关于此函数的图象及性质，下列结论中不一定成立的是( )
A ．该图象的顶点坐标为()1,4a -
B ．该图象与x 轴的交点为()()1,0,3,0-
C ．若该图象经过点()2,5-，则一定经过点()4,5
D ．当1x >时，y 随x 的增大而增
大
【答案】D
【解析】
【分析】
根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
【详解】
解：y=a （x 2-2x-3）
=a （x-3）（x+1）
令y=0，
∴x=3或x=-1， ∴抛物线与x 轴的交点坐标为（3，0）与（-1，0），故B 成立；
∴抛物线的对称轴为：x=1，
令x=1代入y=ax 2-2ax-3a ，
∴y=a-2a-3a=-4a ，
∴顶点坐标为（1，-4a ），故A 成立；
由于点（-2，5）与（4，5）关于直线x=1对称，
∴若该图象经过点（-2，5），则一定经过点（4，5），故C 成立；
当x ＞1，a ＞0时，y 随着x 的增大而增大，当x ＞1，a ＜0时，y 随着x 的增大而减少，故D 不一定成立；
故选：D ．
【点睛】
本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型．
11．若用“*”表示一种运算规则，我们规定：a *b ＝ab ﹣a +b ，如：3*2＝3×2﹣3+2＝5．以下说法中错误的是（ ）
A ．不等式（﹣2）*（3﹣x ）＜2的解集是x ＜3
B ．函数y ＝（x +2）*x 的图象与x 轴有两个交点
C ．在实数范围内，无论a 取何值，代数式a *（a +1）的值总为正数
D ．方程（x ﹣2）*3＝5的解是x ＝5
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题目中所给的运算法则列出不等式，解不等式即可判定选项A ；根据题目中所给的运算法则求得函数解析式，由此即可判定选项B ；根据题目中所给的运算法则可得a *
（a +1）＝a （a +1）﹣a +（a +1）＝a 2+a +1＝（a +
12）2+34
＞0，由此即可判定选项C ；根据题目中所给的运算法则列出方程，解方程即可判定选项D.
【详解】
∵a *b ＝ab ﹣a +b ，
∴（﹣2）*（3﹣x ）＝（﹣2）×（3﹣x ）﹣（﹣2）+（3﹣x ）＝x ﹣1，
∵（﹣2）*（3﹣x ）＜2，
∴x ﹣1＜2，解得x ＜3，故选项A 正确；
∵y ＝（x +2）*x ＝（x +2）x ﹣（x +2）+x ＝x 2+2x ﹣2，
∴当y ＝0时，x 2+2x ﹣2＝0，解得，x 1＝﹣1+3，x 2＝﹣1﹣3，故选项B 正确； ∵a *（a +1）＝a （a +1）﹣a +（a +1）＝a 2+a +1＝（a +12）2+34
＞0， ∴在实数范围内，无论a 取何值，代数式a *（a +1）的值总为正数，故选项C 正确； ∵（x ﹣2）*3＝5，
∴（x ﹣2）×3﹣（x ﹣2）+3＝5，
解得，x ＝3，故选项D 错误；
故选D ．
【点睛】
本题是阅读理解题，根据题目中所给的运算法则得到相应的运算式子是解决问题的关键.
