(完整版)江苏省2010届高三数学强化训练(29)平面向量的综合应用

江苏省2010届高三数学强化训练
平面向量的综合应用
一、填空题
1．在直角坐标系xOy 中，若点(1,2) A 与动点(,) P x y 满足4OP OA ⋅=u u u r u u u r
. 则点P 的轨迹方程
是 ．
2．在△ABC 中,O 是中线AM 上的一个动点，若AM =2，则()OA OB OC ⋅+u u u r u u u r u u u r
的最小值是 ．
3．自圆222440x y x y +--+=外一点)4,0(P 向圆引两条切线,切点分别为A 、B ，则PA PA
⋅u u u r u u u r
等于 ．
4．已知向量(3,4),(6,3)(5,3) , OA OB OC m m =-=-=---u u u r u u u r u u u r
，若点A 、B 、C 能构成三角形，则实数m 应满足的条件是 ．
5．设O 为坐标原点，(2,1)M ，点),(y x N 满足43
35251x y x y x -≤-⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩
，则cos ON MON ∠u u u r 的最大值
为 ．
6．在凸四边形ABCD 中，AB =4，BC =3，CD =5
2
，且∠ADC =∠ABC =90°，则BC AD ⋅=u u u r u u u r ． 7．已知O 是△ABC 内一点，3OA OC OB +=-u u u r u u u r u u u r
，则△AOB 和△AOC 的面积之比为 ．
8
．已知向量(1,0),(1cos ,sin ) OA OB θθ==+u u u r u u u r ，则向量OA u u u r 与向量OB u u u r
的夹角的取值
范围是 ．
9．△ABC 的外接圆圆心为O ，两边上的高的交点为H ，()OH m OA OB OC =++u u u r u u u r u u u r u u u r
，则实数
m = ．
10．若对n 个向量12,,,a a a n L ，存在n 个不全为零的实数12,,,n k k k L 使
1122a a a n n k k k +++=L 0，则称向量12,,,a a a n L 为线性相关，依次规定，能使123(1,0),(1,1),(2,2)a a a ==-=“线性相关”的一组实数依次为 ．
11．已知向量1(6,2),(4,)2a b ==-，直线l 过点(3,1)A -
且与向量2a b +垂直，则直线l 的方程为 ．
12．如图，四边形MNPQ 是⊙C 的内接梯形，C 是 圆心，C 在MN 上，向量CM u u u u r 与PN u u u r 的夹角为120°， 2QC QM ⋅=u u u r u u u u r
，则⊙C 的方程为 ．
13
．设1(,2a a b a b OA OB =-=-=+u u u
r u u u r ，若△OAB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，
则△OAB 的面积是 ．
14．O 是平面上一定点，A ,B ,C 是平面上不共线的三点，动点P 满足()||||
AB AC
OP OA AB AC λ=++u u u r u u u r
u u u r u u u r u u u r u u u r ，
[0,)λ∈+∞，则P 点的轨迹一定通过△ABC ．（填外心、内心、重心、垂心之一）
二、解答题
15．已知,a b 是两个给定的向量，它们的夹角为θ，向量(c a b t t =+∈R )，求c 的最小值，并求此时向量b 与c 的夹角．
16．如图，在Rt △ABC 中，已知BC a =，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，问PQ u u u r 与BC u u u r
的
夹角θ取何值时BP CQ ⋅u u u r u u u r
的值最大？并求这个最大值．
B
17．已知11),(2a b =-=，存在实数k 和t ，使得2(3)x a b t =+-，y a b k t =-+，
且x y ⊥，若不等式2
k t m t
+>恒成立，求m 的取值范围．
18．在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线4x =相切． （1）求圆的方程；
（2）圆O 与x 轴相交于,A B 两点，圆内的动点P 使||,||,||PA PO PB 成等比数列，求PA PB ⋅u u u r u u u r
的
取值范围．
19．已知抛物线C ：24(0)y ax a =>，过点(,0)F a 的直线l （不与x 轴垂直）与曲线C 交于A 、B 两点，设点)0,(a k -，KA 与KB 的夹角为θ，求证：02
π
θ≤≤ ．
20．椭圆的两焦点分别为1(0,1)F -、2(0,1)F ，直线4y =是椭圆的一条准线． （1）求椭圆的方程；
（2）设点P 在椭圆上，且12||||1PF PF m -=≥u u u r u u u u r ，求12
12||||
PF PF PF PF ⋅-u u u r u u u u r
u u u
