2024届黑龙江省哈尔滨市德强高级中学高三上学期期末数学试卷

2024届黑龙江省哈尔滨市德强高级中学高三上学期
期末数学试卷
一、单选题
1. 已知集合，，则
（）
A．B．C．D．
2. 已知向量，，若，则（）A．B．C．D．2
3. 若，则（）
A．B．C．D．
4. 双曲线的焦点到其渐近线的距离为（）
A．4B．C．D．2
5. 已知贵州某果园中刺梨单果的质量（单位：）服从正态分布，且，若从该果园的刺梨中随机选取100个单果，则质量在的单果的个数的期望为（）
A．20B．60C．40D．80
6. 等比数列的前项和为，，则“”是“对，”成立的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
7. 如图，正三棱柱中，，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）
A．B．C．D．
8. 已知函数的定义域为，且满足，
在处取极值，则下列说法中正确的是（）
A．是奇函数B．是偶函数
C．在处取极小值D．的最大值为4
二、多选题
9. 数列为等差数列，为其前n项和，已知，则（）A．B．
C．D．
10. 已知m，n是不同的直线，，是不重合的平面，则下列命题中，真命题有（）
A．若，，则B．若，，，则C．若，，，则D．若，，，则
11. 对数的发明是数学史上的重大事件．我们知道，任何一个正实数可以表示成的形式，两边取常用对数，则有，现给出部分常用对数值（如下表），下列结论正确的是（）
真数2345678910（近
0.301
似值）
真数11
（近
1.041
似值）
A．在区间内
B．是15位数
C．若，则
D．若是一个35位正整数，则
12. 如图，有一组圆都内切于点，圆
，设直线与圆在第二象限的交点为，若，则下列结论正确的是（）
A．圆的圆心都在直线上
B．圆的方程为
C．若圆与轴有交点，则
D．设直线与圆在第二象限的交点为，则
三、填空题
13. 已知复数（其中是虚数单位），则 ________
14. 中，，，则的面积为 _________ .
15. 在的展开式中，的系数为 ______ .
16. 如图，一个酒杯的内壁的轴截面是抛物线的一部分，杯口宽，杯深
，称为抛物线酒杯. 在杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径的最大值为 _____________ .
四、解答题
17. 已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
，．
（1）求的值；
（2）若的面积，求b的值．
18. 已知为数列的前项和，且满足
．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前项和．
19. 如图，在三棱锥中，，底面.
（1）求证：平面平面；
（2）若，，是的中点，求与平面所成角的正切值.
20. 如图，有三个外形相同的箱子，分别编号为1，2，3，其中1号箱装有1个黑球和3个白球，2号箱装有2个黑球和2个白球，3号箱装有3个黑球，这些球除颜色外完全相同．小明先从三个箱子中任取一箱，再从取出的箱中任意摸出一球，记事件（）表示“球取自第i号箱”，事件B表示“取得黑球”．
(1)求的值：
(2)若小明取出的球是黑球，判断该黑球来自几号箱的概率最大？请说明理由． 21. 设动圆与圆外切，与圆内切.
(1)求点的轨迹的方程；
(2)过点且不与轴垂直的直线交轨迹于，两点，点关于轴的对称点为，为的外心，试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
22. 已知函数．
(1)证明：有唯一的极值点；
(2)若，求的取值范围．。