12．在同一平面直角坐标系中，函数y=ax 2+bx 与y=bx+a 的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】
试题解析：A 、对于直线y=bx+a 来说，由图象可以判断，a ＞0，b ＞0；而对于抛物线y=ax 2+bx 来说，对称轴x=﹣2b a
＜0，应在y 轴的左侧，故不合题意，图形错误． B 、对于直线y=bx+a 来说，由图象可以判断，a ＜0，b ＜0；而对于抛物线y=ax 2+bx 来说，图象应开口向下，故不合题意，图形错误．
C 、对于直线y=bx+a 来说，由图象可以判断，a ＜0，b ＞0；而对于抛物线y=ax 2+bx 来说，图象开口向下，对称轴x=﹣2b a
位于y 轴的右侧，故符合题意， D 、对于直线y=bx+a 来说，由图象可以判断，a ＞0，b ＞0；而对于抛物线y=ax 2+bx 来说，
图象开口向下，a ＜0，故不合题意，图形错误．
故选C ．
考点：二次函数的图象；一次函数的图象．
13．函数2y ax b y ax bx c =+=++和在同一直角坐标系内的图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据a 、b 的符号，针对二次函数、一次函数的图象位置，开口方向，分类讨论，逐一排除．
【详解】
当a ＞0时，二次函数的图象开口向上，
一次函数的图象经过一、三或一、二、三或一、三、四象限，
故A 、D 不正确；
由B 、C 中二次函数的图象可知，对称轴x=-
2b a
＞0，且a ＞0，则b ＜0， 但B 中，一次函数a ＞0，b ＞0，排除B ．
故选C ．
14．抛物线2y ax bx c =++（,,a b c 是常数），0a >，顶点坐标为1(,)2m .给出下列结论：①若点1(,)n y 与点23
(2)2n y -，在该抛物线上，当12
n <时，则12y y <；②关于x 的一元二次方程210ax bx c m -+-+=无实数解，那么（ ）
A ．①正确，②正确
B ．①正确，②错误
C ．①错误，②正确
D ．①错误，②错误
【答案】A
【解析】
【分析】
①根据二次函数的增减性进行判断便可；
②先把顶点坐标代入抛物线的解析式，求得m ，再把m 代入一元二次方程ax 2-bx+c-m+1=0的根的判别式中计算，判断其正负便可判断正误．
【详解】
解：①∵顶点坐标为1,2m ⎛⎫ ⎪⎝⎭,12n < ∴点（n ，y 1）关于抛物线的对称轴x=
12的对称点为（1-n ，y 1）， ∴点（1-n ，y 1）与2322n y ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，在该抛物线的对称轴的右侧图像上, 31(1)2022n n n ⎛⎫---=-< ⎪⎝⎭
Q 3122
n n ∴-<- ∵a ＞0，
∴当x ＞
12
时，y 随x 的增大而增大， ∴y 1＜y 2，故此小题结论正确； ②把1,2m ⎛⎫ ⎪⎝⎭
代入y=ax 2+bx+c 中，得1142m a b c =++, ∴一元二次方程ax 2-bx+c-m+1=0中， △=b 2-4ac+4am-4a 2
211444()4042b ac a a b c a a b a ⎛⎫=-+++-=+-< ⎪⎝⎭ ∴一元二次方程ax 2-bx+c-m+1=0无实数解，故此小题正确；
故选A ．
【点睛】
本题主要考查了二次函数图象与二次函数的系数的关系，第①小题，关键是通过抛物线的对称性把两点坐标变换到对称轴的一边来，再通过二次函数的增减性进行比较，第②小题关键是判断一元二次方程根的判别式的正负．
15．已知二次函数2()y x h =-- (h 为常数),当自变量x 的值满足25x ≤≤时,与其对应的函数值y 的最大值为-1,则h 的值为( )
A ．3或6
B ．1或6
C ．1或3
D ．4或6
【答案】B
【解析】
分析：分h ＜2、2≤h≤5和h ＞5三种情况考虑：当h ＜2时，根据二次函数的性质可得出关于h 的一元二次方程，解之即可得出结论；当2≤h≤5时，由此时函数的最大值为0与题意不符，可得出该情况不存在；当h ＞5时，根据二次函数的性质可得出关于h 的一元二次方程，解之即可得出结论．综上即可得出结论．
详解：如图，
当h＜2时，有-（2-h）2=-1，
解得：h1=1，h2=3（舍去）；
当2≤h≤5时，y=-（x-h）2的最大值为0，不符合题意；
当h＞5时，有-（5-h）2=-1，
解得：h3=4（舍去），h4=6．
综上所述：h的值为1或6．
故选B．
点睛：本题考查了二次函数的最值以及二次函数的性质，分h＜2、2≤h≤5和h＞5三种情况求出h值是解题的关键．
16．在函数
2
y
x
=，3
y x
=+，2
y x
=的图象中，是中心对称图形，且对称中心是原点
的图象共有（）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据中心对称图形的定义与函数的图象即可求解．
【详解】
y=x+3的图象是中心对称图形，但对称中心不是原点；y=x2图象不是中心对称图形；只有函
数
2
y
x
=符合条件．
故选：B．
【点睛】
本题考查函数的图象性质与中心对称图形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
17．在同一直角坐标系中，反比例函数图像与二次函数图像的交点的个数至少有() A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【解析】
【分析】
根据二次函数和反比例函数的图象位置，画出图象，直接判断交点个数．