r u u u u r 的最大值和最小值．
参考答案
一、填空题
1．在直角坐标系xOy 中，若点(1,2) A 与动点(,) P x y 满足4OP OA ⋅=u u u r u u u r
. 则点P 的轨迹方程
是24x y +=．
2．在△ABC 中,O 是中线AM 上的一个动点，若AM =2，则()OA OB OC ⋅+u u u r u u u r u u u r
的最小值是 2 ．
3．自圆222440x y x y +--+=外一点)4,0(P 向圆引两条切线,切点分别为A 、B ，则PA PA
⋅u u u r u u u r
等于
125
． 4．已知向量(3,4),(6,3)(5,3) , OA OB OC m m =-=-=---u u u r u u u r u u u r
，若点A 、B 、C 能构成三
角形，则实数m 应满足的条件是1
2
m ≠．
5．设O 为坐标原点，(2,1)M ，点),(y x N 满足43
35251x y x y x -≤-⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩
，则cos ON MON ∠u u u r 的最大值
．
6．在凸四边形ABCD 中，AB =4，BC =3，CD =5
2
，且∠ADC =∠ABC =90°，则BC AD ⋅=u u u r u u u r
274
． 7．已知O 是△ABC 内一点，3OA OC OB +=-u u u r u u u r u u u r ，则△AOB 和△AOC 的面积之比为1
3
．
8
．已知向量(1,0),(1cos ,sin ) OA OB θθ==+u u u r u u u r ，则向量OA u u u r 与向量OB u u u r
的夹角的取值
范围是[,]32
ππ
．
9．△ABC 的外接圆圆心为O ，两边上的高的交点为H ，()OH m OA OB OC =++u u u r u u u r u u u r u u u r
，则实数m =
1 ．
10．若对n 个向量12,,,a a a n L ，存在n 个不全为零的实数12,,,n k k k L 使1122a a a n n k k k +++=L 0，则称向量12,,,a a a n L 为线性相关，依次规定，能使123(1,0),(1,1),(2,2)a a a ==-=“线性相关”的一组实数依次为4,2,1-．
11．已知向量1
(6,2),(4,)2
a b ==-，直线l 过点(3,1)A - 且与向量2a b +垂直，则直线l 的方程为2390x y --=．
12．如图，四边形MNPQ 是⊙C 的内接梯形，C 是 圆心，C 在MN 上，向量CM u u u u r 与PN u u u r
的夹角为120°， 2QC QM ⋅=u u u r u u u u r
，则⊙C 的方程为224x y +=．
13
．设1(,22
a a
b a b OA OB =-=-=+u u u
r u u u r ，若△OAB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，
则△OAB 的面积是 1 ．
14．O 是平面上一定点，A ,B ,C 是平面上不共线的三点，动点P 满足()||||
AB AC
OP OA AB AC λ=++u u u r u u u r
u u u r u u u r u u u r u u u r ， [0,)λ∈+∞，则P 点的轨迹一定通过△ABC 内心 ．（填外心、内心、重心、垂心之一）
拓展：1．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，动点P 满足OP OA =+u u u r u u u r
，()||sin ||sin AB AC AB B AC C
λ+u u u r u u u r u u u r u u u r ,[0,)λ∈+∞，则P 点的轨迹一定通过△ABC 的 ． 2．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，动点P 满足OP OA =+u u u r u u u r
()||cos ||cos AB AC AB B AC C
λ+u u u r u u u r u u u r u u u r ,[)+∞∈,0λ，则P 点的轨迹一定通过△ABC 的 ． 3．P 是△ABC 所在平面上一点，若⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的 ． 4．点O 是△ABC 所在平面内一点，满足2
22222OA BC OB AC OC AB +=+=+，则O 是△ABC 的 ． 二、解答题
15．已知,a b 是两个给定的向量，它们的夹角为θ，向量(c a b t t =+∈R )，求c 的最小值，并求此时向量b 与c 的夹角．
点拨：求||c 的最小值，就是求2||c 的最小值，于是将问题转化为关于t 的二次函数，通过配方可以求出的||c 最小值．
解：因为c a b t =+，所以2
2222||||2||c a b a a b b t t t =+=+⋅+
22
22222||cos ||()||cos ||sin ||a b a a a b t θθθ=+
+-≥ 于是，当||cos 0||a b t θ+=，即||cos ||a b t θ
=-
时， 2||c 取最小值22||sin a θ， 此时||cos ()||
a b b b a b b θ
⋅=⋅-
=||||cos ||||cos 0a b a b θθ-=，所以b c ⊥， 此时向量b 与c 的夹角为90°． 变式1．已知向量,||1a e e ≠=，对任意t ∈R ，恒有a e a e t -≥-，则下列结论：①a e ⊥；②()a a e ⊥-；③()e a e ⊥-；④()()a e a e +⊥-，其中正确的一个是 ③ ．
变式2．已知△ABC ，若对任意t ∈R ，BA tBC AC -≥u u u r u u u r u u u r
，则ACB ∠= 90° ．
变式3．若向量a 与c 不共线，0a b ⋅≠，且(
)a a
c a b a b
⨯=-⋅，
则向量a 与c 的夹角为 90° ． 16．如图，在Rt △ABC 中，已知BC a =，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，问PQ u u u r 与BC u u u r
的
夹角θ取何值时BP CQ ⋅u u u r u u u r
的值最大？并求这个最大值．
点拨：一种思路是通过向量运算将BP CQ ⋅u u u r u u u r 朝着PQ u u u r 与BC u u u r
的运算上靠拢；另一种思路是通过
建立直角坐标系，将问题转化为坐标运算． 解法一：AB AC ⊥u u u r u u u r ，故0AB AC ⋅=u u u r u u u r
，因为,,AP AQ BP AP AB CQ AQ AC =-=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 所以()()BP CQ AP AB AQ AC AP AQ AP AC AB AQ AB AC ⋅=-⋅-=⋅-⋅-⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
u u u r
=222
()a AP AC AB AP a AP AB AC a AP
--⋅+⋅=-+⋅-=-+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r =2221cos 2
a PQ BC a a θ-+
⋅=-+u u u
r u u u r
故当cos 1θ=，即0θ=时，BP CQ ⋅u u u r u u u r 的值最大，其最大值为0．
解法二：以直角顶点A 为坐标原点，
两直角边所在的直线为坐标轴建立直角坐标系． 设,,(,)AB c AC b P x y ==，则(0,0),(,0),(0,)A B c C b ， 且2,PQ a BC a ==，
(,),(,),(,),(2,2)BP x c y CQ x y b BC c b PQ x y =-=---=-=--．
所以22()()()()BP CQ x c x y y b x y cx by ⋅=--+--=-++-u u u r u u u r ．
因为2222cos PQ BC cx by cx by
a a PQ BC
θ⋅--==
=u u u r u u u r u u u r u u u r 所以2cos cx by a θ-=，所以22cos BP CQ a a θ⋅=-+u u u r u u u r
，
故当故当cos 1θ=，即0θ=BP CQ ⋅u u u r u u u r
的值最大，其最大值为0．
17．已知11),(2a b =-=，存在实数k 和t ，使得2(3)x a b t =+-，y a b k t =-+，
且x y ⊥，若不等式2
k t m t
+>恒成立，求m 的取值范围．
点拨：本题具有一定的综合性，要注意揭示题中的隐含条件，然后根据垂直的条件列方程得
到k 和t 的关系，再利用二次函数求出2
k t t
+的最小值
解：由题意，有||2,||1a b ==，∵1102a b -=g ∴a b ⊥，
∵0x y ⋅=，∴2[(3)]()0a b a b t k t +-⋅-+=，
∴2332
(3)1(3)4b a t t k t t -==-，∴222
117(43)(2)444
k t t t t t +=+-=+- 故2t =-时，2
k t
t +有最小值74-，即74
m <-．
18．在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线4x =相切． （1）求圆的方程；
（2）圆O 与x 轴相交于,A B 两点，圆内的动点P 使||,||,||PA PO PB 成等比数列，求PA PB ⋅u u u r u u u r
的
取值范围．
解：依题意，圆O 的半径r 等于原点O 到直线4x =的距离，即2r = 所以圆的方程为224x y +=．
不妨设12(,0),(,0)A x B x ，且21x x <，由24x =，得(2,0),(2,0)A B -. 设(,)P x y ，由
,,PA PO PB 22x y =+，即222x y -=.