【详解】
若二次函数的图象在第三、四象限，开口向下，顶点在原点，y轴是对称轴；反比例函数
的图象在第一，三象限，故两个函数的交点只有一个，在第三象限．同理，若二次函数的图象在第三、四象限，开口向下，顶点在原点，y 轴是对称轴；反比例函数的图象在第二，四象限，故两个函数的交点只有一个，在第四象限．
故答案为：B ．
【点睛】
本题考查了二次函数和反比例函数的图象问题，掌握二次函数和反比例函数的图象性质是解题的关键．
18．如图，抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于（-1，0），（3，0）两点，则下列说法：①abc ＜0；②a -b +c =0；③2a +b =0；④2a +c ＞0；⑤若A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3）为抛物线上三点，且-1＜x 1＜x 2＜1，x 3＞3，则y 2＜y 1＜y 3，其中正确的结论是（ ）
A ．①⑤
B ．②④
C ．②③④
D ．②③⑤
【答案】D
【解析】
【分析】
①abc ＜0，由图象知c ＜0，a 、b 异号，所以，①错误；②a -b+c=0，当x=-1时，y=a-b+c=0，正确；③2a+b=0，函数对称轴x=-2b a
=1，故正确；④2a+c ＞0，由②、③知：3a+c=0，而-a ＜0，∴2a+c ＜0，故错误；⑤若A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3）为抛
物线上三点，且-1＜x 1＜x 2＜1，x 3＞3，则y 2＜y 1＜y 3，把A 、B 、C 坐标大致在图上标出，可知正确．
【详解】
解：①abc ＜0，由图象知c ＜0，a 、b 异号，所以，①错误；
②a -b+c=0，当x=-1时，y=a-b+c=0，正确；
③2a+b=0，函数对称轴x=-2b a
=1，故正确； ④2a+c ＞0，由②、③知：3a+c=0，而-a ＜0，∴2a+c ＜0，故错误；
⑤若A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3）为抛物线上三点，且-1＜x 1＜x 2＜1，x 3＞3，则y 2＜y 1＜y 3，把A 、B 、C 坐标大致在图上标出，可知正确；
故选D ．
【点睛】
考查图象与二次函数系数之间的关系，要会求对称轴、x=±1等特殊点y 的值．
19．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图，分析下列四个结论：①abc ＜0；②b 2﹣4ac ＞0；③3a+c ＞0；④（a+c ）2＜b 2，其中正确的结论有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】B
【解析】 试题解析：①由开口向下，可得0,a <
又由抛物线与y 轴交于正半轴，可得0c >，
再根据对称轴在y 轴左侧，得到b 与a 同号，则可得0,0b abc ，
故①错误；
②由抛物线与x 轴有两个交点，可得240b ac ->， 故②正确；
③当2x =-时，0,y < 即420a b c -+< (1)
当1x =时，0y <,即0a b c ++< (2)
（1）+（2）×2得，630a c +<，
即20a c +<，
又因为0,a <
所以()230a a c a c ，
++=+< 故③错误；
④因为1x =时，0y a b c =++<，1x =-时，0y a b c =-+>
所以()()0a b c a b c ++-+<
即()()22
()0,a c b a c b a c b ⎡⎤⎡⎤+++-=+-<⎣⎦⎣⎦ 所以22().a c b +<
故④正确，
综上可知，正确的结论有2个.
故选B ．
20．如图所示，二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与x 轴交点的横坐标分别为x 1、x 2，其中﹣2＜x 1＜﹣1，0＜x 2＜1．下列结论：
①4a ﹣2b+c ＜0；②2a ﹣b ＜0；③abc ＜0；④b 2+8a ＜4ac ．
其中正确的结论有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】C
【解析】
【分析】 首先根据抛物线的开口方向可得到a ＜0，抛物线交y 轴于正半轴，则c ＞0，而抛物线与x 轴的交点中，﹣2＜x 1＜﹣1、0＜x 2＜1说明抛物线的对称轴在﹣1～0之间，即x =﹣2b a
＞﹣1，可根据这些条件以及函数图象上一些特殊点的坐标来进行判断
【详解】 由图知：抛物线的开口向下，则a ＜0；抛物线的对称轴x=﹣
2b a
＞﹣1，且c ＞0； ①由图可得：当x=﹣2时，y ＜0，即4a ﹣2b+c ＜0，故①正确； ②已知x=﹣2b a
＞﹣1，且a ＜0，所以2a ﹣b ＜0，故②正确； ③抛物线对称轴位于y 轴的左侧，则a 、b 同号，又c ＞0，故abc ＞0，所以③不正确；
④由于抛物线的对称轴大于﹣1，所以抛物线的顶点纵坐标应该大于2，即：2
44ac b a -＞2，由于a ＜0，所以4ac ﹣b2＜8a ，即b 2+8a ＞4ac ，故④正确；
因此正确的结论是①②④．
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查对二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，能根据图象确定与系数有关的式子的正负是解此题的关键．。