所以222(2,)(2,)42(2)PA PB x y x y x y y ⋅=---⋅--=-+=-u u u r u u u r
.由于点P 在圆内，故
2222
42
x y x y ⎧+<⎪⎨-=⎪⎩，由此得2
01y <<. 所以⋅的取值范围为[2,0)-． 19．已知抛物线C ：24(0)y ax a =>，过点(,0)F a 的直线l （不与x 轴垂直）与曲线C 交于A 、
B 两点，设点)0,(a k -，KA 与KB 的夹角为θ，求证：02
π
θ≤≤
．
解：设l 的方程为)(a x k y -=，由24()
y ax y k x a ⎧=⎨=-⎩消去x ，得22440a
y y a k --=，
设1122(,),(,)A x y B x y ，则2124y y a =-，1122(,),(,)KA x a y KB x a y =+=+u u u r
22221212121212121
()()()(2)4KA KB x a x a y y x x a x x a y y y y a ⋅=+++=++++=+-u u u r u u u r
21212204y y a >⨯-=，所以cos 0KA KB KA KB
θ⋅=>⋅u u u r u u u r
u u u r u u u r ，即02π
θ≤≤． 点评：向量具有代数形式与几何形式的双重身份，这使它成为知识的一个交汇点，本题是将向量与解析几何、方程、不等式以及三角函数等知识有机结合起来．
20．椭圆的两焦点分别为1(0,1)F -、2(0,1)F ，直线4y =是椭圆的一条准线． （1）求椭圆的方程；
（2）设点P 在椭圆上，且12||||1PF PF m -=≥u u u r u u u u r ，求12
12||||
PF PF PF PF ⋅-u u u r u u u u r
u u u r u u u u r 的最大值和最小值．
解：（1）解答本题的入手点是写出椭圆的标准方程．
依据题意，设椭圆的方程为22221(0)y x a b a b +=>>，则由21
2,14
c a c a c
=⎧⎪
⇒==⎨=⎪⎩
,b =
椭圆方程为22143y x +=．11212244242m PF PF PF m PF PF m PF +⎧=⎧+=⎪⎪⎪⇒⎨⎨--=⎪⎪=⎩⎪⎩
u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r （2）因为P 在椭圆上，故1212cos PF PF PF PF FPF ⋅=⋅∠u u u r u u u u r u u u r u u u u r
222
2121212121212818
()44
2PF PF F F PF PF m PF PF m m PF PF PF PF +-⋅+=⋅⋅=⋅=+⋅-u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r
由平面几何知识得1212PF PF F F -≤u u u r u u u u r u u u u r
，即2m ≤，所以[]1,2m ∈．
令8()f x x x
=+，设12,[1,2]x x ∈，且12x x >，则
121212
8
()()()(1)0f x f x x x x x -=--<．
所以函数()f x 在[1,2]上是单调递减的，从而当1m =时，原式取得最大值94
，当
2m =时
原式取得最小值32
．
点评 本题的综合性极强，涉及到解析几何、向量、函数、不等式等知识，当中，应用平面几何知识，构造函数，进而判断函数的单调性，这是问题的解答水到渠成